新高考数学二轮复习专题巩固练--4.2　三角函数的图象与性质（含答案解析）

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五年高考
高考新风向
1.(多想少算、回归教材)(2024新课标Ⅰ,7,5分,中)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin3x−π6的交点个数为 ( )
A.3 B.4 C.6 D.8
2.(多想少算)(多选)(2024新课标Ⅱ,9,6分,易)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin2x−π4,下列说法中正确的有( )
A. f(x)与g(x)有相同的零点
B. f(x)与g(x)有相同的最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
考点1 三角函数的图象及其变换
1.(2021全国乙理,7,5分,中)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sinx−π4的图象,则f(x)= ( )
A.sinx2−7π12 B.sinx2+π12
C.sin2x−7π12 D.sin2x+π12
2.(2023全国甲,文12,理10,5分,中)函数y=f(x)的图象由函数y=cs2x+π6的图象向左平移π6个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=12x-12的交点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分,中)函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则sin(ωx+φ)= ( )
A.sinx+π3 B.sinπ3−2x
C.cs2x+π6 D.cs5π6−2x
4.(2023新课标Ⅱ,16,5分,中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π6,则f(π)= .
考点2 三角函数的性质及其应用
1.(2021全国乙文,4,5分,易)函数f(x)=sinx3+csx3的最小正周期和最大值分别是( )
A.3π和2 B.3π和2
C.6π和2 D.6π和2
2.(2021新高考Ⅰ,4,5分,易)下列区间中,函数f(x)=7sinx−π6单调递增的区间是( )
A.0,π2 B.π2,π
C.π,3π2 D.3π2,2π
3.(2023全国乙,文10,理6,5分,易)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间π6,2π3单调递增,直线x=π6和x=2π3为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f −5π12=( )
A.-32 B.-12 C.12 D.32
4.(2020天津,8,5分,易)已知函数f(x)=sinx+π3.给出下列结论:
①f(x)的最小正周期为2π;
②fπ2是f(x)的最大值;
③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移π3个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.
其中所有正确结论的序号是( )
A.① B.①③ C.②③ D.①②③
5.(2022新高考Ⅰ,6,5分,中)记函数f(x)=sinωx+π4+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π30,|φ|0,ω>0,00), f(x1)=f(x2)=22,|x1-x2|的最小值为2π3,则ω=( )
A.12 B.1 C.2 D.3
5.(多选)(2024黑龙江齐齐哈尔二模,9)已知函数f(x)=sinx−π3+csx−5π6,则( )
A. fx−2π3为偶函数
B.曲线y=f(x)的对称中心为kπ+π3,0,k∈Z
C. f(x)在区间π3,4π3上单调递减
D. f(x)在区间π3,4π3上有一条对称轴
6.(多选)(2024河南五市联考,10)函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|1的解集为kπ+π6,kπ+π2(k∈Z)
C.7π12为f(x)的一个零点
D.若A,B,C为△ABC内角,且f(A)=f(B),则A=B或C=π3
7.(多选)(2024广东深圳二模,10)已知函数f(x)=sin ωx+acs ωx(x∈R,ω>0)的最大值为2,其部分图象如图所示,则( )
A.a=3
B.函数fx−π6为偶函数
C.满足条件的正实数ω存在且唯一
D. f(x)是周期函数,且最小正周期为π
8.(2024山东济宁一模,15)已知函数f(x)=12(sin2x-cs2x)-3sin xcs(π-x).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且fA2+π4=32,b=2c-2a.求角B的大小.
9.(2024重庆第六次质量检测,16)设函数f(x)=cs ωxsinωx+π6-14(ω>0),且函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)若x∈0,π2,求f(x)的值域;
(2)把函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再将所得图象向左平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,讨论函数g(x)的单调性;
(3)在△ABC中,记A,B,C所对的边分别为a,b,c, f(A)=-12,外接圆面积为4π,tan B=(2-3)tan C,△ABC的内角∠BAC的平分线与外角平分线分别交直线BC于D,E两点,求DE的长度.
10.(2024福建三明质量检测,16)已知函数f(x)=sin ωx+csωx+π6(其中ω>0)图象的两条相邻对称轴间的距离为π2.
(1)若f(x)在(0,m)上有最大值无最小值,求实数m的取值范围;
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度;再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到g(x)的图象,设h(x)=g(x)+12x,求h(x)在(-2π,π)上的极大值点.
练风向
1.(创新考法)(2024广东广州一模,6)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能是( )
A. f(x)=sin(tan x) B. f(x)=tan(sin x)
C. f(x)=cs(tan x) D. f(x)=tan(cs x)
2.(创新知识交汇)(2024湖北武汉二调,7)函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图,若TA=AB,则点A的纵坐标为( )
A.2−22 B.3−12 C.3-2 D.2-3
4.2 三角函数的图象与性质
五年高考
高考新风向
1.(多想少算、回归教材)(2024新课标Ⅰ,7,5分,中)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin3x−π6的交点个数为 ( C )
A.3 B.4 C.6 D.8
2.(多想少算)(多选)(2024新课标Ⅱ,9,6分,易)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin2x−π4,下列说法中正确的有( BC )
A. f(x)与g(x)有相同的零点
B. f(x)与g(x)有相同的最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
考点1 三角函数的图象及其变换
1.(2021全国乙理,7,5分,中)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π3个单位长度,得到函数y=sinx−π4的图象,则f(x)= ( B )
A.sinx2−7π12 B.sinx2+π12
C.sin2x−7π12 D.sin2x+π12
2.(2023全国甲,文12,理10,5分,中)函数y=f(x)的图象由函数y=cs2x+π6的图象向左平移π6个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=12x-12的交点个数为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分,中)函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则sin(ωx+φ)= ( BC )
A.sinx+π3 B.sinπ3−2x
C.cs2x+π6 D.cs5π6−2x
4.(2023新课标Ⅱ,16,5分,中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=π6,则f(π)= -32 .
