新高考数学一轮专项（三角函数）训练专题六 三角恒等变换题型篇（2份，原卷版+解析版）

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1．求值：三角函数的求值有三种类型
(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
(3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．
2．化简：化简目标：项数尽量少、次数尽量低、尽量不含分母和根号．对能求出具体数值的，要求出值．
3．证明：三角函数的求值有两种类型
(1)无条件三角恒等式的证明：证明方法有：化繁为简法、左右归一法、变更论题法；
(2)有条件三角恒等式的证明：
可分为四类：①已知角度关系，证明函数关系；②已知函数关系证明角度关系；③已知函数关系证明函数关系；④三角形内的边角恒等式的证明．
证明方法除了注意到无条件三角恒等式的证明方法外，还用到直推法与代入法两种方法．
4．三种题型的相互关系：
考点一 给角求值
【方法总结】
解给角求值问题的解题策略
解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形．
【例题选讲】
[例1] (1) (2015·全国Ⅰ)sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
答案 D 解析 sin20°cs10°－cs160°sin10°＝sin20°cs10°＋cs20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝eq \f(1,2)，故选D．
(2) eq \f(cs 10°(1＋\r(3)tan 10°),cs 50°)的值是________．
答案 2 解析 原式＝eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,cs 50°)＝eq \f(2sin(10°＋30°),cs 50°)＝eq \f(2sin 40°,sin 40°)＝2．
(3)计算：eq \f(cs 10°－\r(3)cs(－100°),\r(1－sin 10°))＝________．
答案 eq \r(2) 解析 eq \f(cs 10°－\r(3)cs(－100°),\r(1－sin 10°))＝eq \f(cs 10°＋\r(3)cs 80°,\r(1－cs 80°))＝eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,\r(2)·sin 40°)＝eq \f(2sin(10°＋30°),\r(2)·sin 40°)＝eq \r(2).
(4) sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)＝________．
答案 1 解析 sin50°(1＋eq \r(3)tan10°)＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·eq \f(cs 60°cs 10°＋sin 60°sin 10°,cs 60°cs 10°)＝sin 50°·eq \f(cs60°－10°,cs 60°cs 10°)＝eq \f(2sin 50°cs 50°,cs 10°)＝eq \f(sin 100°,cs 10°)＝eq \f(cs 10°,cs 10°)＝1．
(5) 计算：eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)－sin 10°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan 5°)－tan 5°))＝________．
答案 eq \f(\r(3),2) 解析 原式＝eq \f(2cs210°,4sin 10°cs 10°)－sin10°·eq \f(cs25°－sin25°,sin 5°cs 5°)＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－eq \f(sin 20°,sin 10°)＝eq \f(cs 10°－2sin 20°,2sin 10°)＝eq \f(cs 10°－2sin(30°－10°),2sin 10°)＝eq \f(cs 10°－2sin 30°cs 10°＋2cs 30°sin 10°,2sin 10°)＝eq \f(\r(3),2).
【对点训练】
1．的值等于( )
A． B．－ C． D．3
1．答案 D 解析 将35°拆成30°＋5°，25°拆成30°－5°展开化简．原式＝＝
＝－＝－．
2．计算eq \f(sin 110°sin 20°,cs2155°－sin2155°)的值为( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
2．答案 B 解析 eq \f(sin 110°sin 20°,cs2155°－sin2155°)＝eq \f(sin 70°sin 20°,cs 310°)＝eq \f(cs 20°sin 20°,cs 50°)＝eq \f(\f(1,2)sin 40°,sin 40°)＝eq \f(1,2)．
3．计算：eq \f(1－cs210°,cs 80°\r(1－cs 20°))＝( )
A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(2),2)
3．答案 A 解析 eq \f(1－cs210°,cs 80°\r(1－cs 20°))＝eq \f(sin210°,sin 10°\r(1－(1－2sin210°)))＝eq \f(sin210°,\r(2)sin210°)＝eq \f(\r(2),2)．
4．求值：eq \f(cs 20°,cs 35°\r(1－sin 20°))＝( )
A．1 B．2 C．eq \r(2) D．eq \r(3)
4．答案 C 解析 原式＝eq \f(cs 20°,cs 35°|sin 10°－cs 10°|)＝eq \f(cs210°－sin210°,cs 35°(cs 10°－sin 10°))＝eq \f(cs 10°＋sin 10°,cs 35°)
