新高考数学一轮复习考点讲义：第09章第11讲第3课时定点、定值问题（含解析）

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典例1 (2023·全国乙卷，理)已知椭圆C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(5),3)，点A(－2，0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(0，m)，N(0，n)，则eq \f(m＋n,2)＝kAM＋kAN，又kAM＋kAN＝kAP＋kAQ＝eq \f(y1,x1＋2)＋eq \f(y2,x2＋2)，则需证明：kAP＋kAQ＝eq \f(y1,x1＋2)＋eq \f(y2,x2＋2)为定值．
方法一：齐次化(斜率和问题)．
方法二：定比点差法．
设eq \(PQ,\s\up6(→))＝λeq \(BP,\s\up6(→))，即(x2－x1，y2－y1)＝λ(x1＋2，y1－3)，所以x1＝eq \f(x2－2λ,1＋λ)，y1＝eq \f(y2＋3λ,1＋λ)，代入4yeq \\al(2,1)＋9xeq \\al(2,1)＝36得4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y2＋3λ,1＋λ)))2＋9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2－2λ,1＋λ)))2＝36，①
又4yeq \\al(2,2)＋9xeq \\al(2,2)＝36，②
①－②得4(6λy2＋9λ2)＋9(－4λx2＋4λ2)＝36(2λ＋λ2)，即2y2＋3λ－3x2－6＝0，
所以eq \f(y1,x1＋2)＋eq \f(y2,x2＋2)＝eq \f(\f(y2＋3λ,1＋λ),\f(x2－2λ,1＋λ)＋2)＋eq \f(y2,x2＋2)＝eq \f(2y2＋3λ,x2＋2)＝3.
(1)解：由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，,e＝\f(c,a)＝\f(\r(5),3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝2，,c＝\r(5)，))
所以椭圆方程为eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1.
(2)证明：由题意可知，直线PQ的斜率存在，设直线PQ为y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2＋3，,\f(y2,9)＋\f(x2,4)＝1，))消去y并整理，得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，
则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k0)的焦点，不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N，当eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FB,\s\up6(→))时，|AN|＝2eq \r( ,2).
(1)求抛物线C的方程；
(2)当eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))＝1时，求证：直线AB过定点．
(1)解：当eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(FB,\s\up6(→))时，AB⊥x轴且AB过点F，
不妨设A在x轴上方，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p))，
此时Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))，
因为|AN|＝2eq \r( ,2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋\f(p,2)))2＋p2＝8，解得p＝2或p＝－2(舍去)，
故抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：当直线AB的斜率为0时，显然不符合题意；
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝my＋n，
M(x0，y0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)，y2))，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝my＋n，))化简，得y2－4my－4n＝0，
Δ＝16(m2＋n)>0，
y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，y0＝eq \f(y1＋y2,2)＝2m，N(－1,2m)，
eq \(NA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)＋1，y1－2m))，eq \(NB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)＋1，y2－2m))，
eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)＋1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)＋1))＋(y1－2m)(y2－2m)
＝eq \f(y\\al(2,1)y\\al(2,2),16)＋eq \f(y1＋y22－2y1y2,4)＋1＋y1y2－2m(y1＋y2)＋4m2
＝n2＋eq \f(16m2＋8n,4)＋1－4n－8m2＋4m2＝n2－2n＋1，
若eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))＝1，则n2－2n＋1＝1，
解得n＝0(舍去)或n＝2，
所以直线AB过定点(2,0)．
题型 定值问题
典例2 (2024·广东佛山联考)已知P是圆C：(x＋2)2＋y2＝12上一动点，定点M(2,0)，线段PM的垂直平分线n与直线PC交于点T，记点T的轨迹为C′.
