新高考数学一轮复习考点讲义：第06章第1讲平面向量的概念及线性运算（含解析）

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一 向量的有关概念
二 向量的线性运算
三 共线向量定理
1．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
2．若a为非零向量，a0为其单位向量，则有a＝|a|·a0或a0＝eq \f(a,|a|).
常/用/结/论
1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq \(OP,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→)))．
2．已知eq \(OA,\s\up15(→))＝λeq \(OB,\s\up15(→))＋μeq \(OC,\s\up15(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
1．判断下列结论是否正确．
(1)向量就是有向线段．()
(2)零向量没有方向．()
(3)若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反．()
(4)若向量eq \(AB,\s\up15(→))与向量eq \(CD,\s\up15(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若a＋b＝0，则a＝－b，则a∥b，即充分性成立；若a∥b，但a＝－b不一定成立，即必要性不成立，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
答案：A
3．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．若a与b都是单位向量，则a＝b
B．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
C．若用有向线段表示的向量Aeq \(M,\s\up15(→))与Aeq \(N,\s\up15(→))不相等，则点M与点N不重合
D．海拔、温度、角度都不是向量
解析：A错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；C正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．
答案：CD
4．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与3a－b共线，则λ＝________.
解析：方法一：设a＋λb＝k(3a－b)＝3ka－kb，
∴1＝3k，且λ＝－k，∴λ＝－eq \f(1,3).
方法二(特值法)：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则a＋λb＝(1，λ)，3a－b＝(3，－1)，∴3λ－1×(－1)＝0，∴λ＝－eq \f(1,3).
答案：－eq \f(1,3)
题型 向量基本概念的理解
典例1(1)(多选)给出下列命题，错误的有( )
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同只强调模和方向相同．
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(DC,\s\up15(→))，则四边形ABCD为平行四边形
C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
平行不代表方向相同．
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 若λ，μ取最特殊的实数呢？
(2)设a，b都是非零向量，下列四个条件，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充要条件是( )
两个单位向量相等，说明方向相同．
A．a＝b B．a＝2b
C．a∥b且|a|＝|b| D．a，b方向相同
解析：(1)A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为eq \(AB,\s\up15(→))＝eq \(DC,\s\up15(→))，所以|eq \(AB,\s\up15(→))|＝|eq \(DC,\s\up15(→))|且eq \(AB,\s\up15(→))∥eq \(DC,\s\up15(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当λ＝μ＝0时，
若a，b共线，则λa和μb也共线，但是若λa，μb共线，则不一定a，b共线．
a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故选ACD．
(2)eq \f(a,|a|)表示a方向上的单位向量，eq \f(b,|b|)表示b方向上的单位向量，因此eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)的充要条件是a与b同向．
故选D．
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量.eq \(\s\up7( ),\s\d5( ))
对点练1(多选)(2024·山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为( )
A．向量eq \(AB,\s\up15(→))的长度与向量eq \(BA,\s\up15(→))的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反
D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同
解析：A正确，eq \(AB,\s\up15(→))与eq \(BA,\s\up15(→))是相反向量，长度相等；B，C错误，当a，b其中之一为0时，不成立；D错误，当a＋b＝0时，不成立．故选BCD．
答案：BCD
题型 向量线性运算的多维研讨
维度1 向量加、减法的几何意义
典例2设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
两对角线的长相等的平行四边形是什么图形？
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
解析：方法一：∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2，∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，∴a·b＝0，∴a⊥b.
方法二：在▱ABCD中，连接AC，BD(图略)，设Aeq \(B,\s\up15(→))＝a，Aeq \(D,\s\up15(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|Aeq \(C,\s\up15(→))|＝|Deq \(B,\s\up15(→))|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A．
向量加减的常用法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
对点练2(1)(2024·山东青岛二中月考)若|Aeq \(B,\s\up15(→))|＝|Aeq \(C,\s\up15(→))|＝|Aeq \(B,\s\up15(→))－Aeq \(C,\s\up15(→))|＝2，则|Aeq \(B,\s\up15(→))＋Aeq \(C,\s\up15(→))|＝________.
(2)(2024·山东潍坊高三期末)如图所示，O为坐标原点，A，B，C，D，E，F，G是正弦函数y＝sin x图象上的七个点，且在A，C两点函数值最大，在B，D两点函数值最小，E，F，G是函数的图象与x轴的交点，则(Oeq \(A,\s\up15(→))＋Oeq \(B,\s\up15(→)))·(Oeq \(C,\s\up15(→))＋Oeq \(D,\s\up15(→)))＝________.
