新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第01章专题02 常用逻辑用语（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc136520626" 题型二： 求参数取值范围 PAGEREF _Tc136520626 \h 7
\l "_Tc136520627" 题型三： 全称量词命题和存在量词命题 PAGEREF _Tc136520627 \h 10
\l "_Tc136520628" 题型四： 全称量词和存在量词参数的取值范围 PAGEREF _Tc136520628 \h 13
\l "_Tc136520629" 题型五： 综合运用 PAGEREF _Tc136520629 \h 15
知识点总结
充分条件、必要条件与充要条件
全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个、每一个、一切等，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个、至少有一个、有些、有一个、 有的、某一个等，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为∀x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为∃x∈M，p(x)．
含有一个量词的命题的否定
注意
含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题；对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其进行否定.
【常用结论与知识拓展】
1.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q，且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q，且q⇐r”⇒“p⇐r”)．若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同．
3.从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A eq \(⊆,/)B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
4.等价转化法判断充分条件、必要条件：p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．
5.命题p和p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．
6.常用的正面叙述词语和它的否定词语
7.数学定义、判定定理和性质定理与充分、必要、充要条件的关系
(1)每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件．
(2)每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
(3)每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
例题精讲
充要条件
【要点讲解】
确定谁是条件，谁是结论；尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则条件就不是结论的充分条件；尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件是结论的必要条件，否则条件就不是结论的必要条件。
设，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当时，必定有成立，故充分性成立；
当时，可得或，故必要性不成立．
故选：．
已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：对于命题，为方程的根，则，充分性成立；
对于命题，且，则必是题设方程的一个根，必要性成立；
所以是的充分必要条件．
故选：．
设，是向量，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若“”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；
若“”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；
故“”是“”的既不充分也不必要条件；
故选：．
设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由“”得，
由得或，
即“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
若x，y∈R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．|x|＞|y|B．x2＞y2C．D．2x﹣y＞2
【解答】解：由|x|＞|y|，x2＞y2推不出x＞y，排除AB；
由可得，解得x＞y＞0或x＜y＜0，
所以是x＞y的既不充分也不必要条件，排除C；
，反之不成立，D正确；
故选：D．
设，为两条直线，则的充要条件是
A．，与同一个平面所成角相等
B．，垂直于同一条直线
C．，平行于同一个平面
D．，垂直于同一个平面
【解答】解：对于，如图示：
，与平面所成角都为，但，相交，故错误，
对于，如图示：
，都垂直于轴，但，相交，故错误，
对于，如图示：
，都在上底面与下底面平行，但，相交，故错误，
对于，由，得，垂直于同一个平面，是充分条件，
反之，若，垂直于同一个平面，则，是必要条件，
故选：．
不等式成立的一个充分不必要条件是
A．B．，C．D．，
【解答】解：不等式解得，时，一定有，，而，时，不一定满足，
所以不等式成立的一个充分不必要条件是，
故选：．
复数是纯虚数的充分不必要条件是
A．且B．C．且D．
【解答】解：因为复数是纯虚数的充要条件是且，
又因为且是且的充分不必要条件，
所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件．
故选：．
求参数取值范围
【要点讲解】
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围的四个步骤：化简两命题；根据与的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系；利用集合间的关系建立不等式；求解参数范围
