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新高考数学一轮复习讲练测课件第8章§8.10圆锥曲线中求值与证明问题 (含解析)
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这是一份新高考数学一轮复习讲练测课件第8章§8.10圆锥曲线中求值与证明问题 (含解析)，共60页。PPT课件主要包含了题型一，求值问题，思维升华，题型二，证明问题，课时精练，基础保分练，因为BE⊥BF，综合提升练，设Nx2y2等内容，欢迎下载使用。
(1)求l的斜率；[切入点：kAP＋kAQ＝0](2)若tan∠PAQ＝ ，求△PAQ的面积.[关键点：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]
求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解.
(1)求椭圆C的方程；
设点M(x1，y1)，P(x0，x0＋2)，易知B(0，－1)，A(0,1)，
(3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上(不包括端点O，A)，直线NA与直线BM交于点P，求 的值.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为y＝x＋t，其中0
由抛物线C的焦点F在x轴上，点A在第一象限，可知抛物线开口向右.设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，
可得|y|＝p，由|AB|＝2p＝4，得p＝2，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.
(2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点.
由(1)可知A(1,2)，B(1，－2).设直线l1的方程为x＝my＋1，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
所以直线AM，BN和l相交于一点.
圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
(1)求椭圆T的方程；
∴(0,1)必在椭圆上，
(2)动直线y＝ x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
∴|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，∴b＝c，
解得a2＝2，b2＝1，
∵F(1,0)，设lAB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2.(2022·郑州模拟)如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B.
(1)证明：直线BC∥x轴；
由抛物线的性质可得焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，
设直线AB的方程为x＝my＋2，
所以yC＝y2，所以BC∥x轴.
(2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF.证明：||AF|－|BF||＝8.
因为准线方程为x＝－2，由题意可得E(－2,0)，
|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，所以可证||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝8.
(1)求椭圆C的标准方程；
由题意可知A(－a,0)，B(a,0)，设M(x1，y1)，显然－b≤y1≤b，
(2)设直线AM与定直线x＝t(t>2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值.
由(1)可知F(1,0)，A(－2,0)，B(2,0)，由题意可知直线l的斜率不为零，所以设直线l的方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立，
因为k1，k0，k2成等差数列，
把x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入，化简得6my1y2＝(t＋5)(y1＋y2)＋(2t－8)y2，
又c2＝a2＋b2，③
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程，整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，
设点M的坐标为(xM，yM)，
又y1－y2＝(kx1＋t)－(kx2＋t)＝k(x1－x2)，
又y1＋y2＝(kx1＋t)＋(kx2＋t)＝k(x1＋x2)＋2t，
若选择①②：因为PQ∥AB，
所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.
若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，
解得k＝m，因此PQ∥AB.若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
设AB的中点为C(xC，yC)，
因为|MA|＝|MB|，所以M在AB的垂直平分线上，
(1)求l的斜率；[切入点：kAP＋kAQ＝0](2)若tan∠PAQ＝ ，求△PAQ的面积.[关键点：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]
求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解.
(1)求椭圆C的方程；
设点M(x1，y1)，P(x0，x0＋2)，易知B(0，－1)，A(0,1)，
(3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上(不包括端点O，A)，直线NA与直线BM交于点P，求 的值.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为y＝x＋t，其中0
由抛物线C的焦点F在x轴上，点A在第一象限，可知抛物线开口向右.设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，
可得|y|＝p，由|AB|＝2p＝4，得p＝2，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.
(2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点.
由(1)可知A(1,2)，B(1，－2).设直线l1的方程为x＝my＋1，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
所以直线AM，BN和l相交于一点.
圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
(1)求椭圆T的方程；
∴(0,1)必在椭圆上，
(2)动直线y＝ x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
∴|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，∴b＝c，
解得a2＝2，b2＝1，
∵F(1,0)，设lAB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2.(2022·郑州模拟)如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B.
(1)证明：直线BC∥x轴；
由抛物线的性质可得焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，
设直线AB的方程为x＝my＋2，
所以yC＝y2，所以BC∥x轴.
(2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF.证明：||AF|－|BF||＝8.
因为准线方程为x＝－2，由题意可得E(－2,0)，
|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，所以可证||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝8.
(1)求椭圆C的标准方程；
由题意可知A(－a,0)，B(a,0)，设M(x1，y1)，显然－b≤y1≤b，
(2)设直线AM与定直线x＝t(t>2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值.
由(1)可知F(1,0)，A(－2,0)，B(2,0)，由题意可知直线l的斜率不为零，所以设直线l的方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立，
因为k1，k0，k2成等差数列，
把x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入，化简得6my1y2＝(t＋5)(y1＋y2)＋(2t－8)y2，
又c2＝a2＋b2，③
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程，整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，
设点M的坐标为(xM，yM)，
又y1－y2＝(kx1＋t)－(kx2＋t)＝k(x1－x2)，
又y1＋y2＝(kx1＋t)＋(kx2＋t)＝k(x1＋x2)＋2t，
若选择①②：因为PQ∥AB，
所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.
若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，
解得k＝m，因此PQ∥AB.若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
设AB的中点为C(xC，yC)，
因为|MA|＝|MB|，所以M在AB的垂直平分线上，
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