解析：(1)因为|Aeq \(B,\s\up15(→))|＝|Aeq \(C,\s\up15(→))|＝|Aeq \(B,\s\up15(→))－Aeq \(C,\s\up15(→))|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|Aeq \(B,\s\up15(→))＋Aeq \(C,\s\up15(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|Aeq \(B,\s\up15(→))＋Aeq \(C,\s\up15(→))|＝2eq \r(3).
(2)易知eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→))＝2eq \(OE,\s\up15(→))，eq \(OC,\s\up15(→))＋eq \(OD,\s\up15(→))＝2eq \(OG,\s\up15(→))，∴(eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→)))·(Oeq \(C,\s\up15(→))＋Oeq \(D,\s\up15(→)))＝4Oeq \(E,\s\up15(→))·Oeq \(G,\s\up15(→))＝4|Oeq \(E,\s\up15(→))|·|Oeq \(G,\s\up15(→))|·cs 0＝12π2.
答案：(1)2eq \r(3) (2)12π2
维度2 向量的线性运算
典例3(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且Beq \(C,\s\up15(→))＝3Eeq \(C,\s\up15(→))，F是AE的中点，则下列关系式正确的是( )
A．Beq \(C,\s\up15(→))＝－eq \f(1,2)Aeq \(B,\s\up15(→))＋Aeq \(D,\s\up15(→))
B．Aeq \(F,\s\up15(→))＝eq \f(1,3)Aeq \(B,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)Aeq \(D,\s\up15(→))
C．Beq \(F,\s\up15(→))＝－eq \f(1,3)Aeq \(B,\s\up15(→))＋eq \f(2,3)Aeq \(D,\s\up15(→))
D．Ceq \(F,\s\up15(→))＝－eq \f(1,6)Aeq \(B,\s\up15(→))－eq \f(2,3)Aeq \(D,\s\up15(→))
观察四个选项，以Aeq \(B,\s\up15(→))，Aeq \(D,\s\up15(→))为基底，先表示Beq \(C,\s\up15(→))，进而得Aeq \(E,\s\up15(→)).
解析：因为Beq \(C,\s\up15(→))＝Beq \(A,\s\up15(→))＋Aeq \(D,\s\up15(→))＋Deq \(C,\s\up15(→))＝－Aeq \(B,\s\up15(→))＋Aeq \(D,\s\up15(→))＋eq \f(1,2)Aeq \(B,\s\up15(→))＝－eq \f(1,2)Aeq \(B,\s\up15(→))＋Aeq \(D,\s\up15(→))，
多边形法则．
所以A正确；因为Aeq \(F,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)Aeq \(E,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(Aeq \(B,\s\up15(→))＋Beq \(E,\s\up15(→)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A\(B,\s\up15(→))＋\f(2,3)B\(C,\s\up15(→))))，而Beq \(C,\s\up15(→))＝－eq \f(1,2)Aeq \(B,\s\up15(→))＋Aeq \(D,\s\up15(→))，代入可得Aeq \(F,\s\up15(→))＝eq \f(1,3)Aeq \(B,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)Aeq \(D,\s\up15(→))，所以B正确；因为Beq \(F,\s\up15(→))＝Aeq \(F,\s\up15(→))－Aeq \(B,\s\up15(→))，而Aeq \(F,\s\up15(→))＝eq \f(1,3)Aeq \(B,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)Aeq \(D,\s\up15(→))，代入得Beq \(F,\s\up15(→))＝－eq \f(2,3)Aeq \(B,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)Aeq \(D,\s\up15(→))，所以C不正确；因为Ceq \(F,\s\up15(→))＝Ceq \(D,\s\up15(→))＋Deq \(A,\s\up15(→))＋Aeq \(F,\s\up15(→))＝
由已知向量表示未知向量．
－eq \f(1,2)Aeq \(B,\s\up15(→))－Aeq \(D,\s\up15(→))＋Aeq \(F,\s\up15(→))，而Aeq \(F,\s\up15(→))＝eq \f(1,3)Aeq \(B,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)Aeq \(D,\s\up15(→))，代入得Ceq \(F,\s\up15(→))＝－eq \f(1,6)Aeq \(B,\s\up15(→))－eq \f(2,3)Aeq \(D,\s\up15(→))，所以D正确．
故选ABD．
向量线性运算的解题策略
(1)用几个基本向量表示某个向量问题的一般步骤：
①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
(3)利用向量的线性运算求参数的步骤：先通过向量的线性运算用两个不共线的向量表示有关向量，然后对比向量等式求出参数或建立方程(组)求解．
对点练3(1)(2024·河北质检)在△ABC中，O为△ABC的重心．若eq \(BO,\s\up15(→))＝λeq \(AB,\s\up15(→))＋μeq \(AC,\s\up15(→))，则λ－2μ＝( )
A．－eq \f(1,2) B．－1
C．eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
(2)(2024·辽宁大连模拟)在△ABC中，Aeq \(D,\s\up15(→))＝2Deq \(B,\s\up15(→))，Aeq \(E,\s\up15(→))＝2Eeq \(C,\s\up15(→))，P为线段DE上的动点，若Aeq \(P,\s\up15(→))＝λeq \(AB,\s\up15(→))＋μeq \(AC,\s\up15(→))，λ，μ∈R，则λ＋μ＝( )
A．1 B．eq \f(2,3)
C．eq \f(3,2) D．2
解析：(1)如图，连接BO并延长交AC于点M，
∵点O为△ABC的重心，∴M为AC的中点，
∴eq \(BO,\s\up15(→))＝eq \f(2,3)eq \(BM,\s\up15(→))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(BA,\s\up15(→))＋\f(1,2)\(BC,\s\up15(→))))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up15(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up15(→))－eq \(AB,\s\up15(→)))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up15(→))，又知eq \(BO,\s\up15(→))＝λeq \(AB,\s\up15(→))＋μeq \(AC,\s\up15(→))，
