新高考数学一轮复习考点讲练测第8章第05讲 椭圆及其性质（九大题型）（练习）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：椭圆的定义与标准方程
1．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为 ．
【答案】
【解析】根据题意，如图：
，由椭圆的对称性可得：，
又，由勾股定理可得：，
所以，，
又，则，
椭圆标准方程为．
故答案为：．
2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，且，，则的标准方程为 .
【答案】
【解析】连接，因为，
所以四边形是平行四边形，
所以，，
又，所以四边形为矩形，
设
则由题意得，解得，
则，则标准方程为，
故答案为：.
3．已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为 ．
【答案】
【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为，
由椭圆的定义知，
所以．
又因为，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
题型二：椭圆方程的充要条件
4．若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．且
【答案】D
【解析】方程表示椭圆，
，得，得且．
故选：D．
5．若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆
则应满足即．
故选：D．
6．若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】命题等价于，解得.
故选：C.
7．（2024·河南·模拟预测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【解析】方程可化为：，
因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得.
故选：C
8．设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.
故选：D
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
9．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为 ．
【答案】3
【解析】
，
，①
又
②
①-②得：，
的面积为9，
，
故答案为：3.
10．设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 .
【答案】
【解析】由椭圆定义可得，
则有，即，，
又，
由，故，
故.
故答案为：.
11．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则 .
【答案】/0.5
【解析】如图，记，，
因为，则，，
由椭圆的定义可得，
所以，则，
又且，有或，
解得或，又点在第一象限，所以，
得，则.
故答案为：.
12．已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（ ）
A．10B．13C．14D．16
【答案】D
【解析】由题意可知：，
则，
所以的周长为.
故选：D.
题型四：椭圆上两点距离的最值问题
13．（2024·宁夏银川·二模）已知椭圆C：的左焦点为，为椭圆C上任意一点，则的最小值为 ．
【答案】1
【解析】由椭圆C：知：，故，
所以，
所以，的最小值为.
故答案为：
14．已知，点在点，所在的一个平面内运动且，则的最大值是 ，最小值是 ．
【答案】 5 1
【解析】依题意知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
，，
∴，．
∴，．
故答案为：5；1．
15．过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为 .
【答案】/
【解析】法一：将代入椭圆的方程得，所以①，
设，，则，
两式相减得，
又，，所以②，
解①②得，所以，
所以上的点到焦点的距离的最大值为.
法二：将代入椭圆的方程得，所以①，
直线的方程是，即，
代入椭圆的方程并消去整理得，
则，
设，，则，即②，
解①②得，满足，所以，
所以上的点到焦点的距离的最大值为.
故答案为：.
16．已知椭圆的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由椭圆的离心率为，
可得，解得，所以椭圆的方程为，
设，则，
因为，当时，可得取得最大值，最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题
17．设实数满足的最小值为（ ）
A．B．C．D．前三个答案都不对
【答案】A
【解析】设，则在椭圆上，
又，
设，则为椭圆的右焦点，
如图，设椭圆的左焦点为，则：
，
当且仅当三点共线且在之间时等号成立，
而，故的在最小值为，
故选：A.
18．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．11
【答案】A
【解析】
设椭圆的半焦距为，则，，
如图，连接，则，
而，当且仅当共线且在中间时等号成立，
故的最大值为.
故选：A.
19．已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.
则椭圆的焦点为.
又,，，
故，
当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.
故选：C.
20．已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【解析】椭圆上的点P满足，
当点P为的延长线与C的交点时，
达到最大值，最大值为．
故选：B
题型六：离心率的值及取值范围
21．已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以，
即，，，所以，即，
又因为，所以椭圆离心率的取值范围为．
故选：A．
22．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于，两点．在中，，且满足，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【解析】设椭圆的左焦点为，连接，，根据对称性可知四边形为平行四边形，
又，所以，
又，
又，，
即，
，
所以，
所以，
即，
所以，解得或．
又因为，所以．
故答案为：
23．（2024·高三·河北保定·开学考试）如图，设椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，且，则的离心率为 .
【答案】
【解析】因为，则，
所以为直角三角形，又，
得，.
故答案为：
24．（2024·高三·福建·开学考试）已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，M是椭圆与抛物线的一个公共点，，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】设椭圆其右焦点为，椭圆上一点，
则，
此公式为椭圆的焦半径公式.
因为椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，
所以，
设是椭圆与抛物线的一个公共点，因为，
根据抛物线的定义，，
即①
又由椭圆的焦半径公式有②
由①②解得，
所以离心率.
故答案为：
25．（2024·高三·河北沧州·期中）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且的周长为6，面积的最大值为，则椭圆的离心率为 .
