新高考数学二轮复习高分突破训练第5讲 函数的切线问题（2份，原卷版+解析版）

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1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程
2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点的横坐标，因为可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标，代入到导函数中可得到切线的斜率,从而一点一斜率，切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来。
3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标,再考虑利用条件解出核心要素.
4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用求出参数值进而解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通。若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解。若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在轴的抛物线，可看作关于的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解.
5. 导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）一条倾斜角为的直线与执物线交于不同的两点，设弦的中点为过作平行于轴的直线交抛物线于点，则以为切点的抛物线的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设弦所在直线的方程为，，联立方程得，进而得，再根据导数的几何意义求解.
【详解】
设弦所在直线的方程为，，
所以联立方程得，
所以，解得
，
所以，
所以点的坐标为，
所以联立方程得，
此时点在轴上方，抛物线对应的函数为，故求导得，
所以点的切线的斜率为.
故选：C
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于设弦所在直线的方程为，进而与抛物线联立计算得，进一步计算得，最后根据导数的几何意义求解.
例2．（2022·全国·高三专题练习）若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可.
【详解】
①易知P点在曲线上，当P点为切点时，.
②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.
∵A在曲线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或 (舍去)，
∴，k=3，
此时切线方程为y+1=3(x+1)，
即.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.
故选：D
例3．（2022·全国·高三专题练习）设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出导函数，设切点，写出切线方程，把用表示，得出的表达式，再构造新函数．利用导数求得最大值．
【详解】
由题得.设切点，
则;
则切线方程为
即
又因为是曲线的切线
所以
则.
令.
则.
则有时，在上递减;
时，在上递增﹐
所以时，取最大值
即的最大值为.
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．解题关键是掌握求切线方程的方法，设切点为，求出切线方程，可把表示为的函数，然后再由导数求得最大值．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线在，，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相切得到切点的横坐标满足的代数式，据此构建方程，从而得到两根的关系，故可得正确的选项.
【详解】
由题设有，化简可得即，
整理得到，同理，不妨设，
令，
因为当时，均为增函数，故为增函数，
同理当时，故为增函数，
故分别为在、上的唯一解，
又，故，
故为在的解，故即.
所以，
故选：B.
【点睛】
用导数求切线方程常见类型：
(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；
(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：.
例5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线斜率，从而可得，，将问题转化为与，，存在两个不同的交点；通过导数研究的图象，从而得到所求范围.
【详解】
由题意得
设切点坐标为：，
则过原点的切线斜率：，
整理得：，
存在两条过原点的切线，，，存在两个不同解，
设，，则问题等价于与存在两个不同的交点
又
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
的大致图象如下：
若与存在两个不同的交点，则，
解得：
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据方程解的个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于轴的直线与曲线的交点个数问题，通过导数研究曲线的图象，通过数形结合的方式来确定交点个数，从而得到参数范围.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（ ）
A．-1B．-2C．1D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
分别表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换即可.
【详解】
已知曲线在点处的切线方程为，即，
曲线在点处的切线方程为，即，
由题意得，得，，则.又，所以，所以，所以.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题需要表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换，在代换过程中要尽量去消去指数和对数，朝目标化简.
例7．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数存在垂直于轴的切线，又，且有，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
利用导数的几何意义结合基本不等式可求得的最小值，利用可求得的值，由此可求得的最小值.
【详解】
由题意，函数的定义域为，且，
因为函数存在垂直于轴的切线，
所以存在，使得成立，
所，当且仅当，即时，等号成立，
又，所以，
则.
故选：D.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
例8．（2022·全国·高三专题练习）若曲线在，两点处的切线互相垂直，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
化简可得，求出导数可得切线斜率在范围内，即可得出切线斜率必须一个是1，一个是-1，即可求出.
【详解】
，
曲线的切线斜率在范围内，
又曲线在两点处的切线互相垂直，
故在，两点处的切线斜率必须一个是1，一个是-1.
不妨设在A点处切线的斜率为1，
则有，，
则可得，
所以.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是利用导数得出切线斜率在范围内，从而根据垂直得出斜率必须一个是1，一个是-1.
过关练习：
1．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））若过点可以作曲线且的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．与的大小关系与有关
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点为：，写出切线方程，根据点在切线上，得到，根据过点可以作曲线且的两条切线，由方程有两个不同的根求解.
【详解】
设切点为：，
则，
所以切线方程为，
因为点在切线上，
所以，
即，
令 ，
则 ，
令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得极小值 ，
因为过点可以作曲线且的两条切线，
所以，即 ，
所以与的大小关系与有关，
故选：D
2．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知函数，有下列结论：
①在上都是增函数；
②若，则；
③若，则；
④若，则曲线上不存在相异两点M，N处的切线互相平行．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④B．③C．③④D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①求f(x)导数为，讨论的正负来判断f(x)单调性；
②代入a＝0，，判断的最小值是否恒大于或等于零；
③代入a＝1，根据正负判断f(x)单调性，求其最小值即可；
④，研究的导数判断其单调性即可.
