新高考数学一轮复习解析几何专题讲义第16讲 定点问题（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习解析几何专题讲义第16讲 定点问题（含解析），共16页。学案主要包含了例1-1，方法小结，例1-2，例2-1，例2-2，例4-1，例4-2，巩固练习参考答案等内容，欢迎下载使用。
一．问题综述
定点问题是常见的出题形式，解决这类问题的关键是引入变量表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
1、解决直线过定点问题的基本步骤：（1）设出直线，（2）借助韦达定理和已知条件找出与的一次函数关系式，（3）代入直线方程，得出定点。
2、处理定点问题的技巧：（1）引进参数法，设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或者曲线系方程，而该方程与参数无关，得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点，即所求的定点。（2）特殊到一般法。从特殊位置入手，找到定点，再证明该定点与变量无关。
3、其中共线问题是解析几何中常见问题之一，解决此类问题常利用向量共线定理，可以从两方面入手（1）共线向量坐标交叉相乘相等（2）直线上任意两点的向量存在倍数关系
下面总结圆锥曲线中几种常见的定点模型．
二．典例分析
类型1：“手电筒”模型
手电筒模型：限定AP与BP条件(如定值，定值，则直线AB过定点(因三条直线形似手电筒，故名曰“手电筒模型”）
【例1-1】已知椭圆：函若直线：与椭圆相交于求两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点坐标．
【解析】设，由得
以为直径的圆过椭圆的右顶点
解得且满足，
当时，：，直线过定点与已知矛盾．
当时，：，直线过定点．
综上可知：直线过定点
【方法小结】本题为”弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点(参考百度文库文章”圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”)
【例1-2】（2017全国Ⅰ理20）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.
（2）设直线与直线的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.
则，得，不符合题设.
从而可设l：（）.将代入得
由题设可知.
设，则，.
而.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）
【方法小结】本题为手电筒模型中定值一个例子，由定值 得到k与m的一次关系，再代入直线方程，得到定点。
类型2：切点弦恒过定点
【例2-1】过椭圆的右准线上任意一点引椭圆的两条切线，切点为
求证：直线恒过定点
略
【解析】有如下结论：圆上一点处的切线方程为，类比也有结论：椭圆上一点处的切线方程为
【解】（1）设则的方程为，
点在上 ① 同理可得 ②
由①②知的方程为，即 ③
易知右焦点满足③ 故直线恒过定点
（2）略
【例2-2】（2019全国Ⅲ文21）已知曲线：，D为直线上的动点，过D作C的两条切线， 切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.
【解】，则.
由于，所以切线DA的斜率为，故 .整理得
设，同理可得. 故直线AB的方程为.
所以直线AB过定点.
（2）略
【方法小结】切点弦方程是指从圆锥曲线外一点可引两条切线，切点为，连接两个切点所得方程具有相同的推导方法。切点弦性质可以作为结论，在考试中可以借鉴本题的书写步骤。切点弦方程的推导简单，方程形式简洁，可以大大简化解题过程。
类型3：相交弦恒过定点
【例3】如图，已知直线：，过椭圆：的右焦点，且交椭圆于
两点，点A，B在直线：上的射影依次为点连接AE，BD，试探索当变化时，直线AE，BD是否交于一定点N？若交于N，求出N点的坐标，并证明，否则说明理由
【解析】相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用，但是相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程需要思路清晰，同时注意总结这类问题的通法.
【解法一】，先探索，当时，直线轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD交于定点，
证明：设，当变化时首先AE过定点N
即

又
而
A、N、E三点共线，同理B、N、D三点共线
与相交于定点
【解法二】本题也可以直接得出AE和BD的方程，令，得与轴交点M、N，然后两个坐标相减=0，计算量也不大。
【方法小结】方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题的一类通法，但是需要注意解答的严谨。
类型4：动圆恒过定点
动圆恒过定点问题实质是垂直向量问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用
【例4-1】已知椭圆的离心率为，并且直线是抛物线的一条切线.
（1）求椭圆的方程
（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由
【解】（1）由
由直线与抛物线相切得
故所求椭圆为
（2）当与轴平行时，以AB为直径的圆的方程为
当与轴垂直时，以AB为直径的圆的方程为
由 即两圆的公共点为(0，1)
因此所求点T如果存在，只能是(0，1)，事实上.点(0，1)就是所求点，证明如下
当与轴垂直时，以AB为直径的圆过T(0，1)
当与轴不垂直时，设直线：
由
记点，则 又
即以AB为直径的圆恒过T，故在坐标平面上存在T(0，1)满足题意
【例4-2】（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，
故抛物线方程为：，其准线方程为：.
(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，
设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.
故：.
设，则，
直线的方程为，与联立可得：，同理可得，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，
且：，，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
【方法小结】圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出定点，再证明向量数量积等于0.
三．巩固练习
1．（2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足 QUOTE QUOTE NP=2NM NP=2NM ．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且 QUOTE QUOTE OP⋅PQ=1 OP⋅PQ=1 ．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．
2．（2011山东）在平面直角坐标系中，已知椭圆：．如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若
（i）求证：直线过定点；
（ii）试问点能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由．
3．（2014山东）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
4．（2018·黑龙江哈尔滨三中高二期中（文））曲线，直线关于直线对称的直线为，直线，与曲线分别交于点、和、，记直线的斜率为．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．
5．（2016·浙江高二期中）已知圆与轴交于两点，是圆上的动点，直线与分别与轴交于两点．
（1）若时，求以为直径圆的面积；
（2）当点在圆上运动时，问：以为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．
6.（2017·江西高考模拟（文））如图，已知直线关于直线对称的直线为，直线与椭圆分别交于点、和、，记直线的斜率为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点? 若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.
