新高考数学二轮复习选填练习专题08 三角恒等变换（6大题型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习选填练习专题08 三角恒等变换（6大题型）（2份，原卷版+解析版），共8页。

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27712" 题型01 诱导公式的变形应用 PAGEREF _Tc27712 \h 1
\l "_Tc31602" 题型02 弦切齐次化转化 PAGEREF _Tc31602 \h 4
\l "_Tc9926" 题型03 ±问题 PAGEREF _Tc9926 \h 7
\l "_Tc22910" 题型04 辅助角公式 PAGEREF _Tc22910 \h 7
\l "_Tc9450" 题型05 二倍角与降幂公式 PAGEREF _Tc9450 \h 16
\l "_Tc21216" 题型06 拆角、配角问题（给值求值、给值求角） PAGEREF _Tc21216 \h 20
题型01 诱导公式的变形应用
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】整体代换应用诱导公式计算化简，再结合二倍角公式计算即可.
【详解】令，则，，
.
故选：D.
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求，再结合诱导公式求.
【详解】因为，所以，
即，
所以．
故选：D．
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用同角三角函数关系式求出，再用诱导公式和二倍角公式化简计算即可.
【详解】由得，得，
所以.
故选：D.
4．（24-25高三上·辽宁·期末）（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据诱导公式、两角差的余弦公式及二倍角的正弦公式化简求值即可.
【详解】原式
.
故选：C
5．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列选项中，与不相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正余弦的二倍角公式，弦化切，正切的和角公式可判断A；根据正切的诱导公式可判断BC，根据正切的和角公式可判断D.
【详解】，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：D
二、多选题
6．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，
【答案】BCD
【分析】以为整体，利用诱导公式、倍角公式以及两角和差公式逐项分析求解.
【详解】因为，
对于选项A：，故A错误；
对于选项B：
，故B正确；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：若，则，
且，则，
，
可得
，所以，故D正确.
故选：BCD．
题型02 弦切齐次化转化
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简条件等式可求，再利用齐次化方法求结论.
【详解】，
所以，
所以，
又，
所以.
故选：A.
2．（24-25高三上·甘肃·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件，结合两角差正切公式求，结合二倍角公式，平方关系将所求式子转化为齐次式，利用齐次式的方法求结论.
【详解】因为，
所以.
因为，
所以.
故选：C.
3．（24-25高三上·湖南衡阳·期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由两角和正切公式展开求出，再利用“”的代换转化为齐次比式，化弦为切求解可得.
【详解】由，解得；
则
.
故选：D.
二、填空题
4．（2025高三·全国·专题练习）已知，则 .
【答案】1
【分析】先根据两角和的正切公式计算得出，再应用二倍角余弦及正弦公式结合同角三角函数关系弦化切计算即可.
【详解】因为，
所以，
则
，
故答案为：1.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 .
【答案】
【分析】方法一：由正切函数的和差角公式代入计算，即可得到，再将原式化为齐次式，即可得到结果；方法二：由正切函数的和差角公式化简，然后令，结合换元法代入计算，即可得到结果.
【详解】法一、由，得，
即，解得，
所以.
法二、由，得，
即，
令，则，解得或.
当时，，
所以.
当时，无解.
故.
故答案为：
题型03 ±问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·江西新余·模拟预测）已知，则（ ）.
A．B．C．D．选项不完整
【答案】B
【分析】将两边同时平方，利用同角间关系和二倍角公式，即可求得.
【详解】因为，
两边同时平方得：，
所以，则，
故选：B.
2．（23-24高三上·湖北·期末）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合同角公式求出即可得解.
【详解】由，得，解得，
由，得，则，于是，
解得，所以.
故选：C
3．（24-25高三上·黑龙江大庆·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将已知条件平方，得，从而得，再将平方，求解即可.
【详解】解：因为，
平方得：，
所以，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以.
故选：A.
4．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，则，从而得到，依题意得到关于的方程，求出的值，再由二倍角公式及诱导公式计算可得.
【详解】令，
则，所以，
所以，
所以，所以，
由，所以，解得（舍去）或，
所以.
故选：B
5．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用余弦的二倍角公式、同角间的三角函数关系变形，已知式由两角差的余弦公式展开化简得，再利用同角间三角函数关系变形得出，代入待求式变形后的式子计算可得．
【详解】（※）
而，则，
两侧平方可得，则，
代入（※）式可知，
故选：A．
6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）若为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据化简，可求，进而求出.
【详解】因为，
所以
，
所以，
因为为锐角，故.
故选：B
7．（2024高三·全国·专题练习）函数的最大值为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】C
【分析】根据函数结构特点，设，求出，代入原函数，将其转化成关于的二次函数，求其最大值即可.
