2023高考数学二轮复习（知识点多）专题29 空间点、直线、平面之间的位置关系（原卷＋解析版）

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专题29 空间点、直线、平面之间的位置关系
【考点预测】
知识点一．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
知识点二．直线与直线的位置关系
位置关系
相交（共面）
平行（共面）
异面
图形



符号

a∥b

公共点个数
1
0
0
特征
两条相交直线确定一个平面
两条平行直线确定一个平面
两条异面直线不同在如何一个平面内






知识点三．直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．

位置关系
包含（面内线）
相交（面外线）
平行（面外线）
图形



符号


∥
公共点个数
无数个
1
0

知识点四．平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况．

位置关系
平行
相交（但不垂直）
垂直
图形



符号
∥

，
公共点个数
0
无数个公共点且都在唯一的一条直线上
无数个公共点且都在唯一的一条直线上

知识点五．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【题型归纳目录】
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
题型二：截面问题
题型三：异面直线的判定
题型四：平面的基本性质
题型五：等角定理
【典例例题】
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
例1．（2022·上海·高三专题练习）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点．设AM与平面BB1D1D的交点为O，则（       ）

A．三点D1，O，B共线，且OB=2OD1
B．三点D1，O，B不共线，且OB=2OD1
C．三点D1，O，B共线，且OB=OD1
D．三点D1，O，B不共线，且OB=OD1

例2．（2022·上海·高三专题练习）如图是长方体，是的中点，直线交平面于点，则下列结论错误的是（       ）

A．，，三点共线
B．，，，四点共面
C．，，，四点共面
D．，，，四点共面

例3．（2022·宁夏·固原一中一模（文））在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（       ）

①､､三点共线；
②､､､四点共面；
③､､､四点共面；
④､､､四点共面.
A．①② B．①②③④ C．①②③ D．①③④

例4．（2022·上海·模拟预测）已知长方体中，对角线与平面交于点O，则O为的（       ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

例5．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（       ）

A．四点，，，在同一平面内
B．三条直线，，有公共点
C．直线与直线不是异面直线
D．直线上存在点使，，三点共线

例6．（2022·上海·高三专题练习）在空间四边形各边上分别取四点，如果能相交于点，那么（       ）
A．点必在直线上 B．点必在直线BD上
C．点必在平面内 D．点必在平面外

例7．（2022·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．证明：E，F，D，B四点共面．


例8．（2022·全国·模拟预测（理））图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将该图形沿，折起使得与重合，连接，如图2．

证明：图2中C，D，E，G四点共面；

例9．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图，等腰梯形中，沿将 折起至与平面BCDE成直二面角得到一四棱锥，为中点，过 作平面 .

请画出平面截四棱锥的截面，写出作法，并求其周长；

例10．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，，，，，，，M为PC的中点，．

证明：A，B，M，N四点共面；

例11．（2022·四川眉山·三模（文））如图，已知在三棱柱中，，，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，.D是侧棱中点，.

(1)证明：平面；
(2)F，E，三点在同一条直线上吗？说明理由，求的值.

例12．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线．


例13．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））如图，在正四面体A-BCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且，．


求证：直线EH，FG必相交于一点，且这个交点在直线BD上；

例14．（2022·河南·三模（文））如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．


(1)证明：E，F，D，B四点共面．
(2)证明：BE，DF，三线共点．

例15．（2022·山东枣庄·一模）已知正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过点作出正方体的截面，使得该截面平行于平面．

作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由；
（截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．）

【方法技巧与总结】
要证明“点共面”、“线共面”可先由部分直线活点确定一个平面，再证其余直线或点也在该平面内（即纳入法）；证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线，证明 “线共点”问题是证明三条或三条以上直线交于一点，思路是：先证明两条直线交于一点，再证明交点在第三条直线上.
题型二：截面问题
例16．（2022·上海黄浦·二模）如图，已知、、分别是正方体的棱、和的中点，由点、、确定的平面截该正方体所得截面为（       ）．

