新高考数学一轮复习考点讲练测第8章第06讲 双曲线及其性质（十一大题型）（练习）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲练测第8章第06讲 双曲线及其性质（十一大题型）（练习）（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了 “”是“方程表示双曲线”的， “方程表示双曲线”是“”的等内容，欢迎下载使用。
题型一：双曲线的定义与标准方程
1．已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2024·吉林·模拟预测）已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线的方程为，且点在上，则的标准方程为 ．
3．双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为 ，标准方程为 ．
题型二：双曲线方程的充要条件
4． “”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
6． “方程表示双曲线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
7．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线的离心率为，其左､右焦点分别为，过作的一条渐近线的垂线并交于两点，若，则的周长为 .
8．（2024·高三·江苏南京·开学考试）设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则 .
9．（2024·河南焦作·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，，线段的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若，则的周长为 .
题型四：双曲线上两点距离的最值问题
10．定长为的线段AB的端点在双曲线的右支上运动，则AB中点M的横坐标的最小值为 ．
11．已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是 ．
12．已知定点，且，动点满足，则的最小值是 .
13．（2024·湖北·一模）平面内，线段的长度为10，动点满足，则的最小值为 ．
题型五：双曲线上两线段的和差最值问题
14．设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是 ．
15．已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．
16．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线右支上的任一点，，则的最大值为 ．
17．（2024·河北邯郸·一模）已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为 .
题型六：离心率的值及取值范围
18．已知O为坐标原点，F为双曲线C：的左焦点，直线与C交于A，B两点（点A在第一象限），若，且，则C的离心率为 .
19．已知双曲线：的左、右焦点分别为、点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为 .
20．已知双曲线的左焦点为，直线过点，在第四象限与双曲线的渐近线交于点，且直线与圆切于点，若，则双曲线的离心率是 ．
21．某研究性学习小组发现，由双曲线的两渐近线所成的角可求离心率的大小，联想到反比例函数的图象也是双曲线，据此可进一步推断双曲线的离心率 .
22．已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
23．已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是 .
24．（2024·山东淄博·二模）若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，则离心率e为（ ）
A．B．C．3D．
25．（2024·广东东莞·模拟预测）若双曲线C：的右支上存在，到点的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
26．（2024·高三·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
27．已知F是双曲线（，）的右焦点，O是坐标原点，F是OP的中点，双曲线E上有且仅有一个动点与点P之间的距离最近，则E的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型七：双曲线的简单几何性质问题
28．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若是双曲线上一点，分别为的左、右焦点，则下列结论中正确的是（ ）
A．双曲线的虚轴长为B．若，则的面积为2
C．的最小值是D．双曲线的焦点到其渐近线的距离是2
29．（多选题）已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标B．渐近线方程C．焦距D．离心率
30．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，是双曲线的右焦点，则下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．双曲线的实轴长为4
C．双曲线的一条渐近线方程为
D．P为双曲线上一点，若，则
31．（多选题）（2024·湖南株洲·一模）已知双曲线，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2B．双曲线C的焦点坐标为
C．双曲线C的渐近线方程为D．双曲线C的离心率为
32．（多选题）（2024·江苏南通·二模）已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（ ）
A．C的虚轴长为B．C的离心率为
C．的最小值为2D．直线PF的斜率不等于
33．（多选题）（2024·湖南长沙·一模）已知双曲线的方程为，则（ ）
A．渐近线方程为B．焦距为
C．离心率为D．焦点到渐近线的距离为8
34．（多选题）（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线上一点满足，则的周长为28
D．若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
题型八：利用第一定义求解轨迹
35． 是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，若四边形（为原点）的面积为4，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
36．已知圆与圆，动圆同时与圆及相外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．椭圆B．椭圆和一条直线
C．双曲线和一条射线D．双曲线的一支
37．已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 .
38．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 .
39．已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ．
40．在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ．
41．动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ．
42．已知A，B分别为椭圆的左､右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴垂直，则直线MA与NB交点的轨迹方程为 .
题型九：双曲线的渐近线
43．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为 .
44．（2024·上海·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 .
45．（2024·上海宝山·二模）已知是双曲线上的点，过点作双曲线两渐近线的平行线，直线分别交轴于两点，则 ．
46．（2024·江西鹰潭·一模）设为双曲线右支上的任意一点，为坐标原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于,两点，则平行四边形的面积为 ．
题型十：共焦点的椭圆与双曲线
47．已知F是椭圆的右焦点，A为椭圆的上顶点，双曲线与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，则 ．
48．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
49．已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为（ ）.
