新高考数学一轮复习考点讲练测第8章第07讲 抛物线及其性质（八大题型）（练习）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：抛物线的定义与标准方程
1．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上．若点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的，则抛物线方程可求.双曲线的渐近线方程是，即.
因为抛物线的焦点到渐近线的距离为2，
则，即，所以的标准方程是，
故选：D．
2．若点满足方程，则点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】D
【解析】等式左侧表示点与点间的距离，
等式右侧表示到直线的距离，
整个等式表示点到点的距离和到直线的距离相等，
且点不在直线上，
所以点轨迹为抛物线.
故选：D.
3．（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设抛物线的标准方程为，
将点点代入，得，解得，
所以抛物线的标准方程是.
故选：B
题型二：抛物线的轨迹方程
4．点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设，，则．由点E在y轴上，得，则，即．又，若，则，即．若，则，此时点P，B重合，直线PB不存在．所以点P的轨迹方程是．
故答案为：.
5．在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】由题意，
由得，
化简得．
故答案为：．
6．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设圆心坐标为，依题意可得，化简得，
即圆的圆心的轨迹方程为.
故选：C
7．（2024·高三·云南昆明·开学考试）已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，
则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为，
故选：B .
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题
8．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为 .
【答案】
【解析】抛物线的焦点为F1,0，准线方程为，
过点作垂直准线交于点，则，
所以，当且仅当、、三点共线时取等号，
即平行于轴时取最小值，此时，则，即，
所以.
故答案为：
9．已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】设点，则）根据点是的外心,，
而，则
所以
从而得到点的轨迹为，焦点为
由抛物线的定义可知因为，
，
即，
所以的最小值为3，
故答案为：3
10．已知，抛物线的焦点为是抛物线C上任意一点，则周长的最小值为 ．
【答案】
【解析】抛物线的准线，，过点P作垂直于准线，
由题可知，的周长为，
又，
易知当三点共线时，的周长最小，且最小值为．
故答案为：
11．已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 .
【答案】8
【解析】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当垂直于抛物线的准线时，最小，
此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，
半径为，所以的最小值为.
故答案为：8.
12．（2024·陕西渭南·二模）若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】抛物线的焦点，准线，设，
则，解得，显然，不妨设，
关于直线的对称点为，则
因此，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
13．抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为 .
【答案】
【解析】由，得，所以，准线为，
不妨设点在第一象限，过作于，则，得，
则，得，所以，
设点关于直线对称点为，则，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
14．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若面积是面积的两倍，则＝（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】B
【解析】由题意得，当直线l的斜率为0时，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去；
设过F的直线l的方程为，与抛物线联立得，
，
设，，则，
因为面积是面积的两倍，所以，
则，解得，则，
则，解得，
故，
则.
故选：B
15．（2024·四川乐山·三模）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】C
【解析】依题意，由于H，得，即是正三角形，，
而，则直线的方程为，
由，消去y并整理，得，
令，解得，又准线，
因此，
所以与的面积之比.
故选：C.
16．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】A
【解析】由题可得，因为，
所以，，
所以为坐标原点)的面积是.
故选：A.
17．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则．
又，所以当四边形的面积最小时，最小．
过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，
当点与坐标原点重合时，最小，此时．
故．
故选：C
18．如图，已知抛物线：的焦点为，直线与相交于，两点，与轴相交于点.已知，，若△，△的面积分别为，，且，则抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】如图，过A，B分别作C的准线的垂线分别交y轴于点M，N，
因为C的准线为，所以，，
所以，解得，故C为.
故选：B.
题型五：焦半径问题
19．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点，
过焦点作垂直于于点，由题意可知，
根据抛物线的定义
在中，，又，
所以，
解得.
故选：C.
20．（2024·高三·江苏南通·开学考试）已知焦点为的抛物线上两点满足，则中点的横坐标为 .
【答案】
【解析】因为抛物线，所以，
设，由得，所以，
由，，所以，
所以中点的横坐标为，
故答案为：
21．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 .
【答案】5
【解析】抛物线的焦点为，设直线的方程，，
由消去得，则，由，得，
联立解得或，因此，所以.