A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形

例17．（2022·江西萍乡·三模（文））正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F在侧面上运动，且满足平面.以下命题中，正确的个数为（       ）

①侧面上存在点，使得；
②直线与直线所成角可能为30°；
③设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为.
A．0 B．1 C．2 D．3

例18．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（       ）
A． B． C． D．

例19．（2022·山西·模拟预测（理））如图，长方体中，，，点为线段的中点，点为棱上的动点（包括端点），平面截长方体的截面为，则（       ）

A．截面可能为六边形
B．存在点，使得截面
C．若截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为
D．当与重合时，截面将长方体分成体积比为的两部分

例20．（2022·云南曲靖·二模（文））正方体的棱长为1，E、F、G分别为BC，，的中点，有下述四个结论，其中正确的结论是（       ）

①点C与点B到平面AEF的距离相等；               ②直线与平面AEF平行；
③平面AEF截正方体所得的截面面积为；        ④直线与直线EF所成的角的余弦值为.
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④

例21．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体中，，M为的中点，N为的中点，过的平面与DM，都平行，则平面截长方体所得截面的面积为（       ）
A． B． C． D．

例22．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在正方体ABCD—中，，点E为AB
中点，点F为BC中点，则过点A与，都平行的平面α被正方体ABCD—截得的截面面积为（       ）

A． B． C． D．

例23．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正方体的棱长为4，E，F分别是棱，BC的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（       ）
A．6 B．10 C． D．

例24．（2022·贵州·模拟预测（理））在正三棱柱中，，，分别在上，且，则过三点的平面截此棱柱所得截面的面积为（       ）
A． B． C． D．

例25．（2022·河南·西南大学附中高三期中（文））如图，在直四棱柱中，，，，，点､分别为棱､的中点，则平面与直四棱柱各侧面矩形的交线所围成的图形的面积为（       ）

A． B．
C． D．

例26．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））在棱长为1的正方体中，M为底面ABCD的中心，Q是棱上一点，且，，N为线段AQ的中点，给出下列命题：

①与共面；
②三棱锥的体积跟的取值无关；
③当时，；
④当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为.
其中正确的有___________（填写序号）.

例27．（2022·全国·高三专题练习（理））正方体的棱长为2．动点P在对角线上．过点P作垂直于的平面．记平面截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为y＝f（x），设BP＝x，．下列说法中，正确的编号为 _____．
①截面多边形可能为四边形；
②函数f（x）的图象关于x＝对称；
③当x＝时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为9π．

例28．（2022·上海静安·模拟预测）正方体的棱长为1，、分别为、的中点，则平面截正方体所得的截面面积为____________．

例29．（2022·全国·高三专题练习）正方体的棱长为2，E是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（       ）
A．5 B． C． D．

例30．（多选题）（2022·湖北·模拟预测）棱长为1的正方体中，P、Q分别在棱BC、上，，，，且，过A、P、Q三点的平面截正方体得到截面多边形，则（       ）


A．时，截面一定为等腰梯形 B．时，截面一定为矩形且面积最大值为
C．存在x，y使截面为六边形 D．存在x，y使与截面平行

例31．（多选题）（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知为正方体底面的中心，为棱上动点，，为的中点，则（       ）
A．平面平面
B．过三点的正方体的截面一定为等腰梯形
C．与为异面直线
D．与垂直

例32．（2022·全国·高三专题练习）正方体的棱长为4，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（       ）

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】
截面问题是平面基本性质的具体应用，先由确定平面的条件确定平面，然后做出该截面，并确定该截面的形状.
题型三：异面直线的判定
例33．（多选题）（2022·重庆·三模）如图，在正方体中，为正方形的中心，当点在线段上（不包含端点）运动时，下列直线中一定与直线异面的是（       ）

A． B． C． D．

例34．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））如图，在长方体中，，M、N分别是、的中点.则直线与是（       ）

