2025-2026学年下学期山东青岛多校高一数学2026年6月调研检测试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期山东青岛多校高一数学2026年6月调研检测试卷含答案，共6页。试卷主要包含了06等内容，欢迎下载使用。
2026.06
本试卷共4页，19题. 全卷满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 3+i1−i=
A. 1−2i B. 1+2i
C. 2−i D. 2+i
2. 已知D为∆ABC所在平面内一点，且AD→=2CD→，则BD→可表示为
A. 2BC→−BA→ B. 2BC→+BA→
C. BC→−2BA→ D. BC→+2BA→
3. 为响应教育部普及全学段人工智能通识教育的号召，某校开展了AI知识线上答题活动，根据成绩得到如图所示的频率分布直方图，则估计该校学生的平均成绩为
A.70 B.68C.66 D.65
4. 一水平放置的平面四边形OABC的直观图O'A'B'C'如图所示，其中O'A'=O'C'=1，O'C'⊥x'轴，A'B'⊥x'轴，B'C'∥y'轴，则四边形OABC的周长为
A. 4+82 B. 9+22
C. 8+42 D. 10+22
5. 已知圆台的侧面积等于上下两个底面面积之和，且圆台的母线和下底面所成的角为60°，则圆台上下两个底面面积之比为
A. 23 B. 12
C. 13 D. 14
6. 已知平面向量a→，b→，e→，|e→|=1，b→与e→夹角为60°，且|b→−te→|≥|b→−2e→|对任意t∈R恒成立，则|a→+e→|+|a→−b→|的最小值
A. 3 B. 23
C.4 D. 21
7. 我国传统古建筑经常采用榫卯交叉结构，如图所示的榫卯交叉结构是：两个完全相同的正四棱柱垂直贯穿拼接成一个装饰多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点.已知正四棱柱底面边长为2，侧棱长为4，则该榫卯交叉结构的体积为
A.283B. 2823
C.403D. 4023
8. 已知平面上的点A1，A2，A3，A4，A5，满足∠A1A2A3=∠A2A3A4=∠A3A4A5=3π4，且A1A2→·A2A3→=A2A3→·A3A4→=A3A4→·A4A5→，则下列式子一定不成立的是
A. A1A5→=2A1A3→B. A2A5→=(2+1)A3A4→
C. A1A5→=2A2A4→D. A2A5→=A1A4→
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在平面直角坐标系中，向量a，b如图所示，则
A. a·b=11
B. a在b上的投影向量为15b
C. 存在实数λ，使得(λa+b)∥(a−b)
D. 存在实数λ，使得(λa+b)⊥(a−b)
10已知虚数z满足|z|=1. 记ω=z−1z+1，则
A ω为纯虚数
B. |ω|≤1
C. 若|ω|=1，则z为纯虚数
D. 记u=1+iω，v=1−iω，则S=|u2−2v|+|v2−2u|的最小值为8(5−2)
11. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E为边CD上的一点. 现将∆ADE沿着AE折起，使点D到达点P的位置，点P在平面ABCE内的射影K在线段AB上，则
A. 存在E，使得EK∥平面PBC
B存在E，使得AP⊥平面PBE
C. DE的取值范围为(1,2]
D. PE与平面ABCE所成角最大为30°
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若一组整数数据：m，2，1，3，4，5，4，6，8，9的第75百分位数是m，则m可以是 （写出其中一个即可）.
13. 已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为3，高为1，C1P→=λC1D1→，C1N→=μC1D→，0≤λ，μ≤1，M为AD1中点，则PM+PN的最小值为 .
14. 在锐角∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∆ABC的面积S=316(b2+c2−a2)，则a2bc的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （13分）
如图，为完善山区森林防火预警网络，林业公益小队操控固定高度巡航无人机开展山林测绘，计划在M，N两处制高点布设火情监测摄像头. 无人机在A处测得山顶M，N的俯角分别为α1=75°，β1=30°，沿水平方向行驶46km到达B处，在B处测得山顶M，N的俯角分别为α2=45°，β2=60°. A，B，M，N在同一铅锤平面内.
（1）求A，M间的距离；
（2）求M，N间的距离.
16. （15分）
在∆ABC中，AD→=23AB→，AE→=23AC→，BE和CD相交于点P，M是BC的中点.
（1）用AB→，AC→表示AP→；
（2）若AB=2，AC=4，∠BAC=60°，求cs∠PMC.
