新高考数学一轮复习考点讲练测第7章第04讲 直线、平面垂直的判定与性质（七大题型）（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲练测第7章第04讲 直线、平面垂直的判定与性质（七大题型）（讲义）（2份，原卷版+解析版），共6页。
\l "_Tc174691881" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc174691881 \h 2
\l "_Tc174691882" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc174691882 \h 3
\l "_Tc174691883" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc174691883 \h 4
\l "_Tc174691884" 知识点1：直线与平面垂直的定义 PAGEREF _Tc174691884 \h 4
\l "_Tc174691885" 知识点2：直线与平面垂直的判定定理 PAGEREF _Tc174691885 \h 4
\l "_Tc174691886" 知识点3：直线与平面垂直的性质定理 PAGEREF _Tc174691886 \h 5
\l "_Tc174691887" 知识点4：平面与平面垂直的定义 PAGEREF _Tc174691887 \h 6
\l "_Tc174691888" 知识点5：平面与平面垂直的判定定理 PAGEREF _Tc174691888 \h 7
\l "_Tc174691889" 知识点6：平面与平面垂直的性质定理 PAGEREF _Tc174691889 \h 7
\l "_Tc174691890" 解题方法总结 PAGEREF _Tc174691890 \h 8
\l "_Tc174691891" 题型一：垂直性质的简单判定 PAGEREF _Tc174691891 \h 9
\l "_Tc174691892" 题型二：证明线线垂直 PAGEREF _Tc174691892 \h 10
\l "_Tc174691893" 题型三：证明线面垂直 PAGEREF _Tc174691893 \h 12
\l "_Tc174691894" 题型四：证明面面垂直 PAGEREF _Tc174691894 \h 13
\l "_Tc174691895" 题型五：面面垂直的性质定理 PAGEREF _Tc174691895 \h 15
\l "_Tc174691896" 题型六：垂直关系的综合应用 PAGEREF _Tc174691896 \h 17
\l "_Tc174691897" 题型七：鳖臑几何体中的垂直 PAGEREF _Tc174691897 \h 19
\l "_Tc174691898" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc174691898 \h 20
\l "_Tc174691899" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc174691899 \h 22
\l "_Tc174691900" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc174691900 \h 23
\l "_Tc174691901" 易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角 PAGEREF _Tc174691901 \h 23
\l "_Tc174691902" 答题模板：线线垂直、线面垂直的证明 PAGEREF _Tc174691902 \h 23
知识点1：直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
【诊断自测】（2024·高三·河北·期末）已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
知识点2：直线与平面垂直的判定定理
【诊断自测】如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且.
证明：平面；
知识点3：直线与平面垂直的性质定理
【诊断自测】（2024·高三·江苏南通·期中）如图，且，，且，且，平面，.
(1)设面BCF与面EFG的交线为，求证：；
(2)证明:
知识点4：平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
【诊断自测】（2024·福建泉州·模拟预测）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
知识点5：平面与平面垂直的判定定理
【诊断自测】如图，在三棱锥中，平面平面，和均为等腰直角三角形，且，．

证明：平面平面；
知识点6：平面与平面垂直的性质定理
【诊断自测】如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点.如图2，将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面.求证：四点共面.

解题方法总结
线线线面面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质；
⑦平行线垂直直线的传递性（）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（）；
⑤面面垂直的性质（）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．
性质
性质
性质
性质
性质
判定
判定
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
线⊥面
线⊥线
面⊥面

题型一：垂直性质的简单判定
【典例1-1】（2024·四川·模拟预测）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若与所成的角相等，则
C．若，，则
D．若，则
【典例1-2】（2024·湖南·三模）已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【方法技巧】
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
【变式1-1】在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．平面平面D．平面平面
【变式1-2】已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，
则满足直线的图形的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】已知正四面体中，是的中点，连接是的中点，点满足，则（ ）
A．
B．平面
C．平面
D．平面平面
题型二：证明线线垂直
【典例2-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，．
求证：；
【典例2-2】（2024·四川·模拟预测）如图，多面体中，已知面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，平面平面．
求证：；
【方法技巧】
【变式2-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，已知多面体的底面ABCD是菱形，侧棱底面，且．

证明：；
【变式2-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，E为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)求点E到平面的距离．
【变式2-3】（2024·河南·模拟预测）如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.
证明：；
题型三：证明线面垂直
【典例3-1】如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC．
求证：平面；
【典例3-2】在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.

证明：平面；
【方法技巧】
方法一：线面垂直的判定．
线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么．
方法二：面面垂直的性质．
面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么．
【变式3-1】（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形为菱形，现沿进行翻折，使得平面，过点作，且，连接，所得图形如图②所示，其中为线段的中点，连接.

