新高考数学一轮复习考点讲义：第08章第2讲空间点、线、面的位置关系（含解析）

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一 平面
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
二 “三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
三 空间两条直线的位置关系
1．位置关系的分类
(1)共面直线
①相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
②平行直线：在同一平面内，没有公共点．
(2)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．
2．平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
3．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：(0°，90°]．
四 空间直线、平面的位置关系
常/用/结/论
1．异面直线的判定
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
如图： eq \a\vs4\al(A∉α，B∈α，l⊂α.,B∉l，则l与AB为异面直线.)
2．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直；
(4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
1．判断下列结论是否正确．
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)
(3)依次首尾相接的四条线段必共面．()
(4)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么b与c不可能是平行直线．(√)
2．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内存在唯一的直线与a平行
D．α内的直线与a都相交
解析：若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α与a相交，A选项不正确，α内存在直线与a相交；B选项正确，C选项不正确，α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；D选项不正确，α内只有过直线a与平面的交点的直线与a相交．故选B.
答案：B
3．(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是( )
A．垂直 B．相交
C．异面 D．平行
解析：依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．故选ABC.
答案：ABC
4．(2024·河北石家庄模拟)一个正方体的展开图如图所示，点B，C，D为原正方体的顶点，点A为原正方体一条棱的中点，那么在原来的正方体中，直线CD与AB所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r( ,15),10) B.eq \f(\r( ,10),5)
C.eq \f(\r( ,5),5) D.eq \f(\r( ,10),10)
解析： 还原正方体，如图所示，设正方体的棱长为2，由题意可得AD＝1，AF＝1，则AB＝eq \r( ,5)，BE＝EF＝2eq \r( ,2)，所以AE＝eq \r( ,EF2＋AF2)＝3，又在正方体中，CD∥BE，所以∠ABE或其补角即为异面直线CD与AB所成的角，所以cs∠ABE＝eq \f(5＋8－9,2×\r( ,5)×2\r( ,2))＝eq \f(\r( ,10),10).故选D.
答案：D
题型 平面基本性质的应用
典例1已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
由数量关系证明EF∥BD.
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
证明：(1)如图所示，连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设A1，C，C1三点确定的平面为α，平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点．同理，P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，所以R∈α，且R∈β.
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
欲证三点共线，只须证明三点是两个平面的公共点．
(3)因为EF∥BD且EF