A．相互垂直的相交直线
B．相互垂直的异面直线
C．相互不垂直的异面直线
D．夹角为60°的异面直线

例35．（2022·新疆·二模（理））设点为正方形的中心，为平面外一点，为等腰直角三角形，且，若是线段的中点，则（       ）
A．，且直线、是相交直线
B．，且直线、是相交直线
C．，且直线、是异面直线
D．，且直线、是异面直线

例36．（2022·全国·高三专题练习）已知直线a、b、l和平面、，，，，且．对于以下命题，下列判断正确的是（       ）
①若a、b异面，则a、b至少有一个与l相交；
②若a、b垂直，则a、b至少有一个与l垂直．
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是假命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题

例37．（2022·四川·射洪中学模拟预测（文））“直线与直线没有公共点”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

例38．（2022·全国·高三专题练习）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图．某小组得到了如图所示表面展开图，则在正方体中，、、、这四条线段所在的直线中，异面直线有（       ）


A．对 B．对 C．对 D．对

例39．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，E，F分别为CC1，D1C1的中点，则下列直线中与直线相交的是（       ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

例40．（2022·福建福州·三模）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面，其中母线，是的中点，是的中点，则（       ）
A．，与是共面直线 B．，与是共面直线
C．，与是异而直线 D．，与是异面直线

例41．（2022·上海·高三专题练习）正方体上点P，Q，R，S是其所在棱的中点，则直线PQ与RS
异面的图形是（       ）
A． B．
C． D．

【方法技巧与总结】
判定空间两条直线是异面直线的方法如下：
（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线.
（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面.
题型四：平面的基本性质
例42．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（       ）

A．， B．， C．， D．，

例43．（2022·河南·濮阳市华龙区高级中学高三开学考试（文））下列命题中正确的是（       ）
A．过三点确定一个平面 B．四边形是平面图形
C．三条直线两两相交则确定一个平面 D．两个相交平面把空间分成四个区域

例44．（2022·江苏省滨海中学模拟预测）空间中个平面可以把空间最多分成的部分的个数为（       ）
A． B． C． D．

例45．（2022·上海·高三专题练习）空间中三个平面最多可以将空间分为________部分．

例46．（2022·上海·高三专题练习）空间两个平面最多将空间分成___________部分.（填数字）

例47．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三阶段练习（理））设有下列四个命题：
①若点直线a，点平面，则直线平面；
②过空间中任意三点有且仅有一个平面；
③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；
④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
则上述命题中正确的序号是__________．

例48．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，用符号语言可表述为（       ）

A．，， B．，，
C．，，， D．，，，

例49．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的个数是（       ）
两两相交的三条直线可确定一个平面
两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行
过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
A． B． C． D．

题型五：等角定理
例50．（2022·全国·高三专题练习（理））过正方形的顶点作直线，使得与直线，所成的角均为，则这样的直线的条数为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4

例51．（2022·全国·高三专题练习）已知是两两不同的三条直线，下列说法正确的是
A．若直线异面，异面，则异面
B．若直线相交，异面，则相交
C．若，则与所成的角相等
D．若，则

例52．（2022·全国·高三专题练习）平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，，，则m，n所成角的正切值为
A． B． C． D．

例53．（2022·甘肃·嘉峪关市第一中学三模（文））空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（　　）
A．60° B．120° C．30° D．60°或120°

例54．（2022·全国·高三课时练习）已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为
A．2 B．3 C．4 D．5

例55．（2022·上海·高三专题练习）设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.

例56．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是_________.