(1)求C′的方程．
(2)若直线l与曲线C′恰有一个公共点，且l与直线l1：y＝eq \f(\r( ,3),3)x，l2：y＝－eq \f(\r( ,3),3)x分别交于A，B两点，△OAB的面积是不是定值(O为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解：(1)由C：(x＋2)2＋y2＝12，可知C(－2,0)，圆C的半径r＝2eq \r( ,3)，
连接TM(图略)，因为线段PM的垂直平分线n与直线PC交于点T，所以|TP|＝|TM|，
所以|TM|＝|TC|＋2eq \r( ,3)或|TC|＝|TM|＋2eq \r( ,3)，所以||TM|－|TC||＝2eq \r( ,3)0，b>0)，易知2a＝2eq \r( ,3)，c＝2，所以a＝eq \r( ,3)，c＝2，b＝eq \r( ,c2－a2)＝1，所以C′的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，
因为直线l与直线l1：y＝eq \f(\r( ,3),3)x，l2：y＝－eq \f(\r( ,3),3)x分别交于A，B两点，所以k≠±eq \f(\r( ,3),3).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)－y2＝1，))化简并整理，
得(1－3k2)x2－6mkx－3m2－3＝0，
因为k≠±eq \f(\r( ,3),3)，所以1－3k2≠0，
因为直线l与曲线C′恰有一个公共点，
所以Δ＝36m2k2＋4(1－3k2)(3m2＋3)＝0，即3k2＝m2＋1.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,y＝\f(\r( ,3),3)x，))得x＝－eq \f(\r( ,3)m,\r( ,3)k－1)，即xA＝－eq \f(\r( ,3)m,\r( ,3)k－1).
同理可得xB＝－eq \f(\r( ,3)m,\r( ,3)k＋1)，则|AB|＝eq \r( ,1＋k2)·|xA－xB|＝eq \f(2\r( ,3)|m|\r( ,k2＋1),|1－3k2|)，
又原点O到直线l的距离d＝eq \f(|m|,\r( ,k2＋1))，所以S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|d＝eq \f(\r( ,3)m2,|1－3k2|).
因为3k2＝m2＋1，所以S△OAB＝eq \r( ,3).
当直线l的斜率不存在时，
【方法总结】本解答先求解直线斜率存在的情况，再对斜率不存在的情况补充说明，也可以反过来，先计算斜率不存在的情况，容易得到S△OAB＝eq \r( ,3)，再计算斜率存在的情况，这样会有一个指引的作用．
直线l的方程为x＝±eq \r( ,3)，又渐近线方程为y＝±eq \f(\r( ,3),3)x，此时|AB|＝2，S△OAB＝eq \f(1,2)×eq \r( ,3)×2＝eq \r( ,3).故△OAB的面积为定值eq \r( ,3).
求定值问题的策略
对点练2(2024·安徽合肥期末)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P(x0，4)是抛物线C上一点，|PF|＝6.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点Q(0,4)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求证：eq \f(1,|AQ|2)＋eq \f(1,|BQ|2)为定值．
(1)解：因为点P(x0,4)在抛物线C：x2＝2py上，且|PF|＝6，
由抛物线的定义可得|PF|＝4＋eq \f(p,2)＝6，解得p＝4，
所以抛物线的方程为x2＝8y.
(2)证明：设直线l的斜率为k，可得直线l的方程为y＝kx＋4，
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋4，,x2＝8y，))消去y并整理得x2－8kx－32＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得Δ＝(8k)2－4×(－32)>0且x1＋x2＝8k，x1x2＝－32，
由eq \f(1,|AQ|2)＋eq \f(1,|BQ|2)＝eq \f(1,x\\al(2,1)＋y1－42)＋eq \f(1,x\\al(2,2)＋y2－42)＝eq \f(1,x\\al(2,1)＋kx1＋4－42)＋eq \f(1,x\\al(2,2)＋kx2＋4－42)＝eq \f(1,k2＋1x\\al(2,1))＋eq \f(1,k2＋1x\\al(2,2))＝eq \f(1,k2＋1)·eq \f(x\\al(2,1)＋x\\al(2,2),x1x22)＝eq \f(1,k2＋1)·eq \f(x1＋x22－2x1x2,x1x22)＝eq \f(1,k2＋1)·eq \f(8k2－2×－32,－322)＝eq \f(1,k2＋1)·eq \f(k2＋1,16)＝eq \f(1,16).