【答案】/0.5
【解析】依题意，的周长为，
所以面积的最大值为，
又，整理得,即,
解得，故椭圆的离心率为，
故答案为：
26．已知为椭圆的两个焦点，为上一点，若的三边成等差数列，则的离心率为 ．
【答案】/0.5
【解析】因为成等差数列，
所以，
所以．
故答案为：．
27．如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为 .

【答案】/
【解析】设，依题意，，因点在轴上，则，，
又因则，化简得，在中，，故,
在中由余弦定理，,即，
解得：，即，则离心率为.
故答案为：.
题型七：椭圆的简单几何性质问题
28．（多选题）连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为，记椭圆C的右焦点为，则（ ）
A．B．椭圆的离心率为
C．椭圆的焦距为D．椭圆上存在点P，使
【答案】BD
【解析】椭圆的左顶点为，右顶点为，上顶点为，下顶点为，
因为连接椭圆的三个顶点所围成的三角形面积为，
若为左、右顶点与上（下）顶点时，则，解得，符合题意；
若为上、下顶点与左（右）顶点时，则，解得，符合题意；
综上可得，故A错误；
则椭圆方程为，所以，则椭圆的离心率，故B正确；
椭圆的焦距为，故C错误，
因为椭圆C的右焦点为，所以，即，
所以在椭圆上存在点P，使，故D正确.
故选：BD
29．（多选题）（2024·福建厦门·一模）设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，若，且的周长为8，则（ ）
A．B．的离心率为
C．可以为D．可以为直角
【答案】AC
【解析】由，如下图周长为，故，
所以，椭圆离心率为，A对，B错；
当轴，即为通径时，且，
所以，故可以为，C对；
由椭圆性质知：当为椭圆上下顶点时最大，此时，
且，故，即不可能为直角，D错.
故选：AC
30．（多选题）若矩形的所有顶点都在椭圆上，且，，点是上与不重合的动点，则（ ）
A．的长轴长为4B．存在点，使得
C．直线的斜率之积恒为D．直线的斜率之积恒为
【答案】ABD
【解析】因为矩形的顶点都在椭圆上，根据椭圆的对称性可得关于原点对称，关于原点对称，
由，，可得，即椭圆焦点在轴上，
如图所示，又，，易得，，，.
对于A，将点代入椭圆方程可得，解得，椭圆的方程为，所以椭圆的长轴长为4，故A正确；
对于B，设点Px,y，且，，则，，所以，又，
即当时，，故B正确；
对于C，当点是左顶点时，，则，，
所以，故C错误；
对于D，设点Px,y，且，，
则，，
所以，故D正确.
故选：ABD.

31．（多选题）（2024·湖北·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆E上，则（ ）
A．点在x轴上B．椭圆E的长轴长为4
C．椭圆E的离心率为D．使得为直角三角形的点P恰有6个
【答案】BC
【解析】由题意的长半轴长，短半轴长，焦半距，
椭圆的焦点在y轴上，A错误；
椭圆E的长轴长为，B正确；
椭圆E的离心率为，C正确；
椭圆的右顶点，焦点，
所以，
则，即为锐角，
故根据椭圆的对称性可知，使得为直角三角形的点P恰有4个（以或为直角），D错误．
故选：BC．
32．（多选题）（2024·高三·河南·期中）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且，直线与椭圆的另一个交点为B，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是短轴长的倍B．线段的长度为
C．椭圆的离心率为D．的周长为
【答案】BC
【解析】
由，可设，又，
可得，解得，即，
将的坐标代入椭圆方程，可得，
化为，即，故A错误；
，故B正确;
椭圆的离心率，故C正确;
的周长为，故D错误.
故选：BC.
33．（多选题）（2024·全国·二模）已知圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且的面积为1，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的长轴长为2B．椭圆C的短轴长为2
C．椭圆C的离心率为D．点P的坐标为
【答案】BD
【解析】因为圆O：经过椭圆C：（）的两个焦点，，
所以，
又P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，
则，故，代入圆方程可得，所以，故点P的坐标为，故D正确；
将点P的坐标代入椭圆方程可得，又，解得，
故椭圆C的长轴长为，短轴长为，故A不正确，B正确；
则椭圆C的离心率为，故C不正确.
故选：BD.
题型八：利用第一定义求解轨迹
34．（2024·安徽·二模）已知定点，，，以为一个焦点作过，两点的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】在以为焦点的椭圆上，
，
，
则可得的轨迹为以为焦点的双曲线的下支，
设双曲线方程为，
则可得，即，，，
则焦点的轨迹方程是.
故答案为：.
35． 已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．
∵线段的垂直平分线交于点，如图，
∴，
∴，
∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
∴，，，
∴其轨迹方程为．
故答案为：．
36．（2024·高三·广东揭阳·期中）设，两点的坐标分别为，，直线、相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设点的坐标为，点的坐标是，
所以直线的斜率.