＝eq \f(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs 10°＋\f(\r(2),2)sin 10°)),cs 35°)＝eq \f(\r(2)cs(45°－10°),cs 35°)＝eq \f(\r(2)cs 35°,cs 35°)＝eq \r(2)．
5．eq \f(2cs 10°－sin 20°,sin 70°)的值是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2) C．eq \r(3) D．eq \r(2)
5．答案 C 解析 原式＝eq \f(2cs(30°－20°)－sin20°,sin70°)＝eq \f(2(cs 30°·cs 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°,sin 70°)＝
eq \f(\r(3)cs 20°,cs 20°)＝eq \r(3)．
6．eq \f(cs 85°＋sin 25°cs 30°,cs 25°)等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(1,2) D．1
6．答案 C 解析 原式＝eq \f(sin 5°＋\f(\r(3),2)sin 25°,cs 25°)＝eq \f(sin(30°－25°)＋\f(\r(3),2)sin 25°,cs 25°)＝eq \f(\f(1,2)cs 25°,cs 25°)＝eq \f(1,2)．
7．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( )
A．eq \r(3) B．1＋eq \r(2) C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)
7．答案 C 解析 原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan
27°)＝2，故选C．
8．4sin 80°－eq \f(cs 10°,sin 10°)＝( )
A．eq \r(3) B．－eq \r(3) C．eq \r(2) D．2eq \r(2)－3
8．答案 B 解析 4sin80°－eq \f(cs10°,sin10°)＝eq \f(4sin80°sin10°－cs10°,sin10°)＝eq \f(2sin 20°－cs 10°,sin 10°)＝eq \f(2sin(30°－10°)－cs 10°,sin 10°)
＝－eq \r(3)．故选B．
9．4cs 50°－tan 40°等于( )
A．eq \r(2) B．eq \f(\r(2)＋\r(3),2) C．eq \r(3) D．2eq \r(2)－1
9．答案 C 解析 4sin40°－eq \f(sin40°,cs40°)＝eq \f(4cs40°sin40°－sin40°,cs40°)＝eq \f(2sin 80°－sin 40°,cs 40°)＝eq \f(2sin(120°－40°)－sin 40°,cs 40°)
＝eq \f(\r(3)cs 40°＋sin 40°－sin 40°,cs 40°)＝eq \f(\r(3)cs 40°,cs 40°)＝eq \r(3)．
10．计算：eq \f(\r(3),cs 10°)－eq \f(1,sin 170°)＝ ．
10．答案 －4 解析 原式＝eq \f(\r(3)sin 170°－cs 10°,cs 10°sin 170°)＝eq \f(\r(3)sin 10°－cs 10°,cs 10°sin 10°)＝eq \f(2sin(10°－30°),\f(1,2)sin 20°)＝－4．
11．[2sin 50°＋sin 10°(1＋eq \r(3)tan 10°)]·eq \r(2sin280°)＝ ．
11．答案 eq \r(6) 解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin50°＋sin10°\f(cs10°＋\r(3)sin10°,cs10°)))eq \r(2)sin80°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin50°＋2sin10°\f(\f(1,2)cs10°＋\f(\r(3),2)sin10°,cs10°)))·
eq \r(2)cs 10°＝2eq \r(2)[sin 50°·cs 10°＋sin 10°·cs(60°－10°)]＝2eq \r(2)sin(50°＋10°)＝2eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(6)．
12．求值：(3＋tan30°tan40°＋tan40°tan50°＋tan50°tan60°)·tan10°．
12．解：原式＝(1＋tan30°tan40°＋1＋tan40°tan50°＋1＋tan50°tan60°)·tan10°，因为tan10°＝tan(40°－30°)
＝，所以1＋tan40°tan30°＝．同理，1＋tan40°tan50°＝，
1＋tan50°tan60°＝．所以原式＝(＋＋)
·tan10°＝tan40°－tan30°＋tan50°－tan40°＋tan60°－tan50°＝－tan30°＋tan60°＝．
考点二 给值求值
【方法总结】
解给值求值问题的一般步骤
(1)先化简条件式子或待求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数的名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
【例题选讲】
[例2] (1) 已知α为第二象限角，且sin2α＝－eq \f(24,25)，则cs α－sin α的值为( )
A．eq \f(7,5) B．－eq \f(7,5) C．eq \f(1,5) D．－eq \f(1,5)
答案 B 解析 因为sin 2α＝2sin αcs α＝－eq \f(24,25)，即1－2sin αcs α＝eq \f(49,25)，所以(sin α－cs α)2＝eq \f(49,25)，又α为第二象限角，所以cs α