新高考数学一轮复习核心考点+提升练习考点11指数与指数函数（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习核心考点+提升练习考点11指数与指数函数（2份，原卷版+解析版），共8页。
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
【知识点】
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子eq \r(n,a)叫做 ，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)(eq \r(n,a))n＝ .
当n为奇数时，eq \r(n,an)＝ ，
当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：＝ ＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是 .
(2)指数函数的图象与性质
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
【核心题型】
题型一 指数幂的运算
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【例题1】（2024·广东·模拟预测）若，则 ．
【变式1】（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，则 ．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数则 ．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：
（1） =
（2）（=
（3 设，则的值为
题型二 指数函数的图象及应用
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
【例题2】（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝lga（x＋）（a＞0，且a≠1）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高三下·江西·开学考试）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知函数，，在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
题型三 指数函数的性质及应用
(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
命题点1 比较指数式大小
【例题3】（2024·甘肃武威·模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）若，则有（ ）
A．B．
C．D．
命题点2 解简单的指数方程或不等式
【例题4】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（ ）
A．B．2C．3D．
【变式1】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023·山东菏泽·三模）已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
命题点3 指数函数性质的综合应用
【例题5】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【变式1】（23-24高三上·广东茂名·阶段练习）若函数的图象恒经过定点．
(1)求的值；
(2)当在上是增函数，求a的范围．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【变式3】（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知不等式.
(1)求不等式的解集；
(2)若当时，不等式 总成立，求的取值范围.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2024·四川绵阳·二模）的展开式中，x的系数为（ ）
A．B．C．5D．10
2．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（23-24高三上·广东梅州·期中）计算：（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）小明同学对函数且进得研究，得出如下结论，其中正确的有（ ）
A．函数的定义域为B．函数有可能是奇函数，也有可能是偶函数
C．函数在定义域内单调递减D．函数不一定有零点
6．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．当时，为奇函数
D．当时，
三、填空题
7．（2023·上海金山·一模）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 .
8．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则 ，函数的值域为 .
四、解答题
9．（2024高三·全国·专题练习）画下列函数图像
(1)；
(2).
10．（2024高三·全国·专题练习）化简：
(1)；
(2)
11．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，.
(1)若存在，使得成立，求实数的取值范围；
(2)若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
12．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数，，，其中均为实数.
(1)若函数的图像经过点，，求的值;
(2)如果函数的定义域和值域都是，求的值.
(3)若满足不等式，且函数在区间上有最小值，求实数a的值.
综合提升练
一、单选题
1．（2023·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知为奇函数，则（ ）
A．B．C．2D．-2
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江苏南通·二模）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江西南昌·三模）设函数，，若存在实数满足：①；②，③，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数且的图象恒过定点，若且，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
7．（23-24高三上·云南楚雄·期末）设的小数部分为x，则（ ）
A．1B．C．2D．
8．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）下列结果正确的是（ ）
A．B．
C． D．
二、多选题
9．（2024·广西柳州·三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高三上·浙江温州·期末）已知函数，则（ ）
A．不等式的解集是
B．，都有
C．是R上的递减函数
D．的值域为
11．（22-23高三上·河北邯郸·期中）设函数f(x)＝，则下列结论正确的是（ ）
A．|f(x)|是偶函数B．-f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数
三、填空题
12．（2024·北京房山·一模）若对任意，函数满足，且当时，都有，则函数的一个解析式是 ．
13．（2024·全国·模拟预测）已知，，则 ．
14．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则正实数的取值范围是 .
四、解答题
15．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）求值或化简
(1)计算：；
(2)化简（用分数指数幂表示）：
16．（2023高三·全国·专题练习）已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
17．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，函数．
(1)求的值；
(2)记集合，集合，若，求实数的取值范围．
18．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）解不等式：
(1)．
(2)．
19．（23-24高三下·全国·自主招生），求
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·陕西西安·一模）已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，，且，则（ ）
A．，，B．，，
C．D．
5．（2024·全国·模拟预测）若，x，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
二、多选题
6．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024高三·全国·专题练习）下列大小关系正确的是．（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
8．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）函数的最小值为 .
四、解答题
9．（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知函数．
(1)若函数的值域为，求的取值范围；
(2)若过点可以作曲线的两条切线，求的取值范围．
10．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数，.
(1)若的值域为，求满足条件的整数的值；
(2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围.a>1
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