新高考数学一轮复习讲与练10.6 三定问题及最值（精讲）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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考点呈现
例题剖析
考点一 定点
【例1】（2022·河南模拟）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：由题意可得，，即，又
，解得，，，
则椭圆的方程为；
（2）证明：由（1）可得，
①当直线的斜率存在时，设，，，
由，所以，
又，代入整理得，
由消去整理得，
所以，，
所以，
整理得，
当时，直线过，不符合题意，
所以，即，
故直线的方程为，符合题意，
故恒过点；
②当直线的斜率不存在时，设，，由，解得，
即直线的方程为，必过定点，
综上可得，直线恒过定点；
【一隅三反】
1．（2022·浙江模拟）如图，已知点A是抛物线在第一象限上的点，F为抛物线的焦点，且垂直于x轴．过A作圆的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于M，N两点，且直线的斜率为4．
（1）求抛物线的方程及A点坐标；
（2）问：直线是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）解：因为，由，所以抛物线方程为，且
（2）解：设的倾斜角依次为，由可知，
再设的斜率分别为，下证．
方法一：由可知且满足，
再由．
方法二：直线的方程为，其中分别对应，
于是，即，
，
即，
由可知．
因为直线的方程为，其中分别对应，
再设直线的方程为，
联立求得其交点均满足，
代入抛物线C的方程，于是有，
将，整理得，
进而得到，．
将代入前式，有，化简得，
再代入的方程得，
所以恒过定点．
2．（2022·西安模拟）已知抛物线上的点到其准线的距离为5．不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当时，求证：直线AB过定点．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：由抛物线C的方程可得其准线方程，
依抛物线的性质得，解得．
∴抛物线C的方程为．
（2）证明：当直线AB的斜率为0时，显然不符合题意；
当直线AB的斜率不为0时，设直线，、、，由化简得，，，，
，所以，所以，，
所以
若，即，解得或（舍去），所以直线AB过定点.
3．（2022·朝阳模拟）已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点．若，求证：直线经过定点．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为
（2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
若直线过点，则、必有一点与点重合，不合乎题意，所以，，
设点、，
联立可得，
，可得，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
由可得，
即，
因为，整理可得，解得，
所以，直线的方程为，所以，直线过定点；
若直线的斜率不存在，则，，
则，不合乎题意.
综上所述，直线过定点
考点二 定值
【例2】（2022高三上·大理月考）已知椭圆过点，离心率为，直线与椭圆E交于A，B两点，过点B作，垂足为C点，直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
（1）求椭圆E的方程；
（2）试问是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：由已知得 ，解得 ，所以
（2）解：由已知，不妨设 ，则 ， ，
所以 ， ，所以 ，
代入椭圆 的方程得： ，
设 ，则 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
即 ，也即 为定值 .
【一隅三反】
1．（2022高三上·大同开学考）已知椭圆的右焦点为F，离心率，点F到左顶点的距离为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知四边形为椭圆的内接四边形，若边过坐标原点，对角线交点为右焦点F，设的斜率分别为，试分析是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）解：由题意知
，，
所以椭圆方程为.
（2）解：设，则
可得：代入椭圆方程
整理得
由代入上式得
，是方程的一个解
∴点C的横坐标，
又因为在直线上
∴，同理：∵，
∴，即
∴为定值，定值.
2．（2022·雅安模拟）已知椭圆的右焦点为F，长轴长为4，离心率为．过点的直线与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值．
【答案】（1）（2）-1
【解析】（1）由已知有，解得，故椭圆C的标准方程为：；
（2）解：由已知直线l斜率不为零，故设其方程为，
由消去x得：（，令得．
设，则有，易知，
∴
所以为定值-1．
3．（2022·河南模拟）已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）（2）-1
【解析】（1）解：设椭圆的焦距为，
则，解得
故椭圆的方程为.
（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线.
联立整理得，
则.
因为，所以，
则
故为定值-1.
考点三 最值
【例3】（2022·陕西模拟）已知抛物线上有一动点，过点作抛物线的切线交轴于点．
（1）判断线段的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；
（2）过点作的垂线交抛物线于另一点，求的面积的最小值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：设直线的方程为，和抛物线方程联立得：，
由，得，则的解为，
由得，，得，
在中，令得，所以，
中点为，所以线段的中垂线方程为，
所以线段的中垂线过定点.
（2）解：由（1）可知，直线的方程为
将其与抛物线方程联立得：
，，
，
.
所以的面积为，所以，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以时，.
【一隅三反】
1．（2022·焦作模拟）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作抛物线的两条互相垂直的弦AB，，设弦AB，的中点分别为P，Q，求的最小值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：依题意，设．
由抛物线的定义得，解得：，
因为在抛物线上，
所以，所以，解得：．
故抛物线的方程为．
（2）解：由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为0．
设直线AB的方程为，，．
联立，整理得：，
则，从而．
因为P是弦AB的中点，所以，
同理可得．
则
，
当且仅当且，即时等号成立，
故的最小值为8．
2．（2022·嵊州模拟）已知直线和直线与抛物线分别相交于A，B两点（异于坐标原点O），与直线分别相交于P，Q两点，且．
（1）求线段的中点M的轨迹方程；
（2）求面积的最小值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：设，则，
所以，解得，
设直线的方程为，由
得，则，
于是，解得，
设线段的中点，则，
所以，故线段的中点M的轨迹方程
（2）解：直线与直线的交点横坐标为，同理，
所以，
由（1）知，，
所以，所以.
又直线与x轴的交点坐标为，
所以面积为，
设，则，
所以，
所以，即时，面积有最小值.