【详解】由，可知，
可设，
则，
则原函数可化为，
所以当时，函数取最大值.
故选：C.
二、多选题
8．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由已知得，，确定的范围判断A；列方程组求解与的值，再求值，判断B与C；由两边平方，可得，化简，即可求值，判断D.
【详解】由，，
得，，则，故A正确；
，，，
则，
当时，联立，
解得，，则；
当时，联立，
解得，，则，故B、C错误；
由，两边平方可得，，
则，，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
9．（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 .
【答案】/
【分析】先根据韦达定理得到，再由，然后结合同角的平方关系求得，求出，再利用半角的余弦公式即可求解.
【详解】因为、为关于x的方程的两个根，
所以，
又因为，
所以，
又，所以，
，
故答案为：
题型04 辅助角公式
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先用诱导公式将转化为，再用辅助角公式，最后两边平方即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
所以，即，
所以，即，
两边同时平方整理得，所以．
故选：A
2．（23-24高三上·甘肃武威·期末）若，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式和辅助角公式可得（其中），进而（），由诱导公式化简得，即可求解.
【详解】由，得，
所以（其中），
得，所以，，
所以，
解得.
故选：B
二、填空题
3．（24-25高三上·全国·课后作业） ．
【答案】（其中）
【分析】运用辅助角公式计算.
【详解】，其中．
故答案为：（其中）.
4．（23-24高三下·广东广州·期中）函数的最大值为 .
【答案】
【分析】根据两角差的正弦公式，化简得到，即可求解.
【详解】由
当时，即
所以的最大值为：
故答案为：
5．（24-25高三上·陕西榆林·期末） .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简即得.
【详解】.
故答案为：
6．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，则当时的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换公式化简，然后由正弦函数性质求解可得.
【详解】
，
因为，所以，
所以，
所以，
所以的最大值为.
故答案为：.
7．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数的最小正周期为 .
【答案】
【分析】由余弦二倍角公式及两角和的余弦公式化简后计算周期即可得.
【详解】
，
则其最小正周期.
故答案为：.
8．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若函数在处取得最大值，则 .
【答案】
【分析】根据辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质求其最大值，并确定取最大值时自变量的值，由此可求.
【详解】因为，
设，，
则，，
当，时，
即当，函数取最大值，最大值为，
所以，
所以.
故答案为：.
题型05 二倍角与降幂公式
【解题规律·提分快招】
1、二倍角公式
①；
②；
③；
2、降幂公式
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则是（ ）
A．奇函数且最小正周期为B．偶函数且最小正周期为C．奇函数且最小正周期为D．偶函数且最小正周期为
【答案】A
【分析】利用三角降幂公式和诱导公式将函数化简为，即可判断奇偶性和周期性.
【详解】因，
故为奇函数，且最小正周期为.
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、降次公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
，解得，负根舍去.
故选：B
3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式依次求得，，再利用二倍角的正弦公式即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数的关系化简，再根据二倍角公式求解即可.
【详解】方法一：
，
，解得.
故选：C.
方法二：，
.
故选：C.
5．（2024·贵州·模拟预测）已知，，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函数的平方关系及求出和，再根据二倍角的正弦公式及降幂公式化简，代入计算即可．
【详解】由题设有，即，
解得或，因为，所以，则，
则，
故选：A．
6．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式及二倍角的余弦公式，利用诱导公式及特殊值的三角函数，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】，
，
，
所以，，，
所以.
故选：A.
7．（23-24高三下·江苏镇江·阶段练习）若，，则（ ）
A．B．C．5D．
【答案】D
【分析】先利用三角恒等变换化简整理可得，然后利用同角三角函数的基本关系求得，进而得，从而由可得结果.
【详解】，
化简得，即，
整理得.
因为，所以.
整理得，又，即，
所以，即，进而，
于是.
故选：D.
8．（24-25高三上·江苏苏州·期末）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】应用和角的正弦、余弦公式和二倍角公式化简即可.
【详解】
.
故选：D.
题型06 拆角、配角问题（给值求值、给值求角）
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江西·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用凑角法得到方程，两式相加得到.
【详解】①，
②，
由①②相加，得，所以.
故选：A.
2．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由所给角的象限结合同角三角函数基本关系可得，，再利用两角和的余弦公式计算即可得解.
【详解】由，，则，，
故，
，
故
.
故选：C.
3．（24-25高三上·湖南长沙·期末）若，，并且均为锐角，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果.
【详解】由，可得，
又，所以，
因为，，所以，
所以
，
又因为，所以.
故选：C
4．（24-25高三上·安徽·期中）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两角差的正余弦公式化简分式，可求得的值，再根据结合两角差的正切公式求解出结果.
【详解】因为，
所以，
又因为.
故选：C.
