新高考数学一轮复习考点讲练测第8章 平面解析几何（测试）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲练测第8章 平面解析几何（测试）（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了点在圆，椭圆C等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线，则其离心率是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】为等轴双曲线，则，
所以离心率为.
故选：B
2．“”是“点在圆内”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】点在圆内，
所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件.
故选：A.
3．已知直线与圆相切，则的值（ ）
A．与a有关，与b有关B．与a有关，与b无关
C．与a无关，与b有关D．与a无关，与b无关
【答案】D
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线与圆相切，
则圆心到直线的距离等于半径，即，
化简得，可知，
故选：D.
4．设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由椭圆，可得，
所以，所以椭圆的离心率，
又，所以双曲线的离心率为，
又双曲线，所以，
所以，解得.
故选：B.
5．设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设点Mx,y，则的斜率为，的斜率为，
故，
所以，故D正确.
故选：D
6．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】已知拋物线的方程为，可得．
所以焦点为，准线为：．
抛物线上一点Ax0,y0到焦点F的距离等于到准线的距离，
即，
又∵A到x轴的距离为，
由已知得，解得．
故选：D．
7．已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点，若，则双曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由y=ax2a2−y2b2=1，得y=ax=−acb，或y=ax=acb，所以MN=2acb，
由y=−bx2a2−y2b2=1，得y=−bx=−2a，或y=−bx=2a，所以PQ=22a，
因为MN=2PQ，所以，
整理得，得，所以.
故选：C.
8．对于平面上的动点P，且满足对于Ax1,y1，Bx2,y2；PA、PB长度之比为t（t不为0），则我们称P点运动所得的轨迹为“完美曲线”.若A−2,0，B4,0，．则下列和“完美曲线”有交点的有几个？（1）（2）（3）（4）
A．2B．3C．4D．1
【答案】C
【解析】由题意可得,即，化简得，
即，故“完美曲线”表示圆心在，半径的圆，
对于,故与“完美曲线”有交点，
对于,联立与可得，
解得，故有交点，
对于,圆心到直线的距离为，
故直线与圆相交，有交点，
对于，表示圆心半径的圆，
则两圆的圆心距离为，故两圆相交，有交点，
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．点在圆：上，点在圆：上，则（ ）
A．PQ的最小值为2B．PQ的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交弦所在直线的方程为
【答案】BC
【解析】对于A、B选项：由题意得：，半径为1，
：，，半径为1，
圆心距为，又点在圆上，点在圆上，
，，故A错误，B正确；
对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确；
对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误；
故选：BC．
10．椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（ ）
A．椭圆C的焦距为2B．的周长为8
C．椭圆C的离心率为D．的面积为
【答案】ABD
【解析】由题意可知，，，
故为等边三角形，则，，
又，
所以，，，
所以焦距，A正确；
离心率，C错误；
由椭圆定义可知，的周长，B正确．
设，则，又，
由余弦定理可得，
所以，D正确，
故选：ABD．
11．如图，造型为“∞”的曲线C 称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C 上的点满足到点 和的距离之积为定值a，则（ ）

A．点 在曲线 C 上
B．曲线 C的方程为(
C．曲线C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为
D．若点在C 上，则
【答案】AC
【解析】由原点在曲线上得，
选项A．设曲线与x轴正半轴相交于，
则，解得 ，故A 正确.
选项B，设曲线C上任一点坐标为，则，
得 ，则 ，
所以 ，
即 ，故 B 错误．
选项C，由，得 ，
由，得，
所以 ，则，故C 正确．
选项 D，由，得，
故点在C 上时有成立，故D错误．
故选：AC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线与，若直线与相交于两点，且，则 ．
【答案】或
【解析】若直线与相交于两点，且，
则圆心到直线的距离，所以，
解得或．
故答案为：或.
13．已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线左支上存在点，使得，则该双曲线离心率的最大值为 ．
【答案】3
【解析】由双曲线左支上一点，可得，
又，所以，
又，所以，所以，
所以该双曲线离心率的最大值为.
故答案为：.
14．如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】
以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
因为，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，所以.
因为 ，所以直线的方程为 ①，
因为 ，所以直线的方程为 ②.
由①可得 ，代入②化简可得 ，
结合图象易知点可到达 ，但不可到达 ，
所以点的轨迹方程为 ，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知双曲线：的左右顶点分别为、．
(1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；
【解析】（1）由题意可得，，，则，
又，，
所以椭圆的标准方程为. （6分）
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，点恰为弦的中点，则，，
又因为两点在双曲线上，
可得，两式相减得， （9分）
化简整理得，即，
所以直线的方程为，即，
经检验，满足题意. （13分）
16．（15分）
已知圆，圆心到抛物线的准线的距离为，圆截直线所得弦长为.
(1)求圆的方程.
(2)若、分别为圆与抛物线上的点，求、两点间距离的最小值.
【解析】（1）抛物线的准线为：，
圆的圆心，
因为，所以，解得，
又到直线的距离，
所以，则，
所以圆 （6分）
（2）设，则，
所以，
当时，取最小值，
又圆的半径为，
所以圆与抛物线无公共点，且PQ的最小值为. （15分）
17．（15分）
已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）∵的周长为8，的最大面积为，
∴，解得，或，．
∴椭圆C的方程为或等． （5分）
（2）
由（1）及易知F21,0，
不妨设直线MN的方程为：，，Mx1,y1，Nx2,y2，
联立，得． （8分）
则，，
若的内心在x轴上，则，
∴，即，即，
可得．
则，得，即． （11分）
当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点．
故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. （15分）
18．（17分）
已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A−2,0，两点．
(1)求C的方程；
(2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明：
（ⅰ）存在常数，满足；
（ⅱ）的面积为定值．
【解析】（1）设C的方程为，其中．
由C过A，B两点，故，，解得，．
因此C的方程为． （5分）
（2）（ⅰ）设Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2，其中，，i＝0，1，2．
因为，所以直线BM的斜率为，方程为．
由，得， （7分）
所以，
．
因此．
同理可得直线AN的斜率为，直线AN的方程为．
由，得，
所以， （10分）
，
因此
．
则，即存在，满足． （13分）
（ⅱ）由（ⅰ），直线MN的方程为，
所以点P到直线MN的距离．
而，
所以的面积为定值． （17分）
19．（17分）
已知抛物线，为抛物线上的点，若直线经过点且斜率为，则称直线为点的“特征直线”.设、为方程（）的两个实根，记.
（1）求点的“特征直线”的方程；
（2）已知点在抛物线上，点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐近线垂直，且与轴的交于点，点为线段上的点.求证：；
（3）已知、是抛物线上异于原点的两个不同的点，点、的“特征直线”分别为、，直线、相交于点，且与轴分别交于点、.求证：点在线段上的充要条件为（其中为点的横坐标）.
【解析】（1）由题意的斜率为1，所以点的“特征直线”的方程为. （3分）
（2）设点，由于双曲线所求渐近线的斜率为
所以，进而得，线段的方程为
所以满足
所对应方程为：，解得，
因为，所以，进而 （8分）
（3）设，，
则、的方程分别为，，
解、交点可得，，
所对应的方程为：， （10分）
必要性：因为点在线段上
当时，，得，
当时，，得，
所以，进而 （14分）
①充分性：由，得，
当时，，得，
当时，得，得，
所以点在线段上.
综上所述：点在线段上的充要条件为 （17分）