2025-2026学年下学期山东实验中学高一数学2026年6月学情检测试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期山东实验中学高一数学2026年6月学情检测试卷含答案，共6页。试卷主要包含了008，0等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在四边形ABCD中，若AD→=BC→，则四边形ABCD的形状一定是
A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形
2.若复数z=3i−13+i+2i（i为虚数单位），则|z|=
A.5 B.3
C.5 D.3
3.如图，在∆ABC中，点D是线段BC上靠近B的三等分点，点E是线段AD上靠近A的三等分点，若CE→=λBA→+μBC→，则λ+μ=
A.29 B.−29
C.149 D.−149
4.半正多面体又称“阿基米德多面体”。它是以边数不全相同的正多边形为面的多面体。如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体。由正方体截得的二十四等边体的体积为203，则这个二十四等边体的表面积为
A.203 B.16+83
C.12+43 D.16+43
5.在∆ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且AB→·AC→=35bc，当t∈R时，|AC→−tAB→|的最小值为1，则b=
A.54 B.53
C.45 D.35
6.在2026年春节联欢晚会《武BOT》节目中，机器人的集群表演实现了0.001秒级响应.节目组随机抽取了甲、乙两组各5台机器人，记录其完成“空中转体”动作的响应时间（单位：秒），数据如下：
甲组：0.008，0.009，0.010，0.011，0.012
乙组：0.007，0.009，0.010，0.011，0.013
则下列结论正确的是
A.甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数
B.甲组数据的中位数小于乙组数据的中位数
C.甲组数据的方差小于乙组数据的方差
D.甲组数据的极差大于乙组数据的极差
7.甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为12，14，15，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为
A.12B.13
C.14D.15
8.记∆ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且S−acsC=2ccsA，点O为三角形的外心，若2AO→·BC→+4=b2，则∆ABC的形状为
A.钝角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张，事件A= “第一次取到标号为1或2的号签”，事件B= “第二次取到标号为5的号签”，事件C= “两张号签标号之和为5”，则
A.事件A与B相互独立
B.P(AC)=225
C.事件B与C是对立事件
D.P(A+B)=1325
10.在∆ABC中，下列命题正确的是
A.若sinA>sinB，则A>B
B.若sin2A=sin2B，则∆ABC为等腰三角形
C.若c=2acsB，则∆ABC是等腰三角形
D.若A，B是锐角，sinA>csB，则∆ABC为锐角三角形
11.如图，正四棱台ABCD−A1B1C1D1的侧面与底面ABCD夹角为60°，E，F分别是AB，CD的中点，则下列说法正确的是
A.平面ADD1A1∥平面EFC1B1
B.侧棱与底面的夹角正弦值为155
C.BC1与AD是异面直线
D.若存在球与该正四棱台每个面都相切，则AB=3A1B1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 在复平面内，O是原点，向量OA→对应的复数是2+i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是 。
13. 如图，∆A'B'C'是∆ABC的斜二测画法的直观图，A'B'=2，A'C'=B'C'=5，则原平面图形∆ABC的周长为 。
14. 如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=15，点D为AC边靠近C的三等分点，点G为BC的中点，过点D作AC垂线交BC于点E，AG∩BD=F，则FE→·AC→= 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分） 已知a，b，c分别为∆ABC三个内角A，B，C的对边，且3csinA+acsC−2a=0
（1） 求角C的大小；
（2） 已知c=3，∆ABC为锐角三角形，求2a−b的取值范围。
16.（15分） 某义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100。从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示的频率分布直方图。
（1） 求实数a的值；
（2） 用分层抽样的方法从成绩在[60,70)和[70,80)的学生中选的6人，再从这6人中选2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在[60,70)中的概率；
（3） 样本中有10名学生的成绩（记为xi，i=1，2，⋯，10）平均值为x¯=90，标准差s=5。若删除其中的x9=98和x10=86这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差。
17.（15分）如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，AD=2，∆PAD 为正三角形，PB=PC=3，点 E 在线段 PB 上.
1.若 E 为 PB 的中点，证明：PD∥ 平面 AEC；
2.若 AC∩BD=O，证明：AD⊥PO；
3.求异面直线 PB 与 AC 所成角的余弦值.