考点2 三角函数的性质及其应用
1.(2021全国乙文,4,5分,易)函数f(x)=sinx3+csx3的最小正周期和最大值分别是( C )
A.3π和2 B.3π和2
C.6π和2 D.6π和2
2.(2021新高考Ⅰ,4,5分,易)下列区间中,函数f(x)=7sinx−π6单调递增的区间是( A )
A.0,π2 B.π2,π
C.π,3π2 D.3π2,2π
3.(2023全国乙,文10,理6,5分,易)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间π6,2π3单调递增,直线x=π6和x=2π3为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f −5π12=( D )
A.-32 B.-12 C.12 D.32
4.(2020天津,8,5分,易)已知函数f(x)=sinx+π3.给出下列结论:
①f(x)的最小正周期为2π;
②fπ2是f(x)的最大值;
③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移π3个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象.
其中所有正确结论的序号是( B )
A.① B.①③ C.②③ D.①②③
5.(2022新高考Ⅰ,6,5分,中)记函数f(x)=sinωx+π4+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π30,|φ|0,ω>0,00), f(x1)=f(x2)=22,|x1-x2|的最小值为2π3,则ω=( A )
A.12 B.1 C.2 D.3
5.(多选)(2024黑龙江齐齐哈尔二模,9)已知函数f(x)=sinx−π3+csx−5π6,则( BD )
A. fx−2π3为偶函数
B.曲线y=f(x)的对称中心为kπ+π3,0,k∈Z
C. f(x)在区间π3,4π3上单调递减
D. f(x)在区间π3,4π3上有一条对称轴
6.(多选)(2024河南五市联考,10)函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|1的解集为kπ+π6,kπ+π2(k∈Z)
C.7π12为f(x)的一个零点
D.若A,B,C为△ABC内角,且f(A)=f(B),则A=B或C=π3
7.(多选)(2024广东深圳二模,10)已知函数f(x)=sin ωx+acs ωx(x∈R,ω>0)的最大值为2,其部分图象如图所示,则( ACD )
A.a=3
B.函数fx−π6为偶函数
C.满足条件的正实数ω存在且唯一
D. f(x)是周期函数,且最小正周期为π
8.(2024山东济宁一模,15)已知函数f(x)=12(sin2x-cs2x)-3sin xcs(π-x).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且fA2+π4=32,b=2c-2a.求角B的大小.
解析 (1)f(x)=-12cs 2x+3sin xcs x
=32sin 2x-12cs 2x
=sin2x−π6.(4分)
令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ,k∈Z,
得-π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z,(5分)
所以f(x)的单调递增区间为-π6+kπ,π3+kπ(k∈Z).(6分)
(2)由(1)知, fA2+π4=sinA+π3=32,
又A∈(0,π),所以A+π3∈π3,4π3,所以A=π3,(8分)
由正弦定理及b=2c-2a得sin B=2sin C-2sin A,(9分)
因为A+B+C=π,
所以sin B=2sin2π3−B-62,(10分)
整理得cs B=22,(12分)
又B∈0,2π3,所以B=π4,
故角B的大小为π4.(13分)
9.(2024重庆第六次质量检测,16)设函数f(x)=cs ωxsinωx+π6-14(ω>0),且函数f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)若x∈0,π2,求f(x)的值域;
(2)把函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再将所得图象向左平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,讨论函数g(x)的单调性;
(3)在△ABC中,记A,B,C所对的边分别为a,b,c, f(A)=-12,外接圆面积为4π,tan B=(2-3)tan C,△ABC的内角∠BAC的平分线与外角平分线分别交直线BC于D,E两点,求DE的长度.
解析 (1)f(x)=cs ωxsinωx+π6-14
=32cs ωxsin ωx+12cs2ωx-14
=34sin 2ωx+14cs 2ωx=12sin2ωx+π6,
由题意得T2=π2,又T=2π|2ω,ω>0,
∴ω=1,则f(x)=12sin2x+π6.
若x∈0,π2,则2x+π6∈π6,7π6,∴f(x)∈−14,12.
(2)由题意得g(x)=12sin4x+5π6,
由-π2+2kπ≤4x+5π6≤π2+2kπ(k∈Z),得-π3+12kπ≤x≤-π12+12kπ(k∈Z);
由π2+2kπ≤4x+5π6≤3π2+2kπ(k∈Z),得-π12+12kπ≤x≤π6+12kπ(k∈Z).
∴g(x)在−π3+12kπ,−π12+12kπ(k∈Z)上单调递增,在-π12+12kπ,π6+12kπ(k∈Z)上单调递减.
(3)f(A)=12sin2A+π6=-12⇔sin2A+π6=-1,
∵0