新高考数学一轮复习必刷题专练 小题13　立体几何（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习必刷题专练 小题13　立体几何（含答案解析），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．(2024·洛阳模拟)如图，△O′A′B′是△OAB的直观图，则△OAB是( )
A．正三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能
2．下列四个命题中，正确的是( )
A．各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱
B．对角面是全等矩形的六面体一定是长方体
C．有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
D．长方体一定是直四棱柱
3．从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等于1，则满足条件的直线可能有( )
A．0条或1条 B．0条或无数条
C．1条或2条 D．0条或1条或无数条
4．(2023·徐州模拟)圆柱形玻璃杯中盛有高度为10 cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为( )
A.eq \f(20,3) cm B．15 cm
C．10eq \r(3) cm D．20 cm
5．(2024·泉州模拟)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则α⊥β的充分条件是( )
A．m∥α，n∥β，m⊥n
B．m⊥α，n∥β，m⊥n
C．m⊥α，n⊥β，m⊥n
D．m⊂α，n⊂β，m⊥n
6.某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示)．若该同学所画的椭圆的离心率为eq \f(1,2)，则“切面”所在平面与底面所成的角为( )
A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,3)
7．(2023·朝阳模拟)如图，圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和底面均相切．已知圆台的下底面圆心为O1，半径为r1，圆台的上底面圆心为O2，半径为r2(r1>r2)，球的球心为O，半径为R，记圆台的表面积为S1，球的表面积为S2，则eq \f(S1,S2)的可能取值为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(3,2) C.eq \f(π,3) D.eq \f(4,3)
8．(2023·北京模拟)在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA＝VB＝VC＝1(单位：dm)，小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积(单位：dm2)的最大值是( )
A.eq \f(1,4) dm2 B.eq \f(\r(2),4) dm2
C.eq \f(\r(3),4) dm2 D.eq \f(3,4) dm2
二、多项选择题
9．(2023·潍坊模拟)某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则( )
A．R＝3r B．R＝6r
C．V2＝9V1 D．2V2＝27V1
10．(2023·昌吉模拟)正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则下列说法正确的是( )
A．该正六棱台的上底面积是6eq \r(3) cm2
B．该正六棱台的侧面积是15 cm2
C．该正六棱台的表面积是(60eq \r(3)＋24eq \r(21))cm2
D．该正六棱台的高是3 cm
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分别是B1C1，CC1，AB的中点，则下列说法正确的是( )
A．MN＝eq \f(1,2)EF
B．MN≠eq \f(1,2)EF
C．MN与EF异面
D．MN与EF平行
12．(2024·舟山模拟)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，D为AC的中点，则下列判断正确的是( )
A．C1D与BB1是异面直线
B．BD⊥A1C1
C．平面BDC1⊥平面ACC1A1
D．A1B1∥平面BDC1
三、填空题
13．(2023·榆林模拟)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AB，AD＝eq \r(3)AB，则tan∠APC＝________.
14.如图，已知PA⊥PB，PA⊥PC，∠ABP＝∠ACP＝60°，PB＝PC＝eq \r(2)BC，D是BC的中点，则AD与平面PBC所成角的余弦值为______．
15.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，点E是棱CC1上的一个动点，若平面BED1交棱AA1于点F，则四棱锥B1－BED1F的体积为________，截面四边形BED1F的周长的最小值为 ________.
16．青铜豆最早见于商代晚期，盛行于春秋战国时期，它不仅可以作为盛放食物的铜器，还是一件十分重要的礼器，图①为河南出土的战国青铜器——方豆，豆盘以上是长方体容器和正四棱台的斗形盖．图②是与主体结构相似的几何体，其中AB＝4，MN＝NF＝2，K为BC上一点，且eq \f(CK,BC)＝eq \f(1,3)，Z为PQ上一点．若DK⊥MZ，则eq \f(QZ,ZP)＝________；若几何体EFGH－MNPQ的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．
必刷小题13 立体几何
1．C 2.D 3.D 4.B
5．C [对于A，如图(1)，α∩β＝l，m⊥l，n∥l，则满足m∥α，n∥β，m⊥n，平面α与β不一定垂直，故A错误；
对于B，如图(2)，α∩β＝l，n∥l，m⊥α，则满足n∥β，m⊥n，平面α与β不一定垂直，故B错误；
对于C，如图(3)，m⊥α，n⊥β，m⊥n，在直线m，n上取两个向量eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))分别为平面α，β的法向量，且eq \(BA,\s\up6(→))⊥eq \(DC,\s\up6(→))，则α⊥β，故C正确；
对于D，如图(4)，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m⊥l，n∥l，则m⊥n，平面α与β不一定垂直，故D错误．]
6．B [设椭圆与圆柱的轴截面如图所示，作DE⊥BC交BC于点E，则∠CDE为“切面”所在平面与底面所成的角，设为θ.
设底面圆的直径为2r，则CD为椭圆的长轴2a，短轴为2b＝DE＝2r，
则椭圆的长轴长2a＝CD＝eq \f(2r,cs θ)，
即a＝eq \f(r,cs θ)，
所以椭圆的离心率为e＝eq \f(1,2)＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \r(1－\f(r2,\f(r2,cs2θ)))＝sin θ，
所以θ＝eq \f(π,6).]
7．A [如图，作出圆台的轴截面，作DF⊥BC，垂足为F，由题意知圆O与梯形ABCD相切，则DC＝DE＋CE＝O2D＋O1C＝r2＋r1，
又DC＝eq \r(DF2＋FC2)
＝eq \r(4R2＋r1－r22)，
故eq \r(4R2＋r1－r22)＝r1＋r2，
化简可得R2＝r1r2，
则eq \f(S1,S2)＝eq \f(πr\\al(2,1)＋r\\al(2,2)＋πr1＋r2r1＋r2,4πR2)
＝eq \f(r\\al(2,1)＋r\\al(2,2)＋r1r2,2r1r2)＝eq \f(r\\al(2,1)＋r\\al(2,2),2r1r2)＋eq \f(1,2)
>eq \f(2r1r2,2r1r2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)(r1>r2，故取不到等号)，
由于eq \f(3,2)，eq \f(π,3)，eq \f(4,3)都不大于eq \f(3,2)，
故eq \f(S1,S2)的可能取值为eq \f(π,2).]
8．B [根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC分别交VA，VC于点F，E，
在平面VBC内，过点E作EQ∥VB交BC于点Q，
在平面VAB内，过点F作FD∥VB交AB于点D，连接DQ，如图所示，
因为EF∥AC，
所以△VEF∽△VCA，设其相似比为k，
则eq \f(VF,VA)＝eq \f(VE,VC)＝eq \f(EF,AC)＝k,0