故答案为：5
题型六：抛物线的几何性质
22．（多选题）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是B．抛物线关于轴对称
C．抛物线的准线方程为D．抛物线的焦点到准线的距离为8
【答案】AC
【解析】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为，
则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确；
抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误.
故选：AC
23．（多选题）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
【答案】AB
【解析】设，则，，又抛物线的焦点为，
对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错；
对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；
对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
对D，记抛物线的准线为，准线方程为，
过作于，过作于，则，，
所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．
故选：AB．
24．（多选题）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
【答案】CD
【解析】设，则，，又抛物线的焦点为，
所以，时，等号成立．所以的最小值是1，A错；
抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错；
易知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确；
记抛物线的准线为，准线方程为，
过作于，过作于，则，
，所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确．
故选：CD．
题型七：抛物线焦点弦的性质
25．（多选题）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（ ）
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．
【答案】CD
【解析】直线过抛物线的焦点，
可得，则，所以A选项错误；
抛物线方程为，准线的方程为，
直线与抛物线交于两点，设Ax1,y1,Bx2,y2，
直线方程代入抛物线方程消去可得，
则，得，所以B选项错误；
的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为，
则以为直径的圆与相切，所以C选项正确；
点到直线的距离，，所以D选项正确．
故选：CD．
26．（多选题）已知直线经过抛物线：的焦点，且与交于点，，点为坐标原点，点，在轴上的射影分别为，，点，在轴上的射影分别为，，则（ ）
A．
B．
C．的最小值为7
D．
【答案】ABD
【解析】设Ax1,y1，Bx2,y2，直线的方程为，
联立方程组，整理得，可得，
由，所以A正确；
由，所以，所以B正确；
由，
当且仅当时取等号，所以C错误；
由
，所以D正确.
故选：ABD.
27．（多选题）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程是
B．焦点到准线的距离为4
C．若，则的最小值为3
D．以线段为直径的圆与轴相切
【答案】ACD
【解析】A：抛物线的准线为，故A正确；
B：焦点到准线距离为，故B错误；
C：当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为，此点位于点的上面，故A在抛物线内部，
当直线垂直准线时 取最小值，即为，故C正确；
D：根据题意，可得抛物线的焦点为F1,0，
设的中点为，可得，
由抛物线的定义，得，则，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径，
因此，以为直径的圆与轴相切，故D正确﹒
故选：ACD
28．（多选题）（2024·高三·江苏南京·开学考试）抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．当直线过焦点时，以为直径的圆与准线相切
【答案】ACD
【解析】对于A，如图所示，过点作准线的垂线，垂足为，
则由抛物线的定义可知:,
解得 .
抛物线的方程为:,故正确;
对于，抛物线的准线方程为，故错误；
对于 ,如图所示，取的中点C,过点C作x轴的垂线，垂足为D,
易知抛物线的焦点，设，则,,
所以,
所以以为直径的圆与轴相切，故C正确；
对于, 当直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点时，直线的斜率存在，
假设,设,AB的中点为,则 ，
如图所示，作垂直于准线于点，则,
联立，消去并整理可得，
所以，
所以所以,
,
,
,
以 AB 为直经的圆与准线相切，故D正确.
故选：ACD.
29．（多选题）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（ ）
A．的准线方程为
B．线段的长度的最小值为4
C．存在唯一直线，使得为线段的中点
D．以线段为直径的圆与的准线相切
【答案】BCD
【解析】对于A，抛物线的准线方程为，故A错误；
对于B，，
由题意可得直线的斜率不等于零，设方程为，，
联立，消得，，
则，所以，
所以，时取等号，
所以线段的长度的最小值为4，故B正确；
对于C，由B选项得线段的中点坐标为，
若点为线段的中点，
则，解得，
所以存在唯一直线，使得为线段的中点，故C正确；
对于D，由C选项知线段的中点坐标为，
则中点到准线的距离为，
所以以线段为直径的圆与的准线相切，故D正确.
故选：BCD.
题型八：抛物线的实际应用
30．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）

A．3mB．4mC．5mD．6m
【答案】B
【解析】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．
设抛物线的方程为．
易知抛物线过点，则，得，
所以，所以．
故选：B．
31．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
【答案】A
【解析】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），
依题意可得抛物线的方程为．
因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为，
则，所以点到桥面的距离为米．
故选：A.
