新高考数学二轮复习解答题练习专题08 圆锥曲线常考题型全归纳（九大题型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习解答题练习专题08 圆锥曲线常考题型全归纳（九大题型）（2份，原卷版+解析版），共8页。

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc1300" 题型01 直线和圆锥曲线的位置关系 PAGEREF _Tc1300 \h 1
\l "_Tc22238" 题型02 弦长及三角形、四边形面积问题 PAGEREF _Tc22238 \h 3
\l "_Tc11698" 题型03 中点弦问题（点差法） PAGEREF _Tc11698 \h 6
\l "_Tc22665" 题型04 直线过定点问题 PAGEREF _Tc22665 \h 7
\l "_Tc20028" 题型05 定点中的探究性问题 PAGEREF _Tc20028 \h 8
\l "_Tc15857" 题型06 斜率的和、差、积、商为定值问题 PAGEREF _Tc15857 \h 10
\l "_Tc8727" 题型07 线段、角度、面积定值问题 PAGEREF _Tc8727 \h 12
\l "_Tc10945" 题型08 圆锥曲线与向量结合 PAGEREF _Tc10945 \h 14
\l "_Tc17569" 题型09 定直线问题 PAGEREF _Tc17569 \h 15
题型01 直线和圆锥曲线的位置关系
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程；
（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．
2．（2024高三下·全国·专题练习）已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点．
(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；
(2)求证：直线与椭圆C相切；
3．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形.
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与只有一个公共点，求直线的方程.
4．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围.
5．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．
(1)求的方程；
(2)讨论过点的直线与的交点个数．
6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线，过上点作两条互相垂直的直线,，与的另一交点为，与的另一交点为.
(1)证明：是双曲线；
(2)若到直线的距离为，求直线的方程.
题型02 弦长及三角形、四边形面积问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·江西吉安·期末）在以为原点的平面直角坐标系中，过点且斜率存在的直线与椭圆：交于两点，设的中点为．
(1)求直线与的斜率之积；
(2)求而积的最大值．
2．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，求面积的最大值.
3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动点满足：．
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)过作直线交曲线的y轴左侧部分于A，B两点，过作直线交曲线的y轴右侧部分于C，D两点，且，依次连接A，B，C，D四点得四边形ABCD，求四边形ABCD的面积的取值范围．
4．（24-25高三下·山东德州·开学考试）已知抛物线的焦点为，且为上不重合的三点.
(1)若，求的值；
(2)过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值.
5．（24-25高三下·山西晋中·开学考试）已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点．当垂直于轴时，长度为．
(1)求抛物线的方程；
(2)若点的横坐标为，求；
(3)设抛物线在点处的切线与，分别交于点，，求四边形面积的最小值．
6．（2024·甘肃张掖·一模）已知曲线上任意一点满足．
(1)化简曲线的方程；
(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点作直线的垂线，交于、两点，求面积的最小值．
题型03 中点弦问题（点差法）
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：．
(1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程．
2．（23-24高三上·陕西商洛·期末）直线：与抛物线：交于，两点，且
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率．
3．（24-25高三下·湖北随州·阶段练习）已知椭圆.
(1)求斜率为的平行弦中点的轨迹方程;
(2)若过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程;
(3)求过点且被点平分的弦所在直线的方程.
题型04 直线过定点问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2025·湖南岳阳·一模）已知抛物线的焦点为，点在直线上，是抛物线上两个不同的点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线的斜率为，若，证明：直线过定点，并求定点坐标.
2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知点在离心率为的双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标．
3．（24-25高三下·北京海淀·开学考试）已知椭圆，椭圆的短轴长的，离心率为.过点与轴不重合的直线交椭圆于不同的两点，点关于轴对称.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线过定点.
4．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是．
(1)过点分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积；
(2)若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标．
5．（2024·云南·模拟预测）抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．

(1)求抛物线的标准方程；
(2)当时，求弦的长；
(3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点．
6．（24-25高三下·广西·开学考试）已知椭圆上一动点P到原点O距离的最小值为，最大值为椭圆E的左顶点为A，过A的两条直线，关于直线对称，，与椭圆的另外一个交点分别为M，N，，与y轴分别交于为S，T.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)求的值;
(3)直线MN是否过定点?如果是，求出定点坐标;如果不是，请说明理由.
题型05 定点中的探究性问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为（-1，0），点为椭圆上一点，点为椭圆的左顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于，两点，直线，分别与直线交于，两点．
①求证：为定值；
②以为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，若不过定点，试说明理由．
3．（23-24高三下·广东深圳·期中）已知抛物线的焦点为，点.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的动直线与交于两点，上是否存在定点使得（其中分别为直线的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.
