（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第8章 第04讲 直线、平面垂直的判定与性质 讲义+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点1：直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
知识点4：平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
【解题方法总结】
线线线面面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质；
⑦平行线垂直直线的传递性（）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（）；
⑤面面垂直的性质（）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．
性质
性质
性质
性质
性质
判定
判定
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
线⊥面
线⊥线
面⊥面
题型一：垂直性质的简单判定
【例1】已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（）
A．若，且，则B．若，，，则
C．若，且，则D．若，，，则
【变式1-1】已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：
①若∥，，则∥， ②若，，则，
③若，，则∥， ④若，，，则
其中正确的命题是（）
A．②③B．②④C．①③D．①②
【变式1-2】已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变式1-3】已知l，m，n是三条不同的直线，，是不同的平面，则下列条件中能推出的是（ ）
A．，，且
B．，，，且，
C．，，，且
D．，，且
题型二：证明线线垂直
【例2】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是PD的中点.
(1)证明：；
【变式2-1】图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面图形，，，．E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2．
(1)求证：；
【变式2-2】在梯形中，，，，，如图1.沿对角线将折起，使点到达点的位置，为的中点，如图2.
(1)证明：.
题型三：证明线面垂直
【例3】如图，在四棱柱中，底面，底面满足，且，.
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.
【变式3-1】如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．
(1)证明：平面；
【变式3-2】如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
(1)证明：平面；
【变式3-3】如图，在几何体中，矩形所在平面与平面互相垂直，且，，．
(1)求证：平面；
题型四：证明面面垂直
【例4】如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.
(1)证明：平面平面；
【变式4-1】如图，在三棱柱中，侧面为菱形，.
(1)证明：平面平面；
【变式4-2】如图，在长方体中，为棱的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)画出平面与平面的交线，并说明理由；
(3)求过三点的平面将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．
题型五：垂直关系的综合应用
【例5】如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．
（1）求证：AD⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；
（3）已知P是平面ABD内一点，点Q为AE中点，且PQ⊥平面ABE，求线段PQ的长．
【变式5-1】如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，．
(1)求证：面面ABCD；
(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．
【变式5-2】如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2．
（1）求证：C1E平面ADF；
（2）设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF．
第04讲 直线、平面垂直的判定与性质
1．已知不重合的平面、、和直线，则“”的充分不必要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行B．内的任何直线都与平行
C．且D．且
2．已知是三条不同的直线，是三个不重合的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则．
B．若与异面，，则存在，使得．
C．若，则．
D．若，则．
3．已知四棱柱的底面为正方形，侧棱与底面垂直，点是侧棱上的点，且.若点在侧面（包括其边界）上运动，且总保持，则动点的轨迹长度为（ ）

A．B．C．D．
4．圆锥的底面半径为，母线长为，是圆锥的轴截面，是的中点，为底面圆周上的一个动点（异于、两点），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得B．存在点，使得
C．三棱锥体积最大值为D．三棱锥体积最大值为
5．（多选）已知，为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
6．已知平面，直线满足，，则“”是“”的 条件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要条件”，“既不充分也不必要”）
7．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则 .
8．已知在正方体中，，是的中点，是侧面内（含边界）的动点，若，则的最小值为 ．
9．如图；在直三棱柱中，，，，点D为AB的中点．

(1)求证；
(2)求三棱锥的体积．
10．如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．

(1)求三棱锥的体积；
(2)若，且为锐角，求证：平面．
文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面⇒线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a
平行与垂直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
_
平行与垂直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
垂直与平行的关系
垂直于同一直线的两个平面平行
_
线垂直于面的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
_
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a