32．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（ ）（，，）

A．0.816mB．1.33mC．1.50mD．1.63m
【答案】D
【解析】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的标准方程为（），
由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为，
设（，），则，则，
即可得，
所以截面图中水面宽的长度约为，
故选：D.
33．（2024·湖北·模拟预测）随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（ ）（结果精确到0.01）
A．4.96B．5.06C．4.26D．3.68
【答案】A
【解析】如图，
设该抛物线的方程为，易知抛物线经过点，
所以，解得，故该抛物线的顶点到焦点的距离为，
故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为：米.
故选：A
1．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线C：和圆，点是抛物线的焦点，圆上的两点满足，其中是坐标原点，动点在圆上运动，则到直线的最大距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】抛物线的焦点，圆，其圆心，半径．
设点是满足的任意一点，则，
化简得，结合，所以是圆与圆的公共弦，
将圆与圆的方程相减得，直线的方程为，
取线段的中点，连接，则，
则，
故选：A．
2．（2024·高三·河南焦作·开学考试）已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】D
【解析】因为在抛物线上，故，
整理得到：即，
解得或（舍），故焦点坐标为，
故所求距离为，
故选：D.
3．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，
设，则，解得或（舍去），
则．
故选：B．
4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（ ）
A．8B．C．D．
【答案】C
【解析】
因为抛物线的焦点为F1,0，准线方程为，
所以，故，
不妨设在第一象限，故，
所以.
故选：C.
5．（2024·江西九江·二模）已知抛物线过点，为的焦点，点为上一点，为坐标原点，则（ ）
A．的准线方程为
B．的面积为1
C．不存在点，使得点到的焦点的距离为2
D．存在点，使得为等边三角形
【答案】B
【解析】由题意抛物线过点，可得，所以抛物线方程为，所以准线方程为，A错误；
可以计算，B正确；
当时，点到的焦点的距离为2，C错误；
为等边三角形，可知的横坐标为：，当时，纵坐标为：，
则，则为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点不存在，所以D错误．
故选：B．
6．（2024·湖南邵阳·三模）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，点在上且位于第一象限，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由点在抛物线 的准线上，可得 ，即 ，
所以抛物线 C 的方程为，焦点 ，准线方程为 ，
设则，由 ，可得，即，
整理得，又，所以，解得或，
点B位于第一象限，所以，，且，显然不满足垂直，
所以，
所以，所以.
故选:D.
7．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与与交于两点（点在轴上方），点，若，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
，即，
由得，，
的方程为，
由得，，，
，，故.
故选：B.
8．（2024·新疆·三模）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】由抛物线得，则，，
不妨设PQ的倾斜角为，
则由，得，，
所以，，
得，，
所以.
故选：B.
9．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和C的虚轴端点的直线l与C的一条渐近线平行．将C的两条渐近线分别记为，右焦点记为F，若以OF为直径的圆M交直线于O，A两点，点B在上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】过的直线斜率为，则，则，依题知，
且，则，即，
根据，得，代入，
得，渐近线方程，
设，
，由，所以，
．
故选：A.
10．（多选题）（2024·山西·模拟预测）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．B．
C．D．的面积等于的面积
【答案】ABD
【解析】对于选项A：由几何性质可知，且，
可得，所以，故A正确：
对于选项B：设直线的方程为，，
联立方程，消去y可得，
则，即，
由条件知同号，所以.
则，可得，
因为，则，
同理可得，则，故B正确；
对于选项C：因为，
可得，
当且仅当时，，故C错误；
对于选项D：设，
由，可知直线关于直线对称，
所以.
因为，
可得.
则，
，
所以的面积等于的面积，故D正确.
故选：ABD.
11．（多选题）（2024·陕西·一模）已知曲线的方程为是以点为圆心､1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的焦点坐标为
B．曲线过点
C．若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为
D．若曲线在的上方，则
【答案】BCD
【解析】对于A中，由曲线，抛物线的焦点坐标为，所以A错误；
对于B中，圆的标准方程为：，
点代入圆的方程得，所以圆过点，所以B正确；
对于C中，设被所截得的线段为，中点为，
联立方程组，整理得，可得，
则，故，所以，
代入，可得，解得，所以C正确；
对于D中如图所示，曲线在的上方时，抛物线和圆无交点，
联立方程组，整理得，
由，解得，所以D正确.
