高考数学二轮复习专题2.13 利用导数求函数的单调性、极值、最值（解析版）

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第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【套路秘籍】
一．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
二．函数的极值
(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
三．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
【套路修炼】
考向一 单调区间
【例1】求下列函数的单调区间：
（1）； （2）. （3）)f(x)＝.
【答案】见解析
【解析】（1）由题意得.
令，解得或.
当时，函数为增函数；当时，函数也为增函数.
令，解得.当时，函数为减函数.
故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）函数的定义域为..
令，解得；令，解得.
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)要使函数f(x)＝有意义，必须2x－x2≥0，即0≤x≤2.∴函数的定义域为[0,2]．
f′(x)＝()′＝(2x－x2)－·(2x－x2)′＝ .令f′(x)＞0，则＞0.
即∴0＜x＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)．
令f′(x)＜0，则＜0，即∴1＜x＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)．
【套路总结】
用导数研究函数的单调性
（1）用导数证明函数的单调性
证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0
（2）用导数求函数的单调区间
①求函数的定义域
②求导
③解不等式＞0得解集
④求,得函数的单调递增（减）区间。
一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数
一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数
当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接

【举一反三】
1．函数y＝4x2＋的单调增区间为________．
【答案】　
【解析】　由y＝4x2＋，得y′＝8x－(x≠0)，令y′>0，即8x－>0，解得x>，
∴函数y＝4x2＋的单调增区间为.
2．函数f(x)＝x·ex－ex＋1的单调增区间是________．
【答案】　(e－1，＋∞)
【解析】　由f(x)＝x·ex－ex＋1，得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令f′(x)>0，解得x>e－1，
所以函数f(x)的单调增区间是(e－1，＋∞)．
3．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)的单调减区间是________．
【答案】　
【解析】　因为函数f(x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1(x>0)，
当f′(x)<0时，解得0 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调增区间是_______．
【答案】　和
【解析】　f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.令f′(x)＝xcos x>0，
则其在区间(－π，π)上的解集为∪，即f(x)的单调增区间为和.

考向二 极值
【例2】求函数f(x)＝－2的极值．
【答案】见解析
【解析】函数的定义域为R.f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
由表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且f(－1)＝－2＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝－2＝－1.
【套路总结】
函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数极值的方法：
①确定函数的定义域．
②求导函数．
③求方程的根．
④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．


【举一反三】
1．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．
【答案】见解析
【解析】函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域 为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.
解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调
递增↗
10
单调
递减↘
－22
单调
递增↗
因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22.

考向三 最值
【例3】求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0,3]．(2)f(x)＝sin 2x－x(x∈[－，])．
【答案】见解析
【解析】(1)因f(x)＝x3－4x＋4，则f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,2)
2
(2,3)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
－
↗
所以当x＝2时，f(x)＝x3－4x＋4有极小值，并且极小值为f(2)＝－.
又由于f(0)＝4，f(3)＝1，因此，函数f(x)＝x3－4x＋4在[0,3]上的最大值是4，最小值是－.
(2)f′(x)＝2cos 2x－1.令f′(x)＝2cos 2x－1＝0，解得x1＝，x2＝－.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
－
(－，－)
－
(－，)

(，)

f′(x)

－
0
＋
0
－

f(x)

↘

↗

↘
－
由上表可知f(x)的最大值是，最小值是－.
【套路总结】
一．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法
（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.


【举一反三】
1．求下列函数的最值：
(1)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x∈[－3,1]；
(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．
【答案】见解析
【解析】(1)∵f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.
∵f(－2)＝13，f()＝，f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴函数f(x)在区间[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
(2)∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.

考向四 利用导数判断图像
【例4】已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是


【答案】B
【解析】由的图象及导数的几何意义可知，当时，；当时，；当时，，故B符合.
【举一反三】
3.已知f(x)=14x2+sinπ2+x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的图象是(　　)

【答案】A
【解析】∵f(x)=14x2+sinπ2+x=14x2+cos x,
∴f'(x)=12x-sin x,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D.又[f'(x)]'=12-cos x,当-π312,∴[f'(x)]'<0,故函数y=f'(x)在区间-π3,π3内单调递减,排除C.故选A.
【套路运用】
1．函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为________．
【答案】　
【解析】　f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，
在(2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－2)＝.
2.函数y＝xex的最小值是________．
【答案】　－
【解析】　因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x>－1时，y′>0；当x<－1时，y′<0，所以当x＝－1时，函数取得最小值，且ymin＝－.
3．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为________．
【答案】　
【解析】　f′(x)＝x－＝且x>0.令f′(x)>0，得x>1.令f′(x)<0，得0 ∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝－ln 1＝.
4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)

①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；
②函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)；
③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)；
④函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．
【答案】　④
【解析】　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2 当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值．
5.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【答案】(2,+∞)
【解析】函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.
6.若x=1是函数f(x)=ax+ln x 的极值点,则 。
A.f(x)有极大值-1 B.f(x)有极小值-1 C.f(x)有极大值0 D.f(x)有极小值0
【答案】A
【解析】∵x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,∴f'(1)=0,∴a+11=0,∴a=-1.
∴f'(x)=-1+1x=0⇒x=1.当x>1时,f'(x)<0,当00,因此f(x)有极大值-1.
7.已知a为函数的极小值点，则a= 。
【答案】2
【解析】，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即.
8．已知函数，求函数在上的最大值和最小值.
【答案】见解析
【解析】.
当变化时，的变化情况如下表：




1


+
0
–
0
+

递增
极大值
递减
极小值
递增
因此，当时，有极大值，为；当时，有极小值，为，
又，
所以函数在上的最大值为2，最小值为.
9．已知函数在处取得极值.
（1）求a、b的值；
（2）若有极大值28，求在上的最大值.
【答案】见解析
【解析】（1）因为，所以.由于在点处取得极值，故有，即，化简得，解得.
（2）由（1）知，.
令，得.
当时，，故在上为增函数；
当 时，，故在上为减函数；
当时，，故在上为增函数.
由此可知在处取得极大值，在处取得极小值.由题设条件知，得，此时
10.已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求a，b的值．
【答案】a＝2，b＝9.
【解析】∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0.
∴即解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数．故f(x)在x＝－1处取得极小值．∴a＝2，b＝9.
12.设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
【答案】见解析
【解析】(1)因为f(x)＝aln x＋＋x＋1，所以f′(x)＝－＋.
因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，所以该切线斜率为0，即f′(1)＝0，①
即a－＋＝0，解得a＝－1
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x＞0)，
f′(x)＝－－＋＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定义域内，舍去)
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．②
所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.