已知；，若是的充分条件，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：由题意可得，即，解得；
是的充分条件，
，
解得．
故选：．
已知集合，，，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是
A．，B．，C．D．，
【解答】解：集合，，，，“”是“”的充分不必要条件，
则，解得，
故的取值范围为，．
故选：．
已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为
A．，B．，C．D．
【解答】解：由题意集合，，，
若，则，此时，
因为“”是“”的必要不充分条件，故，
故，；
若，则，此时，
因为“”是“”的必要不充分条件，故，
故，；
若，则，此时，满足，
综合以上可得，
故选：．
若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是 ， ．
【解答】解：由题意可知，
当，即时，集合，满足题意，
当，即时，集合或，
，
，
解得，
综上所述，的取值范围是，．
故答案为：，．
若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 ．
【解答】解： “”是“”的充分条件，，，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）当时，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，
，
又或，
．
（2）当时，，
是的充分条件，，
或，
或，又，
，
实数的取值范围为，．
全称量词命题和存在量词命题
【要点讲解】
要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每个元素验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要举出集合中的一个，使得不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”，要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合Ｍ中，找到一个，使成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题。提醒：判断全称量词命题为假，只需举一个反例即可；判断存在量词命题为真，只需举一个特例
命题“，”的否定是
A．B．
C．，D．
【解答】解：由题意可得，“，”的否定是．
故选：．
命题：“，”的否定是 ， ．
【解答】解：由全称命题的否定为特称命题知，原命题的否定为，．
故答案为：，．
已知命题，，则为
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：全称命题的否定为特称命题，改变量词，否定结论即可．
即，，
故选：．
下列关于命题的说法错误的是
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件
C．若命题，，则，
D．命题“，”是真命题
【解答】解：因为命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，所以正确；
由能得到函数在区间上为增函数，反之，函数在区间上为增函数，不一定大于2，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，所以选项正确；
命题，，的否定为，，所以选项正确；
因为当时恒有，所以命题“，”为假命题，所以不正确．
故选：．
下列命题中，真命题是
A．存在，使得
B．对任意，
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“或是假命题”是“非为真命题”的必要而不充分条件
【解答】解：对于时，，故错误；
对于，故正确；
对于：“”是“”的必要不充分条件，故错误；
对于或是假命题”是“非为真命题”的充分不必要条件，故错误；
故选：．
已知，，命题，，命题，使得，则下列说法正确的是
A．是真命题，，
B．是假命题，，
C．是真命题，，
D．是假命题，，
【解答】解：，由得，由得，
即当时，函数取得极小值，同时也是最小值，
，成立，即是真命题．
在上为增函数，当时，，（1），
则：，使得成立，即命题是真命题．
则，，
，，
综上只有成立，
故选：．
全称量词和存在量词参数的取值范围
【要点讲解】
要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每个元素验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要举出集合中的一个，使得不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”，要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合Ｍ中，找到一个，使成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题。提醒：判断全称量词命题为假，只需举一个反例即可；判断存在量词命题为真，只需举一个特例
已知命题“，，”为真命题，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：因为命题“，，”为真命题，
所以命题“，，”为真命题，
所以，时，，
因为，
所以当，时，，当且仅当时取得等号，
所以，时，，
即实数的取值范围是．
故选：．
若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为 ， ．（用区间表示）
【解答】解：因为，即函数的值域为，，
所以实数的取值范围为，．
故答案为：，．
已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：若，为真命题，等价于，
，当且仅当时，等号成立，
，即，
可得，故实数的取值范围是．
故答案为：．
已知，．若为假命题，则的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：因为为假命题，所以，为真命题，
故当时，恒成立．
因为当时，的最小值为，
所以，即的取值范围为．
故选：．
已知命题，，若为假命题，求实数的取值范围 ， ．
【解答】解：依题意，命题，是假命题，