故选：BCD.
12．（多选题）（2024·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的动直线与交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．为定值
D．为钝角三角形
【答案】BCD
【解析】由题意可知，，所以，则，其准线方程为.
对于A，设过点的动直线的方程为，代入得，，，
设Mx1,y1，Nx2,y2，则，，
则
，当且仅当时等号成立，A错误；
对于B，由得，，解得，
所以，B正确；
对于C，为定值，C正确；
对于D，，所以为钝角，D正确.
故选：BCD.
13．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知曲线上的点满足：到定点1,0与定直线轴的距离的差为定值，其中，点，分别为曲线上的两点，且点恒在点的右侧，则（ ）
A．若，则曲线的图象为一条抛物线
B．若，则曲线的方程为
C．当时，对于任意的，，都有
D．当时，对于任意的，，都有
【答案】AC
【解析】对于A，若，设曲线上的点Px,y，由题意可得，
化简得，当时，为抛物线，
当时，，因为，所以，而，显然不成立，
综上，若，则曲线的图象为一条抛物线，故A错误；
对于B，若，设曲线上的点Px,y，
由题意可得，
化简得，当时，为抛物线，
当时，为一条射线，故B错误；
对于C，若，设曲线上的点Px,y，
由题意可得，
化简得，
因为，
当时，，
为开口向右，顶点为的抛物线的一部分，，
当时，，
为开口向左，顶点为的抛物线的一部分，，
且与关于对称,其图象大致如下，
因为，两点的纵坐标相同，
根据对称性可得，故C正确；
对于D，若，设曲线上的点Px,y，
由题意可得，
化简得，因为，
当时，，
为开口向左，顶点为的抛物线的一部分，
当时，，
为开口向右，顶点为的抛物线的一部分，
且与关于对称,其图象大致如下，
因为，两点的纵坐标相同，
根据对称性可得，故D错误.
故选：AC.
14．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，且点到直线的距离为，则 .
【答案】5
【解析】抛物线的准线方程为，
设点的坐标为，则，
因为点到直线的距离为，
所以点到准线的距离为，
由抛物线定义可得.
故答案为：.
15．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点的直线 与抛物线 交于两点，若 ，则直线 的斜率为 .
【答案】
【解析】抛物线的焦点，设直线l的方程为：，
联立方程，消去y得，，
设，则，
因为，所以，
即，得，
故答案为：
16．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，抛物线的焦点为F，准线为l，点A是直线l与x轴的交点，过抛物线上一点P作直线l的垂线，垂足为Q，直线PF与MQ相交于点N，若，则△AMN的面积为 ．
【答案】/
【解析】如图，由，得，又因为F1,0为，的中点，
所以，即N为PF的三等分点，且，
又因为，
所以，且，
所以．
不妨设Px0,y0，且在第一象限，，，解得，
因为点Px0,y0在抛物线上，
所以，
所以△AMN的面积．
故答案为：.
17．（2024·福建泉州·模拟预测）若过抛物线C：的焦点F，且斜率为的直线交C于点和，交C的准线于点，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】抛物线C：的焦点为，准线方程为，
设直线AB的方程为，由消去得，
显然，，而，
因此
，
当且仅当，即时取等号，
所以则的最小值为.
故答案为：
18．（2024·江西南昌·模拟预测）已知点在抛物线上，也在斜率为1的直线上.
(1)求抛物线和直线的方程；
(2)若点在抛物线上，且关于直线对称，求直线的方程.
【解析】（1）因为在抛物线上，所以，解得：
所以抛物线为：，
又直线的斜率为1，所以直线方程为：，即.
（2）由（1）设直线的方程为，
由消去x得：，有，解得，
设，则，于是线段的中点坐标为，
显然点在直线上，即，解得，符合题意，
所以直线的方程为.
19．（2024·浙江·二模）已知点为抛物线与圆在第一象限的交点，另一交点为.