7．（2019·全国高三竞赛）如图，中心在坐标原点和焦点分别在轴、轴上的椭圆、均过点，且椭圆、的离心率均为。过点作两条斜率分别为、的直线，分别与椭圆、交于点、。当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由。
8．已知曲线和都过点，且曲线的离心率为.
（1）求曲线和曲线的方程；
（2）设点，分别在曲线，上，，的斜率分别为，，当时，问直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【巩固练习参考答案】
1．【解析】（1）设，，则，，．
由得 ，．
因为在上，所以．
因此点的轨迹方程为．
（2）由题意知．设，，则
，，，
，，
由得，又由（1）知，
故．
所以，即．又过点存在唯一直线垂直与，所以过点且垂直于的直线过的左焦点．
2．【解析】（Ⅰ）设直线，由题意，
由方程组得，
由题意，所以
设，由韦达定理得
所以
由于E为线段AB的中点，因此
此时
所以OE所在直线方程为又由题设知D（－3，m），
令=－3，得，即=1，所以
当且仅当==1时上式等号成立，此时 由得
因此 当时，取最小值2．
（Ⅱ）（i）由（I）知OD所在直线的方程为
将其代入椭圆C的方程，并由
解得
又，
由距离公式及得
由
因此，直线的方程为
所以，直线
3．【解析】（Ⅰ）由题意知，设，则的中点为
因为，由抛物线的定义可知，
解得或（舍去）
由，解得．所以抛物线的方程为．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，设．
因为，则，
由得，故，故直线的斜率
因为直线和直线平行，
设直线的方程为，代入抛物线的方程得，
由题意，得
设，则
当时，，
可得直线的方程为，由，
整理得，直线恒过点
当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点．
（ⅱ）由（ⅰ）知直线过定点，
所以。
设直线的方程为，因为点在直线上
故．设，直线的方程为
由于，可得，代入抛物线的方程得
所以，可求得，
所以点到直线的距离为
==
则的面积，
当且仅当即时等号成立，
所以的面积的最小值为．
4．（Ⅰ）证明：设直线上任意一点关于直线对称点为，
直线与直线的交点为，
∴，，，，
由得①，
由，得②，
由①②得，
；
（Ⅱ）设点，，
由，得，
可得或，
即，
由，可将换为，
可得，
，
即直线：，
可得 ，
即为，
则当变化时，直线过定点．
5．试题分析：由直线方程得，由得故所求面积为．
（2）根据两直线互相垂直设出直线AP，BP的方程，写出以MN为直径的圆的方程，令y=0得定点和．
试题解析：（1）解析：当时，直线方程是，所以；直线方程是，所以，因此．所以以为直径圆的面积是．
（2）解法1：设直线交轴于；同法可设直线交轴于，线段的中点．所以以为直径的圆的方程为：
，展开后得，
令，得，则过定点和．
解法2：设，线段线段的中点．所以以为直径的圆的方程为：，展开后得，
考虑到，有，
令，得，则过定点和．
考点：直线与圆的综合应用．
6.【解析】试题分析：（Ⅰ）可以设直线的方程为，再设直线上任意一点关于直线对称点为，于是分别表示出，由直线对称性可知， 所在直线与垂直，且中点在上，于是整理得出的值；（Ⅱ）本问考查椭圆中直线过定点问题，设，将AM方程与椭圆方程联立，可以求出点M的坐标，同理将直线AN方程与椭圆方程联立，可以求出点N的坐标，根据M，N两点坐标，可以求出直线MN的方程，从而判定直线MN是否过定点.
试题解析：（Ⅰ）设直线上任意一点关于直线对称点为
直线与直线的交点为，∴
，由
得……..①
由得…….②，
由①②得
.
（Ⅱ）设点，由得，
∴，∴.
同理： ，

，∴
即：
∴当变化时，直线过定点.
方法点睛：定点问题的探索与证明时一般考虑以下两种解法：（1）可以先设直线方程为，然后利用条件建立的等量关系进行消元，借助于直线系的思路找出定点；（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
7.【详解】注意到，椭圆、的标准方程分别为；
直线，
由 .
则点.内饰地，点.
因为，所以，点.
则.
故
直线过定点.
8.（1）将点P坐标代入曲线即可求得r，得曲线的方程；将点P坐标代入曲线方程，结合椭圆离心率，即可求得曲线的标准方程。
（2）设、和直线的方程、直线的方程，分别联立椭圆方程，用k表示出，求得直线AB的斜率，表示出AB的直线方程，进而求得过的定点坐标。
【详解】
（1）曲线和都过点
∴，，曲线的方程为
∵曲线的离心率为
∴
∴
∴曲线的方程，
（2）设，，直线的方程为，代入到，消去，
可得，解得或，
∴，
直线的方程为，代入到程，消去，可得，
解得或，，
∵，
∴直线的斜率，
故直线的方程为，
即，
所以直线恒过定点