新高考数学二轮复习专题巩固练--3.2　利用导数研究函数的单调性、极值和最值（含答案解析）

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五年高考
高考新风向
1.(多选)(2024新课标Ⅰ,10,6分,中)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则( )
A.x=3是f(x)的极小值点
B.当0a
3.(2022新高考Ⅰ,7,5分,难)设a=0.1e0.1,b=19,c=-ln 0.9,则( )
A.a19e3 B. f(-2)e24 D. f(3)>e39
7.(多选)(2024山西晋城一模,9)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0,则该函数在D上纯粹递增,若一个函数在区间D上的导数值恒小于0,则该函数在D上纯粹递减,则( )
A.函数f(x)=x2-2x在[1,+∞)上纯粹递增
B.函数f(x)=x3-2x在[1,2]上纯粹递增
C.函数f(x)=sin x-2x在[0,1]上纯粹递减
D.函数f(x)=ex-3x在[0,2]上纯粹递减
8.(2024河北部分重点高中联考,14)已知函数f(x)=ax-ln x的最小值为0,则a= .
9.(2024安徽黄山第一次质量检测,15)已知函数f(x)=32x2-4ax+a2ln x在x=1处取得极大值.
(1)求a的值;
(2)求f(x)在区间1e,e上的最大值.
练思维
1.(2024东北三省四市教研联合体模拟,8)在同一平面直角坐标系内,函数y=f(x)及其导函数y=f '(x)的图象如图所示,已知两图象有且仅有一个公共点,其坐标为(0,1),则( )
A.函数y=f(x)·ex的最大值为1
B.函数y=f(x)·ex的最小值为1
C.函数y=f(x)ex的最大值为1
D.函数y=f(x)ex的最小值为1
2.(2024江苏南通、如皋、连云港联考,7)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x∈R,有f'(x)-f(x)>0,则“xe4f(2x-3)”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件
D.充要条件
3.(2024山东齐鲁名校联盟质量检测,8)已知函数f(x)=mx2-xln x存在极小值点x0,且f(x0)0,h(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,即g'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,
则g(x)在[0,+∞)上单调递增,又g(0)=0,从而f '(x)=g(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,
即f(x)在[0,+∞)上单调递增,又f(0)=0,∴f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.(8分)
②当-2a-10 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x10,g(-1)=-4e2+13时,g(x)=x2e1-x(x-3)+1>0,故g(x)在(3+3,+∞)上无零点,即f(x)无极值点.
综上, f(x)有3个极值点.
8.(2023全国乙理,21,12分,难)已知函数f(x)=1x+aln(1+x).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)是否存在a,b,使得曲线y=f 1x关于直线x=b对称?若存在,求a,b;若不存在,说明理由;
(3)若f(x)在(0,+∞)存在极值点,求a的取值范围.
解析 (1)当a=-1时, f(x)=1x−1ln(x+1),则f(1)=0,且f '(x)=-1x2ln(x+1)+1x−1·1x+1,
故f '(1)=-ln 2,所以所求切线方程为y=-(x-1)ln 2,
即xln 2+y-ln 2=0.
(2)存在.f 1x=(x+a)ln x+1x,其定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞).
要使函数f 1x的图象关于直线x=b对称,则由x≠0且x≠-1知b=-12,此时f 1x=(x+a)ln x+1x的图象关于直线x=-12对称,则f −12+t=f −12−t,
即−12+t+aln t+12−12+t=a−12−tln t−12t+12,
即a+t−12ln t+12t−12=-a−t−12ln t+12t−12,
∴a+t-12=-a+t+12,解得a=12.
(3)f '(x)=-1x2ln(x+1)+1x+a1x+1=-1x2ln(x+1)−ax2+xx+1,
要使f(x)在(0,+∞)存在极值点,则方程ln(x+1)-ax2+xx+1=0有正根,
记g(x)=ln(x+1)-ax2+xx+1,x>0,
则g'(x)=-x(1+x)2·(ax+2a-1).
①当a≤0时,g'(x)>0,故g(x)在(0,+∞)单调递增,
g(x)>g(0)=0,不符合题意,舍去;
②当a≥12时,g'(x)0,则“xe4f(2x-3)”的( A )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件
D.充要条件
3.(2024山东齐鲁名校联盟质量检测,8)已知函数f(x)=mx2-xln x存在极小值点x0,且f(x0)−1+14=0,t1=−1−1+8a4ln t2时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
x0, f(x)单调递增.
所以f(x)min=f(2)=4−ae2=1e,解得a=4-e,与a>2矛盾,故舍去.
综上,a的值为1.(15分)
11.(2024浙江温州三模,16)设函数f(x)=xln x-16x3的导函数为g(x).
(1)求函数g(x)的单调区间和极值;
(2)证明:函数f(x)存在唯一的极大值点x0,且x0>32.(参考数据:ln 2≈0.693 1)
解析 (1)由题意知f(x)的定义域为(0,+∞).
因为g(x)=f '(x)=ln x+1-12x2,
所以g'(x)=1x-x=1−x2x(x>0),令g'(x)=0,则x=1,
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
故极大值为g(1)=ln 1+1-12=12,无极小值.
(2)证明:由(1)可知f '(x)在(0,1)上单调递增,所以在x∈(0,1)上,函数f(x)不存在极大值点.又f '(x)max=f '(1)=12>0, f '(x)在(1,+∞)上单调递减, f '(2)=1+ln 2-2=ln 2-10, f(x)单调递增;当x∈(x0,+∞)时, f '(x)