(1)求；
(2)若点在圆上，直线为抛物线的切线，求的周长．
【解析】（1）由题意，，解得．
（2）
在抛物线与圆的方程中，用替换方程依然成立，
这表明这两个图象都关于轴对称，所以它们的交点也关于轴对称，
由，知．
直线为抛物线的切线，
当时，，所以抛物线在点处的切线斜率为，则．
代入，得或1，故．
则的周长为．
20．（2024·河南·三模）已知抛物线的焦点为F，点为C上一点．
(1)求直线的斜率；
(2)经过焦点F的直线与C交于A，B两点，原点O到直线的距离为，求以线段为直径的圆的标准方程．
【解析】（1）将代入抛物线方程可得，
解得，故F1,0．
所以．
（2）由题意，直线的斜率存在且不为0（若直线斜率不存在，则原点O到直线l的距离为1，矛盾），
所以设直线的方程为．
联立，化简得，显然，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
，
所以以线段为直径的圆的圆心、半径分别为，．
因为原点O到直线l的距离为，
所以，解得，
所以圆心、半径分别为，，
所以圆的标准方程为或．
21．（2024·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点.
①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程；
②求点A到直线的距离的最大值.
【解析】（1）若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为，
且抛物线过点，所以，解得；
若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为，
且抛物线过点，所以，解得；
综上所述：抛物线的方程为或.
（2）因为抛物线不经过第二象限，由（1）可知，抛物线的方程为，
且,，
①当经过抛物线的焦点时，令，得，
在中，令，得，
又因为，则，可得直线，
由，解得或，即，
所以直线，即；
②设，，，
由，消去整理得，
所以，，，
且，即，
则，
令，得
，
所以直线经过定点，
所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为.
1．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【解析】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
2．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
【答案】AC
【解析】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
3．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（ ）
A．直线的斜率为B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
4．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
【答案】BCD
【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
5．（2024年北京高考数学真题）抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】
【解析】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.
故答案为：.
6．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
【答案】
【解析】由知抛物线的准线方程为x=−1，设点Px0,y0，由题意得，解得，
代入抛物线方程，得，解得，
则点到轴的距离为．
故答案为：．
7．（2024年天津高考数学真题）圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为 ．
【答案】45/0.8
【解析】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即或，
故原点到直线的距离为，
故答案为：
8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【解析】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
9．（2021年北京市高考数学试题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ．
【答案】 5
【解析】因为抛物线的方程为，故且.
因为，，解得，故，
所以，
故答案为：5；.
10．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
【答案】
【解析】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【解析】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
12．（2021年浙江省高考数学试题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
【解析】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）[方法一]：通式通法
设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，
由可得，
所以，
整理得到，
故，
令，则且，
故，
故即，
解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
[方法二]：利用焦点弦性质
设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，由题设可得且．
由得，所以．
因为，
，．
由得．
同理．
由得．
因为，
所以即．
故．
令，则．
所以，解得或或．
故直线在x轴上的截距的范围为．
[方法三]【最优解】：
设，
由三点共线得，即．
所以直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．
设直线的方程为，
则．
所以．
故（其中）．
所以．
因此直线在x轴上的截距为．
【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标.
方法一：主要是用坐标表示直线，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
方法二：利用焦点弦的性质求得直线的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
方法三：利用点在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.
13．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
【解析】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.
14．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【解析】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）[方法一]：设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．
所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc176852651" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc176852651 \h 2
\l "_Tc176852652" 题型一：抛物线的定义与标准方程 PAGEREF _Tc176852652 \h 2
\l "_Tc176852653" 题型二：抛物线的轨迹方程 PAGEREF _Tc176852653 \h 3
\l "_Tc176852654" 题型三：与抛物线有关的距离和最值问题 PAGEREF _Tc176852654 \h 4
\l "_Tc176852655" 题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题 PAGEREF _Tc176852655 \h 7
\l "_Tc176852656" 题型五：焦半径问题 PAGEREF _Tc176852656 \h 11
\l "_Tc176852657" 题型六：抛物线的几何性质 PAGEREF _Tc176852657 \h 12
\l "_Tc176852658" 题型七：抛物线焦点弦的性质 PAGEREF _Tc176852658 \h 14
\l "_Tc176852659" 题型八：抛物线的实际应用 PAGEREF _Tc176852659 \h 19
\l "_Tc176852660" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc176852660 \h 22
\l "_Tc176852661" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc176852661 \h 39