新高考数学二轮专题重难点突破训练34 切线与切点弦问题（五大题型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题重难点突破训练34 切线与切点弦问题（五大题型）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮专题重难点突破训练33双切线问题的探究七大题型原卷版docx、新高考数学二轮专题重难点突破训练33双切线问题的探究七大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共90页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc176639406" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc176639406 \h 3
\l "_Tc176639407" 题型一：切线问题 PAGEREF _Tc176639407 \h 3
\l "_Tc176639408" 题型二：切点弦过定点问题 PAGEREF _Tc176639408 \h 5
\l "_Tc176639409" 题型三：利用切点弦结论解决定值问题 PAGEREF _Tc176639409 \h 6
\l "_Tc176639410" 题型四：利用切点弦结论解决最值问题 PAGEREF _Tc176639410 \h 9
\l "_Tc176639411" 题型五：利用切点弦结论解决范围问题 PAGEREF _Tc176639411 \h 10
\l "_Tc176639412" 03 过关测试 PAGEREF _Tc176639412 \h 12
1、点在圆上，过点作圆的切线方程为．
2、点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
3、点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
4、点在圆上，过点作圆的切线方程为．
5、点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
6、点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．
7、点在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为．
8、点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
9、点在椭圆内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
10、点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．
11、点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
12、点在双曲线内，过点作双曲线的弦（不过双曲线中心），分别过作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
13、点在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为．
14、点在抛物线外，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
15、点在抛物线内，过点作抛物线的弦，分别过作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
题型一：切线问题
【典例1-1】已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，过上一点作的两条渐近线的平行线，分别交轴于，两点，且，内切圆的圆心到轴的距离为．
(1)求的标准方程；
(2)（ⅰ）设点为上一点，试判断直线与C的位置关系，并说明理由；
（ⅱ）设过点的直线与交于，两点（异于的两顶点），在点，处的切线交于点，线段的中点为，证明：，，三点共线．
【典例1-2】（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率 为，直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)椭圆方程，平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线.
① 若在椭圆上，证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线;
② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆 于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点. 证明: 三点共线.
【变式1-1】在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．
(1)求曲线的方程；
(2)证明：曲线在点处的切线与平行；
(3)若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围．
【变式1-2】已知抛物线，焦点为.过抛物线外一点（不在轴上）作抛物线的切线，其中为切点，两切线分别交轴于点.
(1)求的值；
(2)证明：
①是与的等比中项；
②平分.
【变式1-3】（2024·江西·高三校联考开学考试）已知抛物线，F为C的焦点，过点F的直线与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T．
(1)当的斜率为时，求；
(2)证明：．
题型二：切点弦过定点问题
【典例2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：.
(1)若点在：上，记G的几何中心为点，则当取得最大值时，求点的坐标.
(2)已知动点、在C上，分别过、作抛物线的切线、，设和相交于点T，若点T恒在直线：上，求证：直线经过定点.
(3)将绕原点顺时针旋转90°得到，给定点，上有四点、、、，满足，、均三点共线，且、都在x轴上方，设线段和的中点分别为T、S，试判断：直线是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标，若不会，请说明理由.
【典例2-2】已知曲线上的动点满足，且.
(1)求的方程；
(2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点.
【变式2-1】（2024·青海海西·模拟预测）过直线上一个动点作抛物线的两条切线，分别为切点，直线与轴分别交于两点．
(1)证明：直线过定点，并求点的坐标；
(2)在（1）的条件下，为坐标原点，求的最大值．
【变式2-2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知椭圆，直线，是直线上的动点，过作椭圆的切线，，切点分别为，
(1)当点坐标为时，求直线的方程；
(2)求证：当点在直线上运动时，直线恒过定点；
(3)是否存在点使得的重心恰好是椭圆的左顶点，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式2-3】已知抛物线：过点，点B为直线上的动点，过点B向曲线C引两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标，否则说明理由.
题型三：利用切点弦结论解决定值问题
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）一般地，抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形，对应的三个切点形成的三角形称为抛物线的切点三角形．如图，，分别为抛物线y2=2pxp>0的切线三角形和切点三角形，为该抛物线的焦点．当直线的斜率为时，中点的纵坐标为．
(1)求．
(2)若直线过点，直线分别与该抛物线的准线交于点，记点的纵坐标分别为，证明：为定值．
(3)若均不与坐标原点重合，证明：
【典例3-2】（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为：，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明：为定值.
【变式3-1】已知，分别为椭圆：和双曲线：的离心率．
(1)若，求的渐近线方程；
(2)过上的动点作的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的方程为，把该抛物线整体平移，使其顶点与坐标原点重合，平移后的抛物线记作．
(1)写出平移过程，并求抛物线的标准方程；
(2)已知是抛物线的内接三角形（点在直线的下方），过作抛物线的切线交于点，再过作抛物线的切线分别交于点，记，的面积分别为，证明为定值．
【变式3-3】已知圆有以下性质：①过圆上一点的圆的切线方程是．②若为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为；③若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则垂直，即，且平分线段．
(1)类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程（不要求证明）；
(2)过椭圆外一点作两直线，与椭圆相切于两点，求过两点的直线方程；
(3)若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切与两点，求证:为定值，且平分线段．
题型四：利用切点弦结论解决最值问题
【典例4-1】如图，抛物线：上异于坐标原点的两不同动点、满足.
