四川省广元市旺苍县2026年春九年级学业水平第三次诊断测试数学试卷

这是一份四川省广元市旺苍县2026年春九年级学业水平第三次诊断测试数学试卷，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意，每小题3分，共30分)
1．若实数a的相反数是-4，则a等于（ ）
A．4B．- 4C．±4D．14
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．3a-2a=1B．2a2+3a2=5a4C．a−b2=a2−b2D．3a32=9a6
4．某同学对数据12，12，18，2m，25进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．众数B．中位数C．平均数D．方差
5．已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0的系数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则方程根的情况正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根B．无实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
6． 如图，在△ABC中，已知∠EFG+∠GDC=180°， ∠FED=∠C， ∠B=55°，则∠BED的度数是（ ）
A．135°B．125°C．115°D．75°
7．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于P点，若∠APB=120°.则 CDAB的值为（ ）
A．12B．14C．22D．32
8．《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.李三公家的店有多少间客房，来了多少位房客.下列解题方案：①设客房有x间，则 7x+7=9 (x-1)； ②设客人有y位，则 y−77=y9+1;③设客房有x间，客人有y位，则 {7x=y−7.9x=y+9. 正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个 D．3个
9． 如图①， Rt△ABC中， ∠A=90°，点D、E分别是边BA、BC的中点，动点P从点 C 出发，以每秒2(cm)的速度沿 C→A→D→E的方向运动，到达点E时停止.设点P运动x(s)时，△CPE的面积为y(cm2)，如图②是y关于x的函数图象，则图②中a，b的值分别是（ ）
A．2， 5B．2， 6C．4， 5D．4， 6
10． 二次函数 y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，那么过点M(2a+b， - c)和点 Nb2−4aca+b+c的直线一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题(把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分)
11．分解因式： (x-1)(x+2)-x-7=
12． 2026年，我国天问二号深空探测器按计划开启小行星探测任务，探测器往返星际飞行的总里程约720000000千米.其中数据720000000用科学记数法表示为 .
13．如图，在正五边形ABCDE中，连接AD， CE相交于点 F，则∠AFE的度数为 度.
14．如图，在数轴上点A表示原点，点C表示的数是-2， ∠ACB=90°且BC=1.以点A为圆心、AB长为半径画弧，交数轴原点左边于点 D，则点 D表示的数是 .
15．如图，过原点的直线与双曲线 y=kx交于B， C两点，点A在x轴上，且CO=CA，若 S△ABC=10,则k的值为 .
16．如图，四边形ABCD是菱形， BC=12，且∠B=120°， P为对角线AC上任意一点(不与C重合)，则 DP+12CP的最小值为 .
三、解答题(要求写出必要的解答步骤或证明过程.共96分)
17． 计算： 2tan60∘−2∣1−3∣+π+10−−12−2−−12026.
18．先化简，再求值： 1+2x+1÷x2+6x+9x+1,从-3，-1，3中选择合适的x的值代入求值.
19．我们在探究三角形中位线定理时，可以通过将三角形转化为平行四边形的方式来证明.如图，已知在△ABC中， D、E分别为AB、AC的中点.
（1）请在图中按要求完成尺规作图：在线段AC右侧作射线CF，使得∠ACF=∠BAC，射线CF交DE的延长线于点F(不要求写作法，保留作图痕迹)；
（2）在(1)所作的图形中，求证： DE‖BC,DE=12BC.
20．某社区开展了“志愿者时长星级评定”活动，随机抽取部分居民的评定结果统计如下，结果分为四个等级：A级为五星志愿者，B级为四星志愿者，C级为三星志愿者，D级为一星志愿者，统计结果如图所示.根据不完全统计图中的信息解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的总人数，并补全条形统计图；
（2）若该社区共有1350名居民参与评定，请估计该社区能获得五星、四星等级的志愿者共有多少人?
（3）本次评定中排名前五的居民里，有两名女生、三名男生，现从中随机抽取两人分享心得，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两人恰好是一男生一女生的概率.
21．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行120海里至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向.