求证：平面；
【变式3-2】（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于．
证明：平面；
【变式3-3】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）如图，在三棱锥中，为上的动点.
若，求证：平面；
【变式3-4】（2024·四川雅安·三模）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.
证明：平面；
题型四：证明面面垂直
【典例4-1】（2024·湖南·三模）如图，四棱锥的底面是梯形，平面.
求证：平面平面；
【典例4-2】在三棱台中，底面是等边三角形，侧面是等腰梯形，是的中点，是两异面直线和的公垂线，且，．
证明：侧面平面；
【方法技巧】
主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．
【变式4-1】（2024·四川德阳·三模）如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，，D为的中点，过的平面交棱于E，交于F.
求证：平面平面；
【变式4-2】如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，，是的中点．

(1)证明：平面平面．
(2)求点到平面的距离．
【变式4-3】（2024·陕西宝鸡·三模）如图，在三棱柱中，与的距离为，，.
证明：平面平面ABC；
【变式4-4】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）由平行六面体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，其体积为5，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点O，．

(1)证明平面；
(2)证明平面平面；
题型五：面面垂直的性质定理
【典例5-1】（2024·陕西西安·三模）在四棱锥中，平面平面，，，，．
证明：．
【典例5-2】（2024·江苏·三模）如图，在三棱锥中，底面为上一点，且平面平面，三棱锥的体积为.
求证：为的中点；
【方法技巧】
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
【变式5-1】（2024·高三·河南·开学考试）如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面是等腰直角三角形，.
证明：；
【变式5-2】如图，在三棱台.中，，平面平面.

求证：平面；
【变式5-3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四棱锥，侧面PAD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是的菱形，为棱PC上的动点且.
(1)求证: 为直角三角形;
(2)试确定的值，使得三棱锥的体积为.
题型六：垂直关系的综合应用
【典例6-1】如图，在直三棱柱中，，．试在平面内确定一点H，使得平面，并写出证明过程；

【典例6-2】在四棱锥中，是等边三角形，且平面平面，，．

在AD上是否存在一点M，使得平面平面，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
【方法技巧】
（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
（2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．
【变式6-1】如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.
【变式6-2】（2024·高三·浙江温州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．

(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由．
题型七：鳖臑几何体中的垂直
【典例7-1】如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，平面，分别是，的中点．
证明：直线平面；
【典例7-2】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点.
证明：平面平面；
【方法技巧】
若一条直线垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到两条相交的相互垂直的直线与，则与异面的直线垂直于和构成的平面．
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，且，，E为棱PC的中点，F为棱PB上的点.

证明：；
【变式7-2】如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，，点在上，．

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面；
【变式7-3】《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
1．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
2．（2021年浙江省高考数学试题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
3．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷带解析））若空间中四条直线、、、，满足、、，则下列结论一定正确的是．
A．B．
C．、既不平行也不垂直D．、位置关系不确定
4．（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A．B．
C．D．
1．如图，在三V-ABC中，已知，判断平面VAB与平面VBC的位置关系，并说明理由.
2．如图，在V-ABC中，平面ABC，，你能判定，以及吗？
3．如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面互相垂直？
4．如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由.
5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直.请证明；如果不垂直，请说明理由.
过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.（1）若，则点O是的 心.（2）若，，则点O是边的 .（3）若，，，垂足都为P，则点O是的 心.
易错点：忽视用证明垂直的方法求夹角
易错分析：容易忽视垂直的特殊方法，导致方法使用不当而浪费很多时间.
【易错题1】在三棱柱中，若ΔABC是等边三角形，底面，且，则与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【易错题2】正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（ ）
A．60°B．90°C．45°D．120°
答题模板：线线垂直、线面垂直的证明
1、模板解决思路
通过线面垂直的判定定理证明直线与平面垂直时，关键是在平面内找到两条与直线垂直的相交直线，并证明.
2、模板解决步骤
第一步：证明直线与平面内两条相交直线都垂直.
第二步：通过线面垂直的判定定理证明直线与平面垂直.
第三步：通过线面垂直的性质证明直线与平面内的直线垂直.
【典型例题1】如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且.
证明：平面；
【典型例题2】如图所示，三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，点P，D分别为AB，的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：；
考点要求
考题统计
考情分析
（1）直线与平面垂直的判定与性质
（2）平面与平面垂直的判定与性质
2024年II卷第17（1）题，7分
2023年II卷第20（1）题，6分
2023年北京卷第16（1）题，5分
2022年乙卷（文）第9题，5分
2022年乙卷（文）第18题，12分
2021年浙江卷第6题，4分
2021年II卷第10题，5分
选择题、填空题中考查直线、平面位置关系判断；解答题第一问中多考查平行、垂直的证明．证明一些空间位置关系，利用性质定理、判定定理探究平行、垂直位置关系的存在性问题．
复习目标：
（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．
（2）掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．
文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面⇒线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a
平行与垂直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
_
平行与垂直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行

_
b
_
a
垂直与平行的关系
垂直于同一直线的两个平面平行
_
线垂直于面的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
_
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a