18.（17分）现代传媒大厦是某市最高的标志性建筑.某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算传媒大厦的高度.如图1，某大道沿线的水平路面上有两点 A，B，AB→ 指向正西方向，首先利用百度地图测距功能测出 AB 长度为 2 km，接着在飞龙路沿线选定水平路面上可直接测距的 C，D 两点，测得 ∠BCA=30°，∠ACD=45°，∠BDC=60°，∠ADB=30°，学习小组根据上述条件计算出 CD 长度，并将其与 CD 的实际长度 2.84 km进行比较，若误差介于 −20 米∼20 米之间，则认为百度地图测距是正确的.
1.通过计算说明百度地图测距是否正确？（2≈1.414）
2.如图2，小组在 A 处测得现代传媒大厦楼顶 M 在西偏北 60° 方向，且仰角 ∠MAN=4.8°，在 B 处测得楼顶 M 在正北方向，通过计算 tan4.8°≈0.0804.若百度地图测出的 AB=2 km是准确的，测算出传媒大厦的高度（精确到1米）.
19.（17分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设 P 为多面体 M 的一个顶点，定义多面体 M 在点 P 处的离散曲率为 ΦP=1−12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Qk−1PQk+∠QkPQ1)，其中 Qi(i=1,2,⋯,k,k≥3) 为多面体 M 的所有与点 P 相邻的顶点，且平面 Q1PQ2，平面 Q2PQ3，⋯，平面 Qk−1PQk 和平面 QkPQ1 为多面体 M 的所有以 P 为公共点的面.
1.求三棱锥 P−ABC 在各个顶点处的离散曲率的和.
2.如图，在三棱锥 P−ABC 中，PA⊥ 平面 ABC，AC⊥BC，AC=BC，三棱锥 P−ABC 在顶点 C 处的离散曲率为 13.
1.求异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值；
2.若点 Q 在棱 PB 上运动，求直线 CQ 与平面 ABC 所成角的最大值.
山东省实验中学高一6月学情检测
数学参考答案及评分意见
1.B 在四边形 ABCD 中，因为 AD→=BC→，所以 AD=BC，且 AD∥BC，所以四边形 ABCD 为平行四边形。
邻边不一定相等、且不一定垂直，所以四边形 ABCD 不是梯形，也不一定是菱形、矩形。故选B。
2.C 由题意，z=3i−13+i+2=5i+53+i=(5i+5)(3−i)(3+i)(3−i)=15+10i−5i210=2+i，
所以 |z|=22+12=5。故选C。
3.B 由点 D 是线段 BC 上靠近 B 的三等分点，得 BD→=13BC→。
由点 E 是线段 AD 上靠近 A 的三等分点，得 AE→=13AD→。
所以 CE→=CA→+AE→=(BA→−BC→)+13AD→=(BA→−BC→)+13(BD→−BA→)=(BA→−BC→)+1313BC→−BA→=
BA→−BC→+19BC→−13BA→=23BA→−89BC→，
由 CE→=λBA→+μBC→，得 λ=23，μ=−89，所以 λ+μ=23−89=−29。故选B。
4.C 设原正方体的棱长为 a，由题意，截去的八个三棱锥是全等的，且每个三棱锥的三条侧棱两两垂直，长
度均为 a2，则截去的八个三棱锥的体积之和为 8×13×12×a2×a2×a2=a36。
所以二十四等边体的体积为 a3−a36=5a36=203，解得 a=2。
该二十四等边体的表面由6个正方形和8个正三角形组成，且边长均为 2。
故该二十四等边体的表面积为 6×(2)2+8×34×(2)2=12+43。故选C。
5.A 如图，在 ∆ABC 中，由 AB→·AC→=|AB→||AC→|csA=bccsA=35bc，得 csA=35，
则 sinA=1−cs2A=45。设 AE→=tAB→，则 AC→−tAB→=AC→−AE→=EC→。
所以 |AC→−tAB→| 的最小值为点 C 到直线 AB 的距离。因为 |AC→−tAB→| 的最小值为1，所以 b=1sinA=145=54。
故选A。
6.C 甲组平均数 x¯甲=0.008+0.009+0.010+0.011+0.0125=0.010，
乙组平均数x¯乙=0.007+0.009+0.010+0.011+0.0135=0.010，故x¯甲=x¯乙，故A错误.
两组数据均已从小到大排序，共5个数据，中位数为第3个数据．
甲组中位数为0.010，乙组中位数为0.010，二者相等，故B错误.
甲组方差s甲2=
(0.008−0.010)2+(0.009−0.010)2+(0.010−0.010)2+(0.011−0.010)2+(0.012−0.010)25=2×10−6.