同理，直线的斜率.
由已知，有，化简，得点的轨迹方程为.
所以点的轨迹是除去，两点的椭圆.
故答案为：
37．若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】因为的两个顶点，，所以，
因为三角形周长为，即，
所以，
由椭圆的定义：动点到定点，两点的距离之和等于定值，且距离之和大于两定点间的距离，
所以点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，
所以，，，
可得椭圆的方程为：，
又因为三点不共线，所以点不能在轴上，
所以顶点的轨迹方程是：，
故答案为：
38．圆与的位置关系为 ；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为 ．
【答案】 内含
【解析】依题意，圆心，半径，圆心，半径，
所以，则两圆内含；
设动圆的圆心，半径为，则，
，
依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中，
又，
所以的轨迹方程为.
故答案为：内含；.
题型九：椭圆的实际应用
39．（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】如图可知，，，，A不正确；
，，；B不正确；
由，可知，C不正确；
，可得，故，
即，，，即，D正确，
故选:D.
40． 2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为 （用，，R表示）．
【答案】
【解析】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
由题意可知，，
所以．
所以，所以．
故答案为：.
41．如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为 .（用R、r表示）
【答案】
【解析】由F为椭圆轨道Ⅱ的焦点，若分别为长轴长、焦距，则，故，
所以椭圆轨道Ⅱ的离心率为.
故答案为：
1．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
，，
，即，
整理得，即，
等号两边同时除以得，即，求得，
，，
故选：B.
2．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由椭圆的短轴长为2，知，，即，，
因此，
又椭圆的离心率，
故选：A.
3．（2024·河南周口·模拟预测）已知椭圆的一个焦点为F，点P，Q是C上关于原点对称的两点．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由对称性和椭圆定义可知，其中，
故，
不妨设，，，
则，
故当时，取得最小值，最小值为4，
当时，取得最大值，最大值为64，
故，
故当时，取得最小值，最小值为51，
当时，取得最大值，最大值为，
故的取值范围是.
故选：C
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0，可得，
不妨设点在第一象限，由椭圆的定义知，
因为，可得，即，
可得，所以，
所以的面积为，可得，解得，
又因为，可得，即，
将点代入椭圆的方程，可得，整理得，
因为，可得，即，
解得和（舍去），即椭圆的离心率为.
故选：D.
5．（2024·浙江·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B
【解析】设，则，，，
由，可得，则，有，
所以，
当且仅当，即时取等号．
则椭圆长轴长的最小值是.
故选：B．
6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，不妨令，
由过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，BF1+BF2=2a，
则，，
又因为，所以，则和都是直角三角形，
由勾股定理可得，，
即，解得，
所以，，
又，，
所以，解得，
所以椭圆的离心率为.
故选：B.
7．（2024·江西新余·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的左右焦点分别为，经过的直线与交于两点，若，，，则的方程为：（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，可知，
则，，
可得，，即，，则，
由椭圆定义可得，即，
且，则，
即 ，可得，，
所以椭圆的方程为.
故选：A.
8．（2024·内蒙古包头·三模）设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，由题意可得，则，
则，，
由，则，
由在上，则有，即，
即有，整理得，
即，故或，
由可知，不符，故舍去，即有，
则.
故选：C.
9．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆过点，其右顶点，上顶点．那么以下说法正确的是（ ）
A．设是半焦距到的其中一个焦点的距离，那么必然有
B．到直线的距离不是定值
C．和没有交点
D．三角形面积的取值范围是
【答案】C
【解析】因为椭圆过点，
所以，不妨设，，那么，，
A注意到当的时候，但是，从而A错误
B直线是，计算，B错误．
C，从而有，同理．
显然曲线在直线所围成的矩形内，
椭圆在直线所围成的矩形内，
由，显然椭圆和没有交点．C正确·
D因为，所以，从而，D错误
故选：C
10．（多选题）（2024·四川·一模）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（ ）
A．
B．
C．当不共线时，的周长为
D．设点到直线的距离为，则
【答案】BCD
【解析】
对于A，由题意知：，，，，A错误；
对于B，为椭圆的焦点弦，，B正确；
对于C，，
的周长为，C正确；
对于D，作垂直于直线，垂足为，
设Px0,y0，则，
，，
，，D正确.
故选：BCD.
11．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，右顶点为A，左、右焦点分别为，．若P为C上与点A，B不重合的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则（ ）
A．C的方程为B．面积的最大值为2
C．坐标原点O到直线AB的距离为D．
【答案】BCD
【解析】
A项，由椭圆上顶点为得，，
由知，由对称性可得，
所以，即，则，
椭圆方程为，故A错误；
B项，由A项可知，为定值，
故当点到距离最大时，面积最大，
即当为短轴端点时取最大值，最大值为，故B正确；
C项，在中，，
设为斜边上的高，由，
可得点到直线的距离为，故C正确；
D项，设，由，
所以直线方程为，令，可得，
直线方程为，令，.