∴λ＝－eq \f(2,3)，μ＝eq \f(1,3)，∴λ－2μ＝－eq \f(2,3)－2×eq \f(1,3)＝－eq \f(4,3)，故选D．
(2)如图所示，由题意知，Aeq \(E,\s\up15(→))＝eq \f(2,3)Aeq \(C,\s\up15(→))，Aeq \(D,\s\up15(→))＝eq \f(2,3)Aeq \(B,\s\up15(→))，设Deq \(P,\s\up15(→))＝xeq \(DE,\s\up15(→))，所以Aeq \(P,\s\up15(→))＝Aeq \(D,\s\up15(→))＋Deq \(P,\s\up15(→))＝Aeq \(D,\s\up15(→))＋xeq \(DE,\s\up15(→))＝Aeq \(D,\s\up15(→))＋x(Aeq \(E,\s\up15(→))－Aeq \(D,\s\up15(→)))＝xeq \(AE,\s\up15(→))＋(1－x)Aeq \(D,\s\up15(→))＝eq \f(2,3)xeq \(AC,\s\up15(→))＋eq \f(2,3)(1－x)eq \(AB,\s\up15(→))，所以μ＝eq \f(2,3)x，λ＝eq \f(2,3)(1－x)，所以λ＋μ＝eq \f(2,3)x＋eq \f(2,3)(1－x)＝eq \f(2,3).故选B．
答案：(1)D (2)B
题型 共线向量定理应用的多维研讨
维度1 利用共线向量定理求参数的值
典例4已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b共线，求实数t的值．
解：由a，b不共线，易知向量eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b为非零向量．由向量b－ta，eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b共线，可知存在实数λ，使得b－ta＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－\f(3,2)b))，
共线向量定理．
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)λ))a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)λ＋1))b.由a，b不共线，必有t＋eq \f(1,2)λ＝eq \f(3,2)λ＋1＝0.
a，b不共线，但两式相等，只有一种可能，即系数都是0.
否则，不妨设t＋eq \f(1,2)λ≠0，则a＝eq \f(\f(3,2)λ＋1,t＋\f(1,2)λ)b.由两个向量共线的充要条件知，a，b共线，与已知矛盾．所以由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)λ＝0，,\f(3,2)λ＋1＝0，))解得t＝eq \f(1,3).
因此，当向量b－ta，eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b共线时，t＝eq \f(1,3).
另一种计算，以a，b为基底的条件下，两向量共线⇔系数对应成比例．
向量共线的两种情况
对点练4(2024·河南郑州模拟)如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且eq \(AP,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(2,11)))eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(2,11)eq \(BC,\s\up15(→))，则实数m的值为( )
A．1 B．eq \f(1,3)
C．eq \f(9,11) D．eq \f(5,11)
解析：eq \(AP,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(2,11)))eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(2,11)eq \(BC,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(2,11)))eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(2,11)(eq \(AC,\s\up15(→))－eq \(AB,\s\up15(→)))＝meq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up15(→))，
设eq \(BP,\s\up15(→))＝λeq \(BN,\s\up15(→))(0≤λ≤1)，
则eq \(AP,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＋λeq \(BN,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＋λ(eq \(AN,\s\up15(→))－eq \(AB,\s\up15(→)))＝(1－λ)eq \(AB,\s\up15(→))＋λeq \(AN,\s\up15(→))，
因为eq \(AN,\s\up15(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up15(→))，
所以eq \(AP,\s\up15(→))＝(1－λ)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)λeq \(AC,\s\up15(→))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1－λ，,\f(2,11)＝\f(1,3)λ，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(6,11)，,m＝\f(5,11).))故选D．
答案：D
维度2 三点共线问题
典例5已知O，A，B是不共线的三点，且Oeq \(P,\s\up15(→))＝meq \(OA,\s\up15(→))＋neq \(OB,\s\up15(→))(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)若m＋n＝1，则Oeq \(P,\s\up15(→))＝meq \(OA,\s\up15(→))＋(1－m)eq \(OB,\s\up15(→))＝eq \(OB,\s\up15(→))＋m(eq \(OA,\s\up15(→))－eq \(OB,\s\up15(→)))，
∴eq \(OP,\s\up15(→))－Oeq \(B,\s\up15(→))＝m(eq \(OA,\s\up15(→))－eq \(OB,\s\up15(→)))，
即eq \(BP,\s\up15(→))＝meq \(BA,\s\up15(→))，∴eq \(BP,\s\up15(→))与Beq \(A,\s\up15(→))共线．
由线性运算，最终转化为三个点形成的两个向量的线性关系．
又∵Beq \(P,\s\up15(→))与Beq \(A,\s\up15(→))有公共点B，∴A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使Beq \(P,\s\up15(→))＝λeq \(BA,\s\up15(→))，
转化为两个向量的线性关系，引入参数λ.
