新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第3章3.7利用导数研究函数的零点（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第3章3.7利用导数研究函数的零点（含答案解析），共5页。
1．设函数f(x)＝eq \f(x2,2)－kln x，k>0.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，eq \r(e)]上仅有一个零点．
2．(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)，f(x)的导函数为f′(x)．
(1)讨论f(x)的极值点的个数；
(2)当a＝2时，方程f(x)＋f′(x)＋m＝0(m∈R)有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
3．(2024·渭南模拟)已知函数f(x)＝xsin x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))).
(1)求f(x)在(0，π)上的单调区间；
(2)设g(x)＝x2＋4－4f(x)，试判断g(x)在[0，＋∞)上的零点个数，并说明理由．
4．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ax－eq \f(1,x)－(a＋1)ln x.
(1)当a＝0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
§3.7 利用导数研究函数的零点
1．(1)解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
由f(x)＝eq \f(x2,2)－kln x(k>0)，
得f′(x)＝x－eq \f(k,x)＝eq \f(x2－k,x).
由f′(x)＝0，解得x＝eq \r(k)(负值舍去)．
f′(x)与f(x)在区间(0，＋∞)上随x的变化情况如下表．
所以f(x)的单调递减区间是(0，eq \r(k))，单调递增区间是(eq \r(k)，＋∞)．
f(x)在x＝eq \r(k)处取得极小值f(eq \r(k))＝eq \f(k1－ln k,2)，无极大值．
(2)证明 由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(eq \r(k))＝eq \f(k1－ln k,2).
因为f(x)存在零点，所以eq \f(k1－ln k,2)≤0，从而k≥e，
当k＝e时，f(x)在区间(1，eq \r(e)]上单调递减且f(eq \r(e))＝0，
所以x＝eq \r(e)是f(x)在区间(1，eq \r(e)]上的唯一零点；
当k>e时，f(x)在区间(1，eq \r(e)]上单调递减且f(1)＝eq \f(1,2)>0，f(eq \r(e))＝eq \f(e－k,2)0}，f′(x)＝eq \f(1,x)＋a.
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)无极值点；
当a5－ln 2，即m1满足条件，
当0