乙组方差s乙2=
(0.007−0.010)2+(0.009−0.010)2+(0.010−0.010)2+(0.011−0.010)2+(0.013−0.010)25=4×10−6.
得到s甲2sinB，由正弦定理，得a>b，则A>B，故A正确；
对于B，由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A=π−2B，所以A=B或A+B=π2，
所以∆ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，因为c=2acsB，由正弦定理，得sinC=2sinAcsB，
又因为A+B+C=π，得sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
所以sinAcsB+csAsinB=2sinAcsB，
即sinAcsB−csAsinB=0，得sin(A−B)=0，
因为A，B为三角形的内角，所以A−B=0，得A=B，所以∆ABC为等腰三角形，故C正确；
对于D，由sinA>csB，得sinA>sinπ2−B，因为A，B∈0,π2，所以π2−B∈0,π2，
又因为y=sinx在0,π2上单调递增，得A>π2−B，所以A+B>π2，
因为C=π−(A+B)，所以C为锐角，所以∆ABC为锐角三角形，故D正确.
11.BCD 对于A，若平面ADD1A1∥平面EFC1B1，由面面平行的性质定理，得DD1∥C1F，
又因为DF∥C1D1，则四边形DD1C1F为平行四边形，所以DF=D1C1，
又F为CD的中点，所以DC=2D1C1，所以平面ADD1A1∥平面EFC1B1不一定成立.故A错误，
对于B，由正四棱台ABCD−A1B1C1D1性质，得A1在底面的投影在对角线AC上.
如图，作A1H⊥AC于点H，则A1H⊥平面ABCD.再作HK⊥AB于点K.
因为A1H⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以A1H⊥AB.
又因为A1H，HK⊂平面A1KH，A1H∩HK=H，所以AB⊥平面A1KH.
又因为A1K⊂平面A1KH，所以AB⊥A1K.
所以∠A1KH即为正四棱台ABCD−A1B1C1D1侧面与底面ABCD的夹角.
设HK=1，则AH=2，因为侧面与底面所成夹角∠A1KH=60°，所以A1H=3，
所以 AA1=A1H2+AH2=5， 所以 sin∠A1AH=35=155， 故B正确；
对于C， 因为 BC1∩平面 ABCD=B， B∉AD， AD⊂平面 ABCD， 所以 BC1 与 AD 是异面直线， 故C正确；
对于D， 记上下底面中心分别为 Q1，Q， 过 Q1，Q 且垂直于 DC 的平面截该棱台得一等腰梯形， 其一半为如图所
示的直角梯形.
若存在球与该正四棱台每个面都相切， 记内切球球心为 O1， 与侧面的切点为 G， 半径为 r.
因为正四棱台 ABCD−A1B1C1D1， 侧面与底面 ABCD 的夹角为 60°， 即 ∠E1EQ=60°.
由 ∆O1EQ≅∆O1EG， 得 ∠O1EQ=30°， EQ=3O1Q.
因为 Q1Q=AB−A1B12tan60°=3(AB−A1B1)2， 所以 AB2=3×3(AB−A1B1)4.
解得 AB=3A1B1， 故D正确. 故选BCD.
12. −2+i 由题意， 点 A 对应的坐标为 (2,1)， 所以 B(−2,1)， 所以点 B 对应的复数为 −2+i.
13. 2+33+41 如图， 在 ∆A'B'C' 中， 作 C'D'⊥A'B' 于点 D'.
因为 A'B'=2， A'C'=B'C'=5， 所以 A'D'=1， C'D'=5−1=2.
又因为 ∠C'O'D'=45°， 所以 O'D'=C'D'=2， O'A'=1， O'C'=22.
将直观图 ∆A'B'C' 还原为原平面图形 ∆ABC.
由斜二测画法， 得 OC=2O'C'=42， OA=O'A'=1， AB=A'B'=2，
所以 AC=32+1=33， BC=32+9=41， 则原平面图形 ∆ABC 的周长为 2+33+41.
14.4 以点 A 为坐标原点， 以 AC，AB 所在的直线分别为 x 轴， y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系.
则 A(0,0)， B(0,6)， C(15,0)， 因为 G 为 BC 的中点， 所以 G152,3.
因为D为AC边上靠近C的三等分点，AD=23AC=2315，所以 D2153,0。
因为 DE⊥AC，所以点E的横坐标与点D的横坐标相同，即 xE=2153。又因为 DCAC=DEAB，即 DE=13×6=2，
所以 E2153,2。
设 AF→=tAG→(0