17. （15分）
已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x¯，s12;n，y¯，s22，记总的样本平均数为z¯，样本方差为s2。
（1）证明：s2=mm+ns12+(x¯−z¯)2+nm+ns22+(y¯−z¯)2；
（2）若第一层抽取的样本量m=20，平均数x¯=65，方差为s12；第二层抽取的样本量n=30，平均数y¯=75，方差为s22，若两层合并后的方差为s2，且s2s22，11分
证明如下：
z¯=25×65+35×75=7112分
合并后的方差s2=25s12+(65−71)2+35s22+(75−71)2
=25s12+35s22+1205s22+40，s12>s2215分
18．（17分）
解：（1）证明：因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，所以AB⊥AD
AC→·BD→=(AB→+BC→)·(AD→−AB→)=AB→·AD→−AB→·AB→+BC→·AD→−BC→·AB→
=-AB→·AB→+BC→·AD→=-8+8=0，所以AC⊥BD2分
又PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PO
又PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，且PO∩BD=O，所以AC⊥平面分
（2）设平面PAD与平面PBC的交线为l，因为AD∥BC，可得AD∥平面PBC
由线面平行的性质得，AD∥BC∥l，因为E为AD的中点，AD=2BC=4，
所以BC=DE=2，O为BD，CE的中点，由勾股定理得
BD=AB2+AD2=26，所以PD=PO2+OD2=10=PA=PB，
所以PE⊥AD6分
PC=PO2+OC2=6，因为PC2+BC2=6+4=10=
所以PC⊥BC
如图，连接PE，易得PE⊥l，PC⊥l
所以∠EPC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角
在∆PEC中，PE=PC=6，
cs∠EPC=PE2+PC2−EC22PE·PC=6+6−812=13
所以平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值为2238分
（3）假设F，A，B，D四点在半径为7的同一个球面上，
设球心为Q，因为AB⊥AD，
O为BD的中点，
且PO⊥平面ABCD，所以Q在直线PO上，
如图过F作FH⊥EC，FN⊥OP，垂足分别为H，N，
显然FH⊥平面ABCD，FH=ON，OH=NF10分
设CFFP=k(k>0)，
所以FHPO=FCPC=kk+1，FH=2kk+1，OHOC=PFPC=1k+1，OH=2k+1
在∆QOD中，由勾股定理，QO=QD2-OD2=7-6=1，12分
①若球心Q在平面ABCD上方，则QN=|QO−ON|=|1−2kk+1|=|k−1k+1|
在∆QNF中，由勾股定理，QF2=QN2+NF2，即7=(k−1)2(k+1)2+2(k+1)2，
化简得3k2+8k+2=0，因为k>0，所以无解14分
②若球心Q在平面ABCD下方，则QN=QO+ON=1+2kk+1=3k+1k+1
在∆QNF中，由勾股定理，QF2=QN2+NF2，即7=3k+1k+12+2(k+1)2，
化简得k2−4k−2=0，因为k>0，所以k=2+6
所以，在棱PC上存在一点F，使F，A，B，D四点在半径为7的同一个球面上．
此时CFFP的值为2+617分
19．（17分）
证明：（1）如图延长BO交∆ABC的外接圆O于D，连接AD，CD．
∵CD⊥BC，AH⊥BC，故CD∥AH，同理可证AD∥CH．
∴四边形ADCH为平行四边形．AH→=DC→=OC→−OD→=OC→−BO→，
OH→−OA→=OB→+OC→，OH→=OA→+OB→+OC→……………………………………………… 3分
（2）（ⅰ）由（1）知，OH→=OA→+OB→+OC→，所以OB→+BH→=OA→+OB→+OC→，即BH→=OA→+OC→
设∆ABC外接圆半径为R，则|BH→|2=(OA→+OC→)2=2R2+2OA→·OC→
因为BO=BH=R，∠AOC=2B，所以R2=2R2+2R2cs2B…………………………… 5分
所以cs2B=−12，即2cs2B−1=−12，csB=12，因为B∈(0,π2)，所以B=π3… 7分
（ⅱ）延长BI交AC于E，由角平分线性质可得：AECE=ABBC=23，BE→=35BA→+25BC→
在∆ABC中，由余弦定理：AC2=AB2+BC2−2AB·BC·csB=7，
AC=7，AE=275……………………………………………………………… 9分
在∆BAE中，由角平分线性质可得：BIIE=ABAE=57，BI→=55+7BE→=15+7(3BA→+2BC→)，
由(1)知OH→=OA→+OB→+OC→=3OG→，BH→=BO→+OH→=BO→+3OG→=BO→+3(OB→+BG→)=2OB→+3BG→，
BG→=13BA→+13BC→，BH→=2OB→+BA→+BC→，
IH→·OG→=(BH→−BI→)·(OB→+BG→)=(2OB→+BA→+BC→−BI→)·(OB→+13BA→+13BC→)
2OB→·(OB→+13BA→+13BC→)=2|OB→|2+23OB→·BA→+23OB→·BC→=2|OB→|2−13|BA→|2−13|BC→|2
|OB→|=R=AC2sinB=73，2OB→·(OB→+13BA→+13BC→)=13………………………………… 13分
(BA→+BC→)·(OB→+13BA→+13BC→)=−12|BA→|2−12|BC→|2+|BA→|2+|BC→|2+2|BA→||BC→|csB3=−16，
(−BI→)·OB→+13BA→+13BC→=−15+73BA→+2BC→OB→+13BA→+13BC→
=-115+373BA→+2BC→3OB→+BA→+BC→15分
3BA→+2BC→3OB→+BA→+BC→=−92|BA→|2−3|BC→|2+3|BA→|2+2|BC→|2+52|BA→||BC→|=0
(-BI→)·(OB→+13BA→+13BC→)=0， IH→·OG→=13-16+0=1617分