（1）求∠ACB的度数；
（2）若该船从C港直接返回A港，航速为20海里/小时，求返回大约所需的航行时间.(参考数据： 2≈1.414, 3≈1.732,6≈2.449, 结果精确到0.1小时)
22．某校为保障化学实验课正常开展，决定采购托盘天平和铁架台两种常用实验器材.市场调查发现购买3套托盘天平和2套铁架台共需260元；购买2套托盘天平和3套铁架台共需240 元.
（1）求每套托盘天平和每套铁架台的费用；
（2）学校计划一次性购进两种实验器材共30套，采购总费用不超过 1500元，且托盘天平的数量不少于铁架台数量的一半.请设计最省钱的采购方案，并计算最低总费用.
23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， AC是⊙O的直径， DE∥AB交BC的延长线于点 E，CD 恰好平分∠ACE.
（1）求证： DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为 29,DE=5,求BC的长.
24． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4， 0)，点B的坐标是(0， 6)，点C为OB中点.将△ABC绕着点B顺时针旋转90°得到△A1BC1.
（1）反比例函数 y=kx的图象过点 C1，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过A、A1两点，求△ACA1的面积.
25．综合与探究
新定义：在平面内，若一个四边形有三个内角的度数相等，这个四边形叫做三等角四边形，这三个相等的内角称为该四边形的“同角”，第四个内角称为“异角”.
（1）如图①，在▱ABCD中， ∠B=135°，点E、F分别为边AB， BC上的动点，若四边形 BFDE为三等角四边形，求∠EDF 的度数；
（2）如图②，折叠平行四边形纸片ABCD，使顶点A，C分别落在边AB，BC上的点E，F处，折痕分别为DG，DH.求证：四边形 EBFD 是三等角四边形；
（3）如图③，在三等角四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C且∠A为锐角， AB=AD=8，求BC长的最大值.
26．如图，二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C(0， 6) ，顶点D坐标为(2，8)
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△ACM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出满足条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】C
10．【答案】B
11．【答案】(x-3)(x+3)
12．【答案】7.2×108
13．【答案】72
14．【答案】−5
15．【答案】-5
16．【答案】63
17．【答案】解：2tan60∘−2∣1−3∣+π+10−−12−2−−12026
=23−23+2+1−4−1
=-2
18．【答案】解：1+2x+1÷x2+6x+9x+1
=x+1+2x+1⋅x+1x+32
=x+3x+1⋅x+1x+32
=1x+3
∵x≠1，-3
∴x=3
原式 =1x+3=13+3=16
19．【答案】（1）解：如图，点F即为所作；
.
（2）证明：∵点E为AC中点，
∴{∠A=∠ECF,AE=EF,∠AED=∠FEC,
∴△AED≌△CEF(ASA)，
∴AD=CF,DE=EF=12DF,
∵点 D为AB边上的中点，
∴BD=AD， 即 BD=CF.
∵∠ACF=∠BAC，
∴BD∥CF，
∴四边形 DBCF 是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC，
∴DE‖BC,DE=12BC
20．【答案】（1）解：由题意可得， 总人数为 9÷20%=45 (人)，
C 级人数：45-3-21-9=12 (人)，
补充完整的条形统计图如图所示：
（2）解：由题意可得： 1350×3+2145=720(人)，
（3）解：树状图如下所示：
一共存在 20种等可能性结果，抽到的两人恰好是一男生一女生的结果有 12种，
∴抽到的一男生一女生的概率为 1220=35.
21．【答案】（1）解：过点C向正南作垂线得l3， 记A、B两处南北方向直线为l1、l2.
C港在A港北偏东20°方向，在 B港北偏西40°方向，
∵l1∥l2∥l3
∴∠ACB=20∘+40∘=60∘;
​​​​​​​
（2）解：由题意得， ∠CAB=65°-20°=45°， ∠ACB=60°， AB=120海里，
如图， 过点 B作BE⊥AC于 E，
∴∠AEB =∠CEB =90°，
在 Rt△ABE中， ∠ABE = 45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE=AB2=602海里，
在 Rt△CBE中， ∠ACB = 60°， tan∠ACB =BE，
∴CE=BEtan60∘=206海里，
∴AC=AE+CE=602+206海里，
602+206÷20=32+6≈6.7小时
答：从C港直接返回A港，大约需航行6.7小时.