∴Oeq \(P,\s\up15(→))－Oeq \(B,\s\up15(→))＝λ(Oeq \(A,\s\up15(→))－Oeq \(B,\s\up15(→)))．
把Beq \(P,\s\up15(→))和Beq \(A,\s\up15(→))写成以O为始点的向量的形式．
又Oeq \(P,\s\up15(→))＝meq \(OA,\s\up15(→))＋neq \(OB,\s\up15(→))，
故有meq \(OA,\s\up15(→))＋(n－1)Oeq \(B,\s\up15(→))＝λeq \(OA,\s\up15(→))－λeq \(OB,\s\up15(→))，
即(m－λ)eq \(OA,\s\up15(→))＋(n＋λ－1)Oeq \(B,\s\up15(→))＝0.
∵O，A，B三点不共线，∴Oeq \(A,\s\up15(→))，Oeq \(B,\s\up15(→))不共线，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴m＋n＝1.
1．三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．根据A，B，C三点共线求参数问题，只需将问题转化为eq \(AC,\s\up15(→))＝λeq \(AB,\s\up15(→))，再利用对应系数相等列出方程(组)，进而解出系数．
2．三点共线的一个常用结论：A，B，C三点共线⇔存在实数λ，μ对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足eq \(OA,\s\up15(→))＝λeq \(OB,\s\up15(→))＋μeq \(OC,\s\up15(→))(λ＋μ＝1)．
此命题其实是充要条件的问题.
对点练5(2024·河北百校联盟联考)已知在△ABC中，点D满足2eq \(BD,\s\up15(→))＋eq \(CD,\s\up15(→))＝0，过点D的直线l与直线AB，AC分别交于点M，N，设eq \(AM,\s\up15(→))＝λeq \(AB,\s\up15(→))，eq \(AN,\s\up15(→))＝μeq \(AC,\s\up15(→)).若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为________．
解析：连接AD(图略)．因为2eq \(BD,\s\up15(→))＋eq \(CD,\s\up15(→))＝0，所以eq \(BD,\s\up15(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up15(→))，eq \(AD,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(BD,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up15(→))＝eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up15(→))－eq \(AB,\s\up15(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up15(→)).因为D，M，N三点共线，所以存在x∈R，使eq \(AD,\s\up15(→))＝xeq \(AM,\s\up15(→))＋(1－x)eq \(AN,\s\up15(→))，则eq \(AD,\s\up15(→))＝xλeq \(AB,\s\up15(→))＋(1－x)μeq \(AC,\s\up15(→))，根据对应系数相等，得xλ＝eq \f(2,3)，(1－x)μ＝eq \f(1,3)，所以x＝eq \f(2,3λ)，1－x＝eq \f(1,3μ)，则eq \f(2,3λ)＋eq \f(1,3μ)＝1，所以λ＋μ＝eq \f(1,3)(λ＋μ)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,λ)＋\f(1,μ)))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(2μ,λ)＋\f(λ,μ)))≥eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋2\r(\f(2μ,λ)·\f(λ,μ))))＝eq \f(3＋2\r(2),3)，当且仅当λ＝eq \r(2)μ时等号成立，所以λ＋μ的最小值为eq \f(3＋2\r(2),3).
答案：eq \f(3＋2\r(2),3)
名称
定义
向量
既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)
零向量
长度为0的向量叫做零向量，其方向是不确定的，零向量记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共线向量．
规定：零向量与任意向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
相反向量
长度相等且方向相反的向量
向量
运算
定义
法则(或几
何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求两个向量差的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，
当λ＞0时，λa与a的方向
相同；
当λ＜0时，λa与a的方向
相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb