新高考数学一轮复习考点讲义：第09章第3讲圆的方程及直线与圆的位置关系（含解析）

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一 圆的定义、方程
1．圆的定义
2.圆的一般方程的特点
(1)x2和y2的系数相等且大于0，含x2的项和含y2的项用加号连接；
(2)没有含xy的二次项；
(3)A＝C≠0且B＝0是二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的必要不充分条件．
二 点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外．
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上．
(3)|MC|0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．
1．判断下列结论是否正确．
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)
(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)
(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)
(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(√)
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点A(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
解析：根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
答案：A
3．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆x2＋y2＝1的关系为( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
解析：∵eq \f(|a×0＋b×0－1|,\r(a2＋b2))1，∴点P(a，b)在圆外．
答案：B
4．对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．以上三个选项均有可能
解析：直线y＝kx－1恒过定点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径为eq \r( ,3)，而|AC|＝eq \r( ,2)0，b>0)，由圆与直线4x－3y＝0相切，得圆心到直线的距离d＝eq \f(|4a－3b|,5)＝r＝1，化简，得|4a－3b|＝5①.又圆与x轴也相切，所以|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)．把b＝1代入①，得4a－3＝5或4a－3＝－5，解得a＝2或a＝－eq \f(1,2)(舍去)，所以圆心坐标为(2,1)，则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选B.
(2)解：方法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，
即eq \r(2a＋3－22＋a＋32)
＝eq \r(2a＋3＋22＋a＋52)，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝eq \r(10).
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(E,2)))－3＝0，,4＋9＋2D－3E＋F＝0，,4＋25－2D－5E＋F＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝4，,F＝－5.))
满足D2＋E2－4F>0，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0，即(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法四(几何法)：圆心在AB的中垂线上：y＋4＝－2x，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y－3＝0，,y＋4＝－2x，))得圆心C(－1，－2)，再求r＝|CA|＝eq \r(10).
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐
推荐使用的方法，计算量较小，关键是挖掘图形的几何性质．
标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法思路简单，但计算量稍大．
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
对点练1(1)(多选)若k∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，\f(4,5)，3))，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆，则k的值为( )
A.eq \f(4,5) B．0 C．3 D．－2
(2)(2024·湖北武汉调研)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为____________．
解析：(1)方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆的条件为(k－1)2＋(2k)2－4k>0，即5k2－6k＋1>0，解得k>1或k0，所以直线l与圆C相交．
方法二：由题意，知圆心(0,1)到直线l的距离d＝
点到直线的距离法．
eq \f(|－m|,\r(m2＋1))