4．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点，在轴上是否存在定点，使得为常数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
5．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1．
(1)求的方程；
(2)过上一点作的切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积．
(3)过上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
6．（24-25高三上·北京通州·期末）已知椭圆，以椭圆的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)斜率存在且不为0的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点. 在轴上是否存在定点，使得（为坐标原点）？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
题型06 斜率的和、差、积、商为定值问题
【解题规律·提分快招】
一、定值问题
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．
【一般策略】
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值
【常用结论】
结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.
结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.
结论3 过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.
结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值.
结论5 设点A，B是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-b2a2
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小为坐标原点.直线过定点.
(1)直线与曲线仅有一个公共点，求直线的方程；
(2)曲线与直线交于两点，试分别判断直线的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由.
2．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且点到点，的距离之和为．
(1)求的方程；
(2)直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为、．
①当时，求的值；
②当变化时，试探究是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．
3．（2025·安徽合肥·一模）已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧
(1)求曲线T的方程；
(2)若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧
（ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：；
（ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值.
4．（24-25高三上·河北·阶段练习）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，右顶点到点的距离是.动圆（点为圆心）与交于四个不同的点，且直线的斜率分别为.
(1)求的方程.
(2)设直线.
①判断点是否在双曲线上，并说明理由.
②若，求直线的一般式方程.
③试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知双曲线C：．的离心率为，点在双曲线C上，过C的左焦点F的直线l与C的左支相交于A，B两点，且l分别交C的两条渐近线于M，N两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若O是坐标原点，，求的面积；
(3)已知点，直线AP交直线于点Q，设直线QA，QB的斜率分别，，求证：为定值．
6．（24-25高三上·福建南平·期末）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为.
(1)求的标准方程；
(2)若的左，右顶点分别为，，过点作斜率不为0的直线，与交于两个不同的点，.
（ⅰ）若，求直线的方程；
（ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.
题型07 线段、角度、面积定值问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·全国·模拟预测）已知动直线与抛物线相交于两点，分别过两点作抛物线的切线相交于点，点的轨迹曲线记为与相交于两点（邻近）．
(1)求曲线的方程；
(2)求证：对任意的面积均相等．
2．（24-25高三下·湖南·开学考试）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点.
(1)已知点到的距离比到轴的距离大1.
（i）求抛物线的方程；
（ii）经过点的直线与抛物线相交于，两点，若，求的方程.
(2)过点作抛物线的切线，与轴交于点，证明：平分.
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆：，点在上，且的焦距为2，左焦点为，．
(1)求的方程；
(2)设为原点，为上（除左、右端点外）一点，的中点为，直线与直线：（直线不过和）交于点，过点作，交直线于点，证明：无论为何值，均有．
4．（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为是椭圆的右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积
(3)若过点的直线与椭圆交两点，直线为，设直线和直线分别与直线交于两点，求的值.
5．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线C： 的右焦点为，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点.当轴时，.
(1)若A点坐标为，B点坐标为，证明：.
(2)在x轴上是否存在定点M，使得为定值?若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，请说明理由.
6．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)证明：点P为线段MN的中点;
(3)过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值.
题型08 圆锥曲线与向量结合
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·江西·阶段练习）已知双曲线的右顶点为，且它的一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若是双曲线上异于顶点的一个动点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，与直线（为坐标原点）分别交于点，证明：．
2．（24-25高三上·北京西城·期末）已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值.
3．（23-24高三下·安徽亳州·期末）已知为坐标原点，是抛物线上与点不重合的任意一点．
(1)设抛物线的焦点为，若以为圆心，为半径的圆交的准线于两点，且的面积为，求圆的方程；
(2)若是拋物线上的另外一点，非零向量满足，证明：直线必经过一个定点．
4．（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点的最小距离为1，斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的范围；
(3)设为的右焦点，为上一点，且．判断、、是否成等差数列，如果是，说明理由并求该数列的公差．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线经过点，直线与抛物线有两个不同的交点，直线交轴于，直线交轴于．
(1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围；
(2)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，求的值；
(3)若直线过点，设，求的值．
6．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，.
(1)求的方程；
(2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围.
题型09 定直线问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三下·广东清远·开学考试）椭圆C的中心在坐标原点、对称轴是坐标轴，点和点Q在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)A、B是椭圆C的左、右顶点，过点的直线l与椭圆C相交于M、N两点（不与A、B重合），直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在一条定直线上.
2．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，是的两个焦点，其中左焦点为，离心率为.
(1)求的方程；
(2)双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积；
(3)记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于M，N两点，在第二象限，直线与交于点.证明：点在定直线上.
3．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，点为抛物线的焦点，过作直线分别交抛物线于点和点，如图所示．当直线的斜率为1时，．

(1)求抛物线的方程；
(2)延长交于点，延长交于点，求直线的方程．
4．（24-25高三下·广西桂林·开学考试）已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长；
(3)若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
5．（2024·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上．
一、解答题
1．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1.