5．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）已知，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：由条件结合同角关系求，由二倍角公式求，再利用两角差正弦公式可求，由此可求结论.
方法二：由条件可得，由此确定范围，结合正弦函数单调性可得，由此可得结论.
【详解】因为，，
所以，
所以，
，
所以，又，
所以，
又，
所以，
所以，
故
，
因为，，
所以，则．
解法二：因为，
所以，，
∵，
所以，，，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
6．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（ ）
A．或B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等差中项的性质可以算出，再利用等差数列中的关键量和可以求出.利用，求出，进而求出，确定即可得出结论.
【详解】，
，，
，
，
.又，
，
.
，，，
.
故选：D.
7．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值.
【详解】因，所以，又，
根据，得，同时也能确定.
因为，，，所以.
.
将转化为.
所以

因为，，所以.
在这个区间内，时，.
故选：C.
8．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用两角和的余弦公式求出，从而求出，再由降幂公式及和差角的余弦公式计算可得.
【详解】因为，，
所以，所以，
所以
则
.
故选：D
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用两角和与差的余弦公式展开，然后两边平方即可求得.
【详解】展开得，
两边同时平方有，
即，解得，
故选：B．
2．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的诱导公式以及二倍角公式，可得答案.
【详解】，则，又，
所以.
故选：D.
3．（2024·重庆·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式将目标式转化为，然后由二倍角公式可得.
【详解】因为，
所以
.
故选：A
4．（2024·河南·一模）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意先求得，再利用降幂公式和两角差的余弦公式运算求解.
【详解】因为，则，
所以．
故选：A.
5．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据得到，结合题目条件可得，利用倍角公式可计算的值.
【详解】∵，∴.
∵，∴，
∴，即，
解得或（舍），
∴.
故选：C.
6．（24-25高三上·山西·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式和诱导公式求解.
【详解】根据两角和的正切公式，，
可得，即；
根据诱导公式，，
故原式.
故选：A.
7．（23-24高三上·河北廊坊·期中）设，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换可得答案.
【详解】因为，所以．
因为，所以，
所以，则．
故选：B.
8．（2024·浙江·模拟预测）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系求得的值，利用两角差的余弦公式即可求得，继而利用二倍角的余弦公式求得答案.
【详解】由于，则，
而，故，
由，可得，
则
，
故，
故选：D
9．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知，，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】利用两角和差公式可得，结合题意即可得结果.
【详解】因为，则，，
又因为，
则①，
等式①的两边同时除以
可得，解得.
故选：D.
10．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，所以．
又，所以．
故选：D
11．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求出、，再由利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】因为，所以，又，所以，则，
所以，
又，所以，又，
所以，
于是
，
又，则.
故选：B.
二、填空题
12．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）若，且，则 ．
【答案】
【分析】利用二倍角公式及两角差的余弦公式化简，求出，根据即可求解.
【详解】由，得．
因为，所以，则，
所以．
由，得，则，解得．
故答案为：
13．（24-25高三上·河南·阶段练习）若，则 .
【答案】
【分析】利用三角恒等变换结合齐次式问题运算求解即可.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
14．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知，则 .
【答案】/
【分析】首先利用二倍角公式求出，再由诱导公式计算可得.
【详解】，，
.
故答案为：
15．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知，则 .
【答案】
【分析】借助两角和的正弦公式与辅助角公式化简原式可得，再利用整体思想结合二倍角公式及诱导公式计算即可得.
【详解】
，
则，
故
.
故答案为：.
16．（23-24高三下·上海宝山·期末）已知，，，则 ．
【答案】
【分析】结合所给角的象限与余弦值，可得其 正弦值，再利用两角差的正弦公式计算即可得.
【详解】由，，，则，
则，，
.
故答案为：.
17．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知，，，则 .
【答案】
【分析】先由角的范围和题设和的值，求出和的值，再利用拆角变换展开后代入求值即得.
【详解】因，，，
故，，
故，，
则
.
故答案为：
18．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知为钝角，且，则 ．
【答案】
【分析】根据题意可知，切化弦结合三角恒等变换化简整理即可，即可得结果.
【详解】因为，
则
，
即，且为钝角，所以.
故答案为：.
19．（24-25高三上·江苏淮安·期中）已知，则 .
【答案】
【分析】利用恒等变换公式以及商数关系进行化简并计算.
【详解】因为
，
而，所以，，
故答案为：.
20．（2024高三·全国·专题练习）化简: .
【答案】
【分析】弦切互化将变为，利用诱导公式将变为，结合完全平方式和二倍角余弦公式化简即可.
【详解】原式.
故答案为：
三角函数诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：
（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
1、
2、
3、
1、辅助角公式
（其中）．
拆分角的变形：①；；②；
③；④；⑤．
其他：