22．【答案】（1）解：设每组托盘天平的单价是x元，铁架台的单价是y元，
依题意得： {3x+2y=2602x+3y=240, 解得： {x=60y=40
所以，托盘天平的单价是60元，铁架台的单价是40元.
（2）解：设购进托盘天平m套，则购进铁架台(30-m)套，
依题意得： {60m+40(30−m)≤1500①m≥12(30−m)②
解不等式①得： m≤15.
解不等式②得： m≥10.
∴m的取值范围为： 10≤m≤15，
∵采购总费用W =60m+40(30-m)=20m+1200， k = 20>0，
∴W随m的增大而增大，
∴当m = 10 时最省钱， 此时， 30-m=20， W=1400 元
∴安排采购10套托盘天平，20套铁架台，最低采购总费用1400元.
23．【答案】（1）证明：如图， 连接OD，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
∵DE∥AB，
∴∠DEB=180°-∠ABC=90°，
∵OC=OD，
∴∠1=∠3，
又∵CD平分∠ACE，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BE，
∴∠ODE=180°-∠DEB=90°，
又∵OD为半径，
∴DE为⊙O切线；
（2）解：延长DO交AB于点 F，
∵∠ODE=∠DEB=∠B=90°，
∴四边形 FDEB为矩形，
∴∠DFB=90°，即 OF⊥AB，
∵OF过圆心， BF=DE=5
∴AB=2BF=10，
∵⊙O的半径为 29,
∴在直角三角形ABC中，
BC=AC2−AB2=2292−102=4,
∴BC=4.
24．【答案】（1）解：∵点B的坐标是(0， 6)，点C为OB中点，
∴OB=6,BC=12BO=3,
将△ABC绕着点顺时针旋转90°得到△A1BC1，即 BC1=BC=3，
∠CBC1=90°，
∴C1(-3， 6)，
∵反比例函数 y=kx的图象经过点 C1，故将(-3，6)代入 y=kx,求得k=-18，
∴反比例函数的表达式为 y=−18x.
（2）解：如图作A1H⊥y轴于 H，
∵∠AOB=∠A1HB=∠ABA1=90°，
∴∠ABO+∠A1BH=90°， ∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠A1BH
∴在△AOB和△BHA1中
{∠BAO=∠A1BH∠AOB=∠A1HB,BA=BA1
∴△AOB≌△BHA1(AAS)，
∴OA=BH， OB=A1H，
∵OA=4， OB=6，
∴BH=OA=4， A1H=OB=6，
∴OH=BO-BH=2，
∴A1(-6， 2)，
过A1作A1G⊥x轴于 G，如图：
∴S△ACA1=S△AOC+S四边形A1GOC−S△AA1G
=12×4×3+12×2+3×6−12×2×6+4=11.
25．【答案】（1）解：如图，
∵四边形 BFDE为三等角四边形，∠B=135°，四边形 BFDE的内角和为360°
∴∠B为“异角”，
∴∠EDF=13360∘−135∘=75∘;
（2）解：如图②，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
由折叠可知， ∠DEG=∠A，
∵∠DEB+∠DEG=180°，
∴∠DEB+∠A=180°，
∴∠B=∠DEB；
同理， ∠B=∠DFB，
∴∠B=∠DEB=∠DFB，
∴四边形 DEBF是三等角四边形.
（3）解：如图，过点D作DE∥BC， DF∥AB，
∴四边形 EBFD是平行四边形， ∠AED=∠B=∠DFC，
∴DF=BE， DE=FB，
∵DA=DE=BF=8，EB=DF=DC，
设 DC=EB=x， BC=y，
∴CF=BC-BF=y-8， AE=AB-EB=8-x，
∵∠A=∠B=∠C， ∠AED=∠B=∠DFC，
∴△DFC∽△DAE，
∴DCDA=CFAE, 即： x8=y−88−x,
∴y=−18x2+x+8=−18x−42+10,
∵−18