A．B．C．D．
50．（多选题）已知椭圆C：与双曲线：共焦点，过椭圆C上一点P的切线l与x轴、y轴分别交于A，B两点为椭圆C的两个焦点又O为坐标原点，当的面积最小时，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．直线OP的斜率与切线l的斜率之积为定值
D．的平分线长为
题型十一：双曲线的实际应用
51．如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为 ．

52．（2024·上海·三模）如图，B地在A地的正东方向，相距4km；C地在B地的北偏东方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比它到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从M到A、B两地修建公路费用都是10万元/km，从M到C修建公路的费用为20万元/km．选择合适的点M，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是 万元（精确到0.01）
53．（2024·上海·模拟预测）一颗彗星的运行轨迹是以太阳为焦点，且靠近该焦点的双曲线的一支，当太阳与这颗彗星的距离分别是6(亿千米)和3(亿千米)的时候，这颗彗星与太阳的连线所在直线与双曲线的实轴所在直线夹角分别为和，则这颗彗星与太阳的最近距离是 .
54．根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距，地震局以的中点为原点O，直线l为x轴，为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线的右支上，且，则P到公路l的距离为（ ）

A．B．C．D．
1．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．[ 3 ，2]
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
5．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为30°的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
6．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线的左，右顶点分别为，点在双曲线上，过点作轴的垂线，交于点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
7．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若是正三角形，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
8．（2024·河北·模拟预测）双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．（多选题）（2024·安徽·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为与轴的交点为，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（ ）
A．若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为2或
B．若，且，则双曲线的离心率为
C．若，则的取值范围是
D．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为
10．（多选题）（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是动点．下列命题正确的是（ ）
A．若，则的轨迹的长度等于2
B．若，则的轨迹方程为
C．若，则的轨迹与圆没有交点
D．若，则的最大值为3
11．（多选题）（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为e，其左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过点的直线l交双曲线C于P，Q两点，交两条渐近线于M，N两点（P，M在第一象限），MN的中点为R，则（ ）
A．若直线l斜率，则
B．的周长为
C．以为直径的圆与以为直径的圆相交
D．若点M恰为以为直径的圆与渐近线的一个交点，且，则
12．（多选题）（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形ABCD一定是平行四边形B．四边形ABCD可能为菱形
C．AB的中点可能为D．的值可能为
13．（2024·山西太原·一模）已知椭圆，为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线，，，的斜率分别为，，，，若，则的最小值是 .
14．（2024·河南郑州·模拟预测）已知正方形PQRS的边长为，两个不同的点A，B都在直线QS的同侧（但A，B与P在直线QS的异侧），A，B关于直线PR对称，若，则面积的取值范围是 ．
15．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知双曲线：的一条渐近线与圆O：交于两点，设圆O在两点处的切线与轴分别交于两点、若双曲线的焦距为，则四边形周长的最大值为 ．
16．（2024·湖北·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ．
17．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.
18．（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程.
1．（2022年新高考天津数学高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线l经过，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021年天津高考数学试题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
3．（2021年北京市高考数学试题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
8．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
10．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是 ．
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
13．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
14．（2021年全国新高考II卷数学试题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
15．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ．
16．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
17．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc176818057" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc176818057 \h 2
\l "_Tc176818058" 题型一：双曲线的定义与标准方程 PAGEREF _Tc176818058 \h 2
\l "_Tc176818059" 题型二：双曲线方程的充要条件 PAGEREF _Tc176818059 \h 2
\l "_Tc176818060" 题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题 PAGEREF _Tc176818060 \h 3
\l "_Tc176818061" 题型四：双曲线上两点距离的最值问题 PAGEREF _Tc176818061 \h 3
\l "_Tc176818062" 题型五：双曲线上两线段的和差最值问题 PAGEREF _Tc176818062 \h 3
\l "_Tc176818063" 题型六：离心率的值及取值范围 PAGEREF _Tc176818063 \h 4
\l "_Tc176818064" 题型七：双曲线的简单几何性质问题 PAGEREF _Tc176818064 \h 5
\l "_Tc176818065" 题型八：利用第一定义求解轨迹 PAGEREF _Tc176818065 \h 6
\l "_Tc176818066" 题型九：双曲线的渐近线 PAGEREF _Tc176818066 \h 7
\l "_Tc176818067" 题型十：共焦点的椭圆与双曲线 PAGEREF _Tc176818067 \h 8
\l "_Tc176818068" 题型十一：双曲线的实际应用 PAGEREF _Tc176818068 \h 8
\l "_Tc176818069" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc176818069 \h 10
\l "_Tc176818070" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176818070 \h 13