【详解】
①，x＞0
令＝0，即，∵，∴方程有两个不等实数根，设为，∵，故两根异号，即方程必有一个正根，不妨设该正根为，
则在递减，在递增，即f(x)在不单调，故①错误；
②，x＞0，
，
令，则.
，g(x)在单调递减，在单调递增，故，故②错误；
③，，，
故f(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，故，
故③正确；
④，x＞0，令h(x)＝，则＝＞0，
∴是x＞0时的单调递增函数，
故f(x)不存在两个相等的导数值，即不存在相异的两点切线平行.故④正确.
故选：C.
【点睛】
本题的关键点是熟练的运用导数研究函数的单调性，熟练掌握利用单调性求函数的最值.
3．（2022·江西赣州·高三期末（理））曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
由导数的几何意义求在处的切线方程，求出切线与x轴的交点及与曲线的交点，即可求面积.
【详解】
由题设，，则，而，
∴在处的切线为，即，
∴切线与x轴交点为，
∴切线、坐标轴、所围成的面积为.
故选：B.
4．（2022·安徽黄山·一模（理））已知，曲线在不同的三点，，处的切线均平行于x轴，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由得，令，求导分析单调性与极值，依题意得有三个不同解，即可求解．
【详解】
由得
令，则
当或时，当时，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
且，
因为曲线在不同的三点，，处的切线均平行于x轴
所以有三个不同解，故
故选：D
5．（2022·江苏镇江·高三期末）已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（ ）
A．1B．C．D．－1
【答案】A
【解析】
【分析】
求导，根据导数的几何意义求得a的值，再根据导数的正负判断极值点，求得极大值.
【详解】
由由题意得 ,
故，则 ，
所以，令，
则，，
当或时，；当时，，
故函数在时取得极大值为，
故选：A.
6．（2022·浙江·温州中学高三期末）如图，函数的图象上任取一点，过点作其切线，交于点，过点作其切线，交于点，过点作其切线，交于点，则的取值（ ）
A．与有关，且存在最大值B．与有关，且存在最小值
C．与有关，但无最值D．与无关，为定值
【答案】D
【解析】
【分析】
先证明一个结论：函数的图象上任取一点，.
过点作其切线交于点，过点作交于另两个点 ，则；利用该结论即可求出的横坐标关于的表达式，进而求出直线与的方程，联立直线与的方程，即可求出点的横坐标，再根据，即可求出结果.
【详解】
先证函数的图象上任取一点，.
过点作其切线交于点，过点作交于另两个点 ，则.
证明:设过点的直线为，联立得: ，得方程
则方程必有一根，于是方程可改写为，其中，
当与相切于点时，方程有重根，韦达定理知；
当与相交于点时，方程有另两个根，
韦达定理知.
故.
由于函数的图象关于原点对称，
设，连结，交于另一点，由对称性，则，由上述结论，则，所以；
设，连结交于另一点由对称性，则，由上述结论，则，所以.
于是直线为，直线为，
联立得: ，解得，
所以，故的取值与无关，为定值.
故选：D.
7．（2022·内蒙古通辽·高三期末（文））若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列四个函数中，具有T性质的所有函数的序号为（ ）
①，②，③，，④
A．①③B．①④C．①③④D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知其导函数上存在两点的导函数值乘积为；对每一个函数进行求导，逐个判断即可.
【详解】
，所以，其导函数上存在两点的导函数值乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件；
，所以恒成立，不满足条件；
，，所以，其导函数上存在两点的导函数值乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件；
，所以，函数单调递增，且，，其导函数上存在两点的导函数值的乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件.
故选：C.
8．（2022·湖南永州·二模）若函数与存在两条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设切线与曲线相切于点，利用导数写出曲线在点处的切线方程，将切线方程与函数的解析式联立，由可得出直线与曲线有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
设切线与曲线相切于点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
联立可得，
由题意可得且，可得，
令，其中，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，所以，.
且当时，，当时，，如下图所示：
由题意可知，直线与曲线有两个交点，则，解得.
故选：D.
9．（2022·全国·高三专题练习）设抛物线 ，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，，，，的横坐标分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数求出切线斜率，写出切线方程，消去，联立方程组即可得解.
【详解】
由得，得，
所以直线的方程为，直线的方程为，
所以，①，②
由①、②得．
故选：A
10．（2022·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数（构造新函数）图象有两个交点，由导数确定函数的性质后可得．
【详解】
设切点坐标为，由于，
因此切线方程为，又切线过点，
则，，
设，函数定义域是，
则直线与曲线有两个不同的交点，
，
当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；
当时，时．，单调递减，
时，，单调递增，所以，
由题意知，即．
故选：D．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，为曲线在点处的切线上的一个动点，为圆上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数求得曲线在点处的切线方程，求得圆的圆心到切线的距离，由此求得的最小值.
【详解】
因为，所以，，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
圆的圆心坐标为，故圆心到直线的距离为，所以的最小值为.
故选：D
12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是的极小值点B．是的极小值点
C．在区间上单调递减D．曲线在处的切线斜率小于零
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC选项，根据导数的定义和几何意义即判断D选项，从而得出答案.