由点在椭圆上，则，，
则
，故D正确.
故选：BCD.
12．（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，且，的中点为，则（ ）
A．的轨迹方程为
B．的最小值为1
C．若为坐标原点，则面积的最大值为
D．若线段的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标是点的横坐标的倍
【答案】BCD
【解析】对于选项A，设Mx,y，因为A−2,0，，所以，化简得，故A错误；
对于选项B，因为，则，，则，
所以为椭圆的右焦点，则，故B正确；
对于选项C，设的方程 ，代入椭圆方程，得，
设，则，，
所以，
令，则，
令，则，在为增函数，，，
所以，当且仅当时即等号成立，故C正确；
对于选项D，因为，，，
所以，则，
设，则，则，
所以，则点的横坐标是点的横坐标的倍，故D正确.
故选：BCD.
13．（2024·广东佛山·模拟预测）定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆是“西瓜椭圆”，则 .若“西瓜椭圆”的右焦点为，直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过点，则 ．
【答案】 36
【解析】椭圆是"西瓜椭圆"，
离心率，
解得.
设，
联立消去并整理得
，
，即，
，
，易知，
以线段AB为直经的圆经过点，
，，
，，又，
代入上式并化简得，解得.
故答案为：36，
14．（2024·山东济南·三模）已知是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上一点，为坐标原点，为正三角形，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】依题意，
不妨设点在第一象限，则点，
易知，
由椭圆的定义知：，
所以，
所以.
故答案为：
15．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，如果，那么点到轴的距离是 .
【答案】
【解析】由椭圆方程得，，，设，
则：，；
由得： （1）；
又点在椭圆上，可得（2）；
（1）（2）联立消去得，；即；
故点到轴的距离是．
故答案为：．
16．（2024·浙江杭州·模拟预测）椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为 .
【答案】/0.4
【解析】设椭圆的半焦距为c，取中点，连接，则，
由，得，于是，则，，
由直线的斜率为，得，即，
而，解得，即，
，于是，解得，
所以的离心率为.
故答案为：
1．（2022年高考全国甲卷数学真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
2．（2022年高考全国甲卷数学真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
3．（2021年全国高考乙卷数学试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
4．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
6．（2021年浙江省高考数学试题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
【答案】
【解析】
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．
7．（2024年北京高考数学真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
【解析】（1）由题意，从而，
所以椭圆方程为，离心率为；
（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，
从而设，，
联立，化简并整理得，
由题意，即应满足，
所以，
若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，
所以，在直线方程中令，
得，
所以，
此时应满足，即应满足或，
综上所述，满足题意，此时或.
8．（2024年高考全国甲卷数学真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
【解析】（1）设Fc,0，由题设有且，故，故，故，
故椭圆方程为.
（2）直线的斜率必定存在，设，Ax1,y1，Bx2,y2，
由可得，
故，故，
又，
而，故直线，故，
所以
，
故，即轴.
9．（2024年天津高考数学真题）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．
(1)求椭圆方程．
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距，
所以，故，
故，所以，，故椭圆方程为：.
（2）
若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，
设，
由可得，
故且
而，
故
，
因为恒成立，故，解得.
若过点的动直线的斜率不存在，则或，
此时需，两者结合可得.
综上，存在，使得恒成立.
10．（2023年天津高考数学真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【解析】（1）如图，
由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.
11．（2022年新高考天津数学高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程．
【解析】（1），
离心率为.
（2）由（1）可知椭圆的方程为，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc176805029" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc176805029 \h 2
\l "_Tc176805030" 题型一：椭圆的定义与标准方程 PAGEREF _Tc176805030 \h 2
\l "_Tc176805031" 题型二：椭圆方程的充要条件 PAGEREF _Tc176805031 \h 4
\l "_Tc176805032" 题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 PAGEREF _Tc176805032 \h 5
\l "_Tc176805033" 题型四：椭圆上两点距离的最值问题 PAGEREF _Tc176805033 \h 7
\l "_Tc176805034" 题型五：椭圆上两线段的和差最值问题 PAGEREF _Tc176805034 \h 9
\l "_Tc176805035" 题型六：离心率的值及取值范围 PAGEREF _Tc176805035 \h 11
\l "_Tc176805036" 题型七：椭圆的简单几何性质问题 PAGEREF _Tc176805036 \h 15
\l "_Tc176805037" 题型八：利用第一定义求解轨迹 PAGEREF _Tc176805037 \h 19
\l "_Tc176805038" 题型九：椭圆的实际应用 PAGEREF _Tc176805038 \h 22
\l "_Tc176805039" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc176805039 \h 24
\l "_Tc176805040" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc176805040 \h 36