(1)抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标.
2．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点．
(1)写出弦长公式.
(2)求的方程；
(3)直线与交于两点，求面积的最大值；
3．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为，离心率为，分别为的左、右顶点，直线交的左、右两支分别于，两点．
(1)求的方程；
(2)记斜率分别为，若，求的值．
4．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且
(1)求的方程;
(2)直线l与的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD的斜率分别为，，且
（i）求证：直线l过定点;
（ii），直线OP与BD交于点Q，判断并证明直线AQ与BC的位置关系.
5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程；
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点．
6．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线过点时，求的取值范围.
7．（2024·山西·模拟预测）在以为坐标原点的平面直角坐标系中，双曲线：的虚轴长为4，一条渐近线方程为，直线：交双曲线于、两点，为直线上一点且.点为直线与轴的交点.
(1)求双曲线的方程和焦距；
(2)若线段上一动点满足，求直线与的斜率之积.
8．（2025·河北保定·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交于，两点，分别过点作的垂线，交分别于两点（异于两点）.当的斜率不存在时，四边形的面积为6.
(1)求的标准方程；
(2)证明：.
9．（2025·黑龙江·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，两定点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.
(1)求点的轨迹方程，并指出的形状.
(2)若直线与点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.
10．（23-24高三下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
11．（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线M上，且．
(1)求双曲线M的方程；
(2)记的平分线所在的直线为直线l，证明：双曲线M上存在相异两点关于直线l对称，并求出（E为的中点）的值．
12．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由．
(3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
13．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左焦点是抛物线的焦点，且过点．
(1)求的方程及离心率；
(2)已知为坐标原点，过的左，右顶点作直线分别交于点，且直线的斜率与直线的斜率之比为，过点作于点，问轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点．
(1)求椭圆标准方程；
(2)若直线与坐标轴不垂直，在轴上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
15．（24-25高三上·上海·期中）已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为，
(1)求的方程；
(2)证明：为定值；
(3)若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线AB的方程．
16．（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆的短轴长为，且离心率为.
(1)求C的方程.
(2)过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点.
①证明：为定值.
②求面积的取值范围.
17．（24-25高三下·山东·开学考试）已知双曲线的离心率为，左、右顶点分别为，过点的直线与的右支交于两点．
(1)求的方程；
(2)证明：直线与的斜率之比为定值．
18．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线，动直线与抛物线交于，两点，分别过点、点作抛物线的切线和，直线与轴交于点，直线与轴交于点,和相交于点．当点为时，的外接圆的面积是．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线的方程是，点是抛物线上在，两点之间的动点（异于点，），求的取值范围；
(3)设为抛物线的焦点，证明：若恒成立，则直线过定点
19．（2024·上海松江·一模）已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与不重合）在椭圆上，求的值；
(3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，若点和点三点共线，求的值.
20．（23-24高三上·云南保山·期末）已知椭圆：（），且椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，现过点的直线分别交椭圆于，两点，且直线交线段于点，试判断与的大小，并说明理由.
21．（2024·四川德阳·模拟预测）已知抛物线：，过点的直线交于，两点.
(1)若，求的斜率；
(2)分别过，作的切线，相交于点.
①判断的形状，并证明；
②记，连接，并延长，与交于点，点，求面积的最小值.
22．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）已知点，圆，点是圆上的任意一点.动圆过点，且与相切，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若与轴不垂直的直线与曲线交于、两点，点为与轴的交点，且，若在轴上存在异于点的一点，使得为定值，求点的坐标；
(3)过点的直线与曲线交于、两点，且曲线在、两点处的切线交于点，证明：在定直线上.
23．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知分别为椭圆的左，右焦点，为的上顶点，点为椭圆上的一个动点，且三角形面积的最大值为1，焦距为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过点作两直线分别与椭圆相交于点和点.
（i）若点不在坐标轴上，且，求直线的方程；
（ii）若直线斜率都存在，且，求四边形面积的最小值.
24．（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线C：的渐近线方程为．
(1)求C的标准方程；
(2)过点的直线l交C于M，N两点，交x轴于Q点．若，问是否存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
25．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，．
(1)求的标准方程；
(2)证明：；
(3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．
同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．
与C相离；与C相切；与C相交．
注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；
焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
一、弦长公式
（最常用公式，使用频率最高）
二、三角形面积问题
直线方程：
三、焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为

注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数
四、平行四边形的面积
直线为，直线为
注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；
将两式相减，可得；整理得：
一、定点问题
定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
【一般策略】
①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等.
②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程.
③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程
一、定直线问题
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.
【一般策略】
①联立方程消去参；
②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；
③将横纵坐标分别用参数表示，再消参；
④设点，对方程变形解得定直线.
解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线．
目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况：
（1），即动点恒过直线．
（2），即动点恒过直线．
（3），即动点恒过直线．