【详解】
由图象知，当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减，
是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误；
又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确.
故选：D.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知，若过一点可以作出该函数的两条切线，则下列选项一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设切点为，求得切线方程为，可得出，令，分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，根据方程有两根可得出结果.
【详解】
设切点为，对函数求导得，则切线斜率为，
所以，切线方程为，即，
所以，，可得，
令，其中，由题意可知，方程有两个不等的实根.
.
①当时，对任意的，，此时函数在上单调递增，
则方程至多只有一个根，不合乎题意；
②当时，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增.
由题意可得，可得.
故选：A.
14．（2022·浙江·高三专题练习）若直线与两曲线分别交于两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论：
①，使得；②当时，取得最小值；
③的最小值为2；④最小值小于．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用导数求得两条切线方程，令,可知，故存在零点，①正确；，通过求导讨论单调性可知有最小值，进而可以判断最小值范围，可以判断②正确，③错误，④正确.
【详解】
解：由直线与两曲线分别交于两点可知：
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，可知切线：.
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率.
令，则，令，，
由零点存在定理，使，即，使，即，故①正确.
，令，由同理可知有，使，令，在处取最小值，即当时，取得最小值，故②正确.
是对勾函数，在上是减函数，，故③错误，④正确.
故选：C
15．（2022·全国·高三专题练习）过曲线C：上一点作斜率为的直线，该直线与曲线C的另一交点为P，曲线C在点P处的切线交y轴于点N．若的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义求出切线方程，结合三角形面积公式进行求解即可.
【详解】
设，，，
切线方程为：，令，，∴，
．
过P作x轴的垂线，垂足为M，
梯形PNOM面积，
∴，
即，∴，
显然是该方程的一个根，设，
由题意可知：，所以，此时函数单调递增，
故方程有唯一实根，
即，∴，
故选：B
【点睛】
关键点睛：利用梯形面积建立等式是解题的关键.
16．（2022·新疆·乌市八中高三阶段练习（理））已知曲线在处的切线经过点，则的大致范围是（ ）（参考数据：，）
A．（2，e）B．（e，3）C．（3，4）D．（4，5）
【答案】C
【解析】
【分析】
由导数得几何意义结合零点的存在性定理即可求解
【详解】
∵，
∴曲线在处的切线方程是，
由切线经过点，得．
令，显然单调递减，
∵，
，
∴的大致范围是．
故选：C
17．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，在抛物线上，过点，作抛物线的切线，，其中，，不与坐标轴垂直，直线，交于点，若直线过点，则当的面积最小时，（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件求出，设直线的方程为，与联立可得，，由导数的几何意义求出两条切线的方程，由两切线方程求出点的坐标，利用点到直线的距离公式求出的高，由弦长公式求出，计算的面积结合函数的性质求出面积的最小值即可求解.
【详解】
因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，
因为直线过点，设直线的方程为，
由 可得，所以，，
由可得，所以，
所以在点处的切线方程为：即，
所以，
同理可得在点处的切线方程为：，
由可得：，，
所以点的坐标为，
所以点到直线：的距离，
，
所以的面积为，
所以当时，的面积最小，此时，
故选：C
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据导数的几何意义写出函数在点、处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，判断单调性，可得出的取值范围．
【详解】
解：当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，，，为该函数图象上的两点，且，
当，或时，，故，
当时，函数在点，处的切线方程为：
；
当时，函数在点，处的切线方程为．
两直线重合的充要条件是①，②，
由①及得，由①②令，则，
且，记
导数为，且在恒成立，
则函数在为减函数，
，
∴实数的取值范围是．
故选：B
19．（2022·全国·高三专题练习（理））已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x−ln x存在与直线x＋y−1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．[−1，＋∞)D．(−∞，−1]
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，曲线存在与直线垂直的切线，转化为有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．
【详解】
解：令，
由题意，斜率是，则与直线垂直的切线的斜率是1，
有解
函数的定义域为，
有正根，
，
有正根
有正根
，
．
故选：A．
20．（2022·全国·高三专题练习（文））若直线为函数图象的一条切线，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设点（）是函数图象上任意一点，则可求出过点的切线方程为，所以，构造函数利用导数求其最大值即可
【详解】
设点是函数图象上任意一点，其中，
所以过点的切线方程为，
即，故．
构造函数，则．
在区间上，单调递增；在区间上，单调递减．
所以的最大值为，即的最大值为．
故选：A
21．（2022·全国·高三专题练习）的图象关于轴对称，则的图象在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意求得，则可得，进而可得结果.
【详解】
的图象关于轴对称，则，
所以，，，所以，，所以的图象在处的切线方程为.
故选：A.
22．（2022·全国·高三专题练习）过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
先设切点，根据导数的几何意义求切线方程，再代入点M，得到A，均满足得到一元二次方程，即得到直线的方程和斜率，结合斜率为2解得参数即可.
【详解】
抛物线，即，则由切线斜率，
设切点，则，又，
所以切线方程为，即 ，
同理切线方程为，
两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，
故.
故选：C.
23．（2022·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
【点睛】
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.