(1)求证：直线过定点；
(2)过点，分别作抛物线的切线交于点，求的面积的最小值.
【典例4-2】（2024·河北邢台·二模）已知定点，轴于点H，F是直线OA上任意一点，轴于点D，于点E，OE与FD相交于点G．
(1)求点G的轨迹方程C；
(2)过的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为和，证明：为定值；
(3)在直线上任取一点，过点B分别作曲线C：的两条切线，切点分别为M和N，设的面积为S，求S的最小值.
【变式4-1】（2024·高三·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，且．
(1)求证：直线恒过一定点，并求出该点坐标；
(2)若点为轴上一定点，且；
（ⅰ）求出点坐标；
（ⅱ）过点作平行于轴的直线，在上任取一点作抛物线的两条切线，切点为，，求面积的最小值．
【变式4-2】已知椭圆的离心率为，且过点．抛物线的焦点坐标为．
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)若点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，直线交椭圆于两点．
①求证直线过定点，并求出该定点坐标；
②当的面积取最大值时，求直线的方程．
题型五：利用切点弦结论解决范围问题
【典例5-1】（2024·高三·四川成都·开学考试）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点.
(1)求证：；
(2)求的面积的取值范围.
（参考结论：点是椭圆外一点，过P作该椭圆的两条切线，切点为A,B，则直线AB的方程为.）
【典例5-2】已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，切点为A，B.
(1)若点的坐标为0,3，证明：直线；
(2)求O到直线的距离的范围.
【变式5-1】已知抛物线C：（p>0）的焦点为F，过F点且垂直x轴的直线l交抛物线C于M，N两点，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)圆Q：，点P在圆Q上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求面积的范围.
【变式5-2】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线为，在点处的切线为，直线与直线交于点，当直线的倾斜角为时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)设线段的中点为，求的取值范围．
1．已知抛物线E：，过点的直线与E交于A，B两点，设E在点A，B处的切线分别为和，与的交点为P．
(1)若点A的坐标为，求的面积（O为坐标原点）；
(2)证明：点P在定直线上．
2．在直角坐标系中，动圆经过点且与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线C．直线y＝x＋b(其中b为非零常数)与曲线C交于两点，设曲线C在点处的切线分别为和，已知和分别与轴交于点M，N．与的交点为T．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)求点T的横坐标；
(3)已知与面积之比为5，求实数b的值．
3．已知椭圆，焦点在轴上的双曲线的离心率为，且过点，点在上，且，在点处的切线交于两点.
(1)求直线的方程（用含的式子表示）；
(2)若点，求面积的最大值.
4．（2024·高三·河北保定·开学考试）已知双曲线的实轴长为4，离心率.
(1)求的方程；
(2)过上任意一点作圆的切线，求切线斜率最大时，与的渐近线围成的三角形面积.
5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，右焦点为，为上的一个动点，
(1)若点在双曲线右支上，在轴的负半轴上是否存在定点．使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)过作圆的两条切线，若切线分别与相交于另外的两点、，证明：三点共线．
6．（2024·辽宁·三模）设抛物线的方程为，为直线上任意一点；过点作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A点在第一象限）．
(1)当M的坐标为时，求过M，A，B三点的圆的方程；
(2)求证：直线AB恒过定点；
(3)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；若不存在，也请说明理由．
7．已知直线：和圆：.
(1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离；
(2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标.
8．已知点M是直线l: 上一动点，过点M作圆O:切线，切点分别为P，Q.
(1)当OM的值最小时，求切线方程;
(2)试问:直线PQ是否过定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
9．已知动点与定点的距离等于点到的距离，设动点的轨迹为曲线．椭圆的一个焦点与曲线的焦点相同，且长轴长是短轴长的倍．
(1)求与的标准方程；
(2)有心圆锥曲线（椭圆，圆，双曲线）有下列结论：若为曲线上的点，过点作的切线，则切线的方程为．利用上述结论，解答问题：过作椭圆的切线（为切点），求的面积．
10．设抛物线的方程为，点为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．
(1)当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
(2)求证：直线恒过定点．
11．已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为）
12．如图所示，已知椭圆，上顶点为A，过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．当r变化时，试问：直线BD是否过某个定点？若过某个定点，求出该定点；若不过某个定点，请说明理由．
13．已知圆，直线.
(1)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为，求证：过点的圆过定点，并求出所有定点的坐标；
(2)若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为,求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标.
14．（2024·高三·山东·开学考试）已知抛物线是上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，则称三角形为抛物线的外切三角形．
(1)当点的坐标为为坐标原点，且时，求点的坐标；
(2)设外切三角形的垂心为，试判断是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；
(3)证明：三角形与外切三角形的面积之比为定值．
15．已知点A，B是圆上的动点，且，直线PA，PB为圆的切线，当点A，B变动时，点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点，斜率为k的直线与曲线交于点M，N，点Q为曲线上纵坐标最大的点，求证：直线MQ，NQ的斜率之和为定值．
16．已知椭圆，分别为双曲线的左，右顶点，分别为和的离心率．
(1)若．
（ⅰ）求的渐近线方程；
（ⅱ）过点的直线l交的右支于两点，与直线交于两点，记坐标分别为，求证：；
(2)从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由．