【方法技巧与总结】
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·上海·模拟预测）如图正方体中，分别为棱的中点，连接.空间任意两点，若线段上不存在点在线段上，则称两点可视，则下列选项中与点可视的为（       ）

A．点P B．点B C．点R D．点Q
2．（2022·四川·石室中学模拟预测（理））如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线BE与直线CF异面；
②直线BE与直线AF异面；
③直线EF平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确结论的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·山西大同·高三阶段练习）如图，在四棱柱中，，，，，M，N分别是棱和的中点，则下列说法中不正确的是（       ）


A．四点共面 B．与共面
C．平面 D．平面
4．（2022·上海长宁·二模）如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（       ）．

A．直线 B．直线
C．直线 D．直线．
5．（2022·河南安阳·三模（文））以三棱柱的任意三个顶点为顶点作三角形，从中任选两个三角形，则这两个三角形共面的情况有（       ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．30种
6．（2022·全国·高三专题练习）在长方体中，点，分别是棱，的中点，点为对角线，的交点，若平面平面，，且，则实数（       ）

A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）如果直线平面，，那么过点P且平行于直线a的直线（       ）
A．只有一条，不在平面内 B．有无数条，不一定在平面内
C．只有一条，且在平面内 D．有无数条，一定在平面内
8．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知正方形ABCD中E为AB中点，H为AD中点，F，G分别为BC，CD上的点，，，将沿着BD折起得到空间四边形，则在翻折过程中，以下说法正确的是（       ）．
A． B．EF与GH相交
C．EF与GH异面 D．EH与FG异面
9．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在棱长为4的正方体，中，，分别为棱，的中点，过，，三点作正方体的截面，则以点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为（       ）

A． B．8 C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体中，，点在线段上，平面过线段的中点以及点、，现有如下说法：
（1），使得；
（2）若，则平面截长方体所得截面为平行四边形；
（3）若，，则平面截长方体所得截面的面积为
以上说法正确的个数为（       ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）用平面截棱长为1的正方体，所得的截面的周长记为，则当平面经过正方体的某条体对角线时，的最小值为（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（       ）

A．M，N，B，四点共面
B．异面直线与MN所成角的余弦值为
C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形
D．三棱锥的体积为
13．（2022·全国·模拟预测）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则（       ）


A．，，三条直线不可能交于一点，平面平面
B．，，三条直线一定交于一点，平面平面
C．直线与直线异面，平面平面
D．直线与直线相交，平面平面
14．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点（不与各边的端点重合），且AE:EB=AH:HD=m，CF:FB=CG:GD=n，AC⊥BD，AC=4，BD=6.则下列结论正确的是（       ）

A．E，F，G，H一定共面
B．若直线EF与GH有交点，则交点一定在直线AC上
C．AC∥平面EFGH
D．当m=n时，四边形EFGH的面积有最大值6
15．（2022·全国·模拟预测）在正方体中，下列说法正确的是（       ）
A．若，，分别为，，的中点，则与平面平行
B．若平面，正方体的棱长为2，则截此正方体所得截面的面积最大值为
C．点在线段上运动，则三棱锥的体积不变
D．是的中点，直线交平面于点，则，，三点共线
三、填空题
16．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则______．

17．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在边长为的正方体中，、分别为棱、的中点，则平面截该正方体所得截面的面积为__________.

18．（2022·全国·高三专题练习（理））下列说法正确的是______.
①平面的厚度是；
②经过一条直线和一个点确定一个平面；
③两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；
④经过三点确定一个平面.
19．（2022·上海·高三专题练习）空间不共线的四点，可能确定___________个平面．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，则下列结论中正确的序号是___________.

①过三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；
②平面；
③平面；
④四面体的体积等于
21．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））已知正方体的长为2，直线平面，下列有关平面截此正方体所得截面的结论中，说法正确的序号为______．
①截面形状一定是等边三角形：
②截面形状可能为五边形；
③截面面积的最大值为，最小值为；
④存在唯一截面，使得正方体的体积被分成相等的两部分．
22．（2022·全国·高三专题练习）在平行六面体的所有棱中，既与共面，又与共面的棱的条数为___________.
23．（2022·上海·高三专题练习）已知，，则与的位置关系是__________.