高考数学二轮复习专题27 三角形中最值与范围的计算问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题27　三角形中最值与范围的计算问题

【高考真题】

1．(2022·新高考Ⅰ) 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求B；

(2)求的最小值．

【知识总结】

1．正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2．三角形面积公式

S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r，R为别是△ABC内切圆半径和外接圆半径)，并可由此计算R、r．

3．解三角形有关的二级结论

(1)三角形内角和定理

在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－．

(2)三角形中的三角函数关系

①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③tan(A＋B)＝－tanC(C≠)；④sin＝cos；⑤cos＝sin．⑥在非Rt△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠)．

(3)三角形中的不等关系

①在三角形中大边对大角，大角对大边．

②A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB．

③若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2．若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则A＋B<，sinA<cosB，cosA>sinB．

④c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角．

⑤a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b．

⑥若x∈，则sin x＜x＜tan x．若x∈，则1＜sin x＋cos x≤．

(4)三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．

注意：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；

②若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”，然后进行三角恒等变换；

③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；

④含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

⑤同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．

【方法总结】

任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的范围最值问题也不例外．三角形中的范围最值问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．一般求最值用基本不等式，求范围用函数．由于三角形中的最值(范围)问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．

【题型突破】

1．(2020·浙江)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA－a＝0．

(1)求角B的大小；

(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．

2．(2015湖南)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btanA，且B为钝角．

(1)证明：B－A＝；

(2)求sinA＋sinC的取值范围．

3．已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2)，函数f(x)＝m·n．

(1)若f(x)＝1，求cos(－x)的值；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC＋c＝b，求f(B)的取值范围．

4．在①cos C(acos B＋bcos A)＝csin C，②asin＝csin A，③(sin B－sin A)2＝sin2C－sin Bsin A这三

个条件中任选一个，补充在下面问题中．

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，当________时，求sin A·sin B的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos C＋cos Acos B＝2sin Acos B．

(1)求cos B的值；

(2)若a＋c＝2，求b的取值范围．

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＋b＝1且满足条件________．

(1)求C；

(2)求c的取值范围．

请从下列两个条件：①S＝(a2＋b2－c2)；②tan Atan B－tan A－tan B＝中选一个条件补充到横线上并解决问题．

7．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．请在下列三个条件中

任选一个作为已知条件，解答问题．

①(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B；②2S＝·(其中S为△ABC的面积)；③a－csin B＝bcos C．

(1)若b＝4，ac＝3，求a＋c的值；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求a的取值范围．

8．在①cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0，②cos 2B－3 cos(A＋C)＝1，③bcos C＋csin B＝a这三个条件

中任选一个，补充在下面问题中．

问题：在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，若a＋c＝1，________，求角B的大小和b的最小值．

9．(2020·全国Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C．

(1)求A；

(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．

10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．2a＋b＝2ccos B，c＝．

(1)求角C；

(2)延长线段AC到点D，使CD＝CB，求△ABD周长的取值范围．

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin C＋ccos B＝a．

(1)若a＝2，b＝，求△ABC的面积；

(2)若c＝2，求△ABC周长的取值范围．

12．在：①a＝csinA－acosC，②(2a－b)sinA＋(2b－a)sinB＝2csinC这两个条件中任选一个，补充在下列

问题中，并解答．

已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝，而且________．

(1)求角C；

(2)求△ABC周长的最大值．

13．已知点P(，1)，Q(cosx，sinx)，O为坐标原点，函数f(x)＝·．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值．

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sinA－sinC)，向量n＝(c，sinA

－sinB)，且m∥n．

(1)求角B的大小；

(2)设BC的中点为D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积．

15．已知m＝(2cosx＋2sinx，1)，n＝(cosx，－y)，且满足m·n＝0．

(1)将y表示为x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；

(2)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，f(x)(x∈R)的最大值是f，且a＝2，求b＋c的取值范围．

16．已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋m，且函数f(x)的最大值为3．

(1)求m的值；

(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f(B)＝0，b＝2，求△ABC面积的最大值．

17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－acos B)＝b．

(1)求角A；

(2)若a＝2，求△ABC的面积的取值范围．

18．现给出两个条件：①2c－b＝2acos B，②(2b－c)cos A＝acos C．从中选出一个条件补充在下面

的问题中，并以此为依据求解问题：

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，________．

(1)求A；

(2)若a＝－1，求△ABC面积的最大值．

19．已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－)，n＝(cos2B，2cos2－

1)，B为锐角且m∥n．

(1)求角B的大小；

(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．

20．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(a＋b＋c)(sinB＋sinC－sinA)＝bsinC．

(1)求角A的大小；

(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋cosBcosC的最大值．