新高考数学一轮复习核心考点+提升练习考点12对数与对数函数（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习核心考点+提升练习考点12对数与对数函数（2份，原卷版+解析版），共8页。
1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数．
【知识点】
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 .
以e为底的对数叫做自然对数，记作 .
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝ ，lgaa＝ ，＝ (a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝ ；
②lgaeq \f(M,N)＝ ；
③lgaMn＝ (n∈R)．
(3)对数换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数 (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称．
常用结论
1．lgab·lgba＝1，＝eq \f(n,m)lgab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
【核心题型】
题型一 对数式的运算
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
【例题1】（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）集合则集合的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1】（2024·全国·模拟预测）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间，则约为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·辽宁丹东·一模）若，，，则（ ）
A．-2B．C．D．1
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A．4B．5C．6D．3
题型二 对数函数的图象及应用
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【例题2】（2024·北京东城·一模）设函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2024·陕西咸阳·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型三 对数函数的性质及应用
求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
命题点1 比较对数式的大小
【例题3】（2024·云南·一模）已知，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2024·全国·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·浙江温州·二模）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024·重庆·模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
命题点2 解对数方程、不等式
【例题4】（2023·山东·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·上海青浦·二模）已知，，若，则满足条件的 的取值范围是 ．
【变式2】（2024·湖北·一模）已知函数，则关于x的不等式的解集为 ．
【变式3】（23-24高三下·北京·开学考试）函数的定义域是 .
命题点3 对数函数的性质及应用
【例题5】（2024·广东·一模）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）
A．16B．24C．32D．48
【变式1】（2024·江西九江·二模）若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）在区间内随机取一个数b，则函数在区间上单调递减的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024·辽宁·一模）若函数使得数列，为递减数列，则称函数为“数列保减函数”，已知函数为“数列保减函数”，则a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023高三上·四川·学业考试）函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·广西·二模）已知函数为偶函数，则的最小值为（ ）
A．2B．0C．1D．
3．（2024·湖南·一模）已知，且，则是的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·浙江·二模）若函数为偶函数，则实数a的值为（ ）
A．B．0C．D．1
二、多选题
5．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为D．
6．（2024·甘肃武威·模拟预测）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
7．（2024·云南红河·二模）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则 .
8．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知（且，函数的图象恒过定点，则点的坐标为 ．
四、解答题
9．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）已知，，，比较、、的大小.
10．（23-24高三上·上海长宁·期中）已知函数，其中常数且.
(1)判断上述函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论；
(2)若，利用上述函数在区间上的单调性，讨论和的大小关系，并述理由.
11．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）已知．
(1)若，求的值域；
(2)若在上单调递减，求a的取值范围．
综合提升练
一、单选题
1．（2024高三上·全国·竞赛）（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（2024·陕西西安·一模）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，设，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则在上是（ ）.
A．增函数且B．增函数且
C．减函数且D．减函数且
5．（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数，则函数的零点个数是（ ）．
A．2B．3C．4D．5
6．（2024·全国·模拟预测）下列结论中错误的个数为（ ）
①（其中为自然对数的底数）；②；③；④（其中）．
A．0B．1C．2D．3
7．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，，其中，分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数．设“函数的值域为”为事件A，“函数为偶函数”为事件B，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的图象关于轴对称B．函数的图象关于原点对称
C．函数在上是增函数D．函数的值域为
11．（2023·全国·模拟预测）已知（且），则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
三、填空题
12．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）由函数的观点，不等式的解集是 .
13．（2024高三·全国·专题练习）已知是方程的两个根，则
14．（2024·天津·一模）已知定义在上的函数满足，当时，.若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数的定义域为.
(1)求实数的取值范围；
(2)若，函数在上的最大值与最小值的和为，求实数的值.
16．（2023·陕西·模拟预测）已知函数．
(1)求及函数的定义域；
(2)求函数的零点．
17．（23-24高三上·湖北·期中）记是各项均为正数的数列的前项积，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
18．（2023高三·全国·专题练习）设函数的定义域为D，若命题p：“，”为假命题，则a的取值范围是?
19．（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）（1）已知函数，若对，使得，求实数的取值范围；
（2）若命题：函数（且）在区间内单调递增是真命题，求的取值范围.
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．a，b的大小无法判断
2．（2024·湖南岳阳·二模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2024·陕西西安·一模）已知函数，若满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三下·江西·开学考试）142857被称为世界上最神秘的数字，，所得结果是这些数字反复出现，若，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高三上·山东日照·阶段练习）已知函数，则不等式成立的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．（2024高三·全国·专题练习）（多选）若实数a，b满足lg3a＜lg3b，则下列各式一定正确的是（ ）
A．3a＜3bB．（）a－b＞1
C．ln （b－a）＞0D．lga3＜lgb3
7．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知实数a，b满足，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．D．
三、填空题
8．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知正实数满足：，则与大小关系为 .
9．（2022·全国·模拟预测）已知数列的通项公式为，若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前2022项的和为 ．
四、解答题
10．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)当，，解关于的不等式.
11．（2023·上海·模拟预测）已知.记，其中常数m，.
(1)证明：对任意m，，曲线过定点；
(2)证明：对任意s，，；
(3)若对一切和一切使得的函数，恒成立，求实数的取值范围.
a>1
0