所以，是真命题，
当时，不等式化为，成立，
当时，不等式化为，，不成立．
当时，不等式化为，成立，
综上所述，的取值范围是，．
故答案为：，．
设命题，．若是假命题，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：是假命题，是真命题，
命题，，
，，，
设，则，在，上单调递增，
，
，
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
综合运用
【要点讲解】
在一些逻辑问题中，当题中并未出现“或”“且”“非”时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题
已知函数且函数，则下列选项正确的是
A．点是函数的零点
B．，，使
C．函数的值域为
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是，
【解答】解：对于选项，零点不是一个点，应该说是函数的零点，故选项错误．
对于选项，当时，，
由可得；由可得．
所以在上单调递减，在单调递增，
所以时，单调递增，则；
当时，，
由可得；由可得．
所以在上单调递减，在上单点递增．
所以时，单调递减，则；
所以，，使，
故选项正确．
对于选项，由选项可得在上单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
又
，则的值域为，
故选项正确．
对于选项，，
若，则．
则关于的方程有两个不相等的实数根，
有两个不相等的实数根，
有一个非零实数根，
函数与有一个交点，且．
当时，，
可以解得在上单调递增，上单调递减，上单点递增，
所以极大值，极小值；
当时，，
可以解得在上单调递减，在单调递增，
极小值．
画出函数的大致图像如下：
由图像可得，只需或，
即的取值范围为，故正确．
故选：．
设，则对任意实数是的
A．充分必要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：，的定义域为
．
是奇函数
在上是增函数
在上是增函数
可得
（a）（b）
（a）（b）成立
若（a）（b）则（a）（b）由函数是增函数知
成立
是（a）（b）的充要条件．
故选：．
已知函数，，若存在，使得，则的取值范围是
A．，B．，，
C．D．，，
【解答】解：当时，，即，则的值域为，，
当时，，即，则的值域为，，
若存在，使得，
则，，，
若，，，
则或，
得或，
则当或，，时，，
即实数的取值范围是，，
故选：．
已知集合，函数．
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若命题“存在，使得”为假命题，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）不等式整理得，即，
若，则解集为，，（2分）
若，则解集为，．（4分）
（2），
命题“存在，使得”的否定为：
“对任意的，，均有成立”为真命题，（6分）
即，只需，（8分）
当时，，所以，即．（10分）
课后练习
（2023•南充模拟）“”是“”的 条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【解答】解：当“”时，“”不成立，
当“”时，整理得：，故“”成立，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
（2023•广东模拟）“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【解答】解：“” “”，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：．
（2023•郑州模拟）已知第一象限内的动点在直线的左下方，则是恒成立的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为第一象限内的动点在直线的左下方，
所以、且，
若恒成立，即恒成立，
因为，
当且仅当时取等号，所以，
所以是恒成立的充分不必要条件．
故选：．
（2023春•郫都区校级期中）“”是“直线与直线平行”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若直线与直线平行，
则，解得，
因此，“”是“直线与直线平行”的充要条件．
故选：．
（2023•温州模拟）“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：设，则，即是增函数，
则时，，即，
即“”是“”的充要条件，
故选：．
（2023•日照二模）已知，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为定义域上单调递减，
故由得，而定义域上单调递增，故，满足充分性；
又，满足必要性，
故选：．
（2023•青羊区校级模拟）已知，则“”是“有两个不同的零点”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若有两个不同的零点，则△，解得或，
所以“”是“有两个不同的零点”的充分不必要条件．
故选：．
（2023•遂宁模拟）下列说法不正确的是
A．若，则
B．命题，，则，
C．回归直线方程为，则样本点的中心可以为
D．在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的充要条件
【解答】解：对于选项，因为，所以，所以，故正确；
对于选项，根据命题的否定的定义，，，故错误；
对于选项，把代入，得，
所以样本点的中心可以为，故正确；
对于选项，当时，根据三角形中大边对大角，得，
再根据正弦定理得，所以；
当时，根据正弦定理，得，
即，又，所以，
由正弦定理得，，所以．
所以“”是“”的充要条件，故正确．
故选：．
（2023春•浙江期中）下列说法正确的是
A．“”是“”的充分不必要条件
B．在中，“”是“”的充要条件
C．在中，“”是“”的必要不充分条件
D．“”是“”的充分不必要条件
【解答】解：对于：当，时，有，
由“”推不出“”，
当时，可得，
由“”可以推出“”，
“”是“”的必要不充分条件，故错误．
对于中，，，且在，上是减函数， “”是“”的充要条件，正确；
对于中，一方面，因为，所以，
由正弦定理可知：；
另一方面，由，
所以在中，是的充要条件，不正确；
对于或，而或，
故“”是“”的充分不必要条件，正确．
故选：．
（2022秋•南充期末）命题“，，”是真命题的一个必要不充分条件是
A．B．C．D．
【解答】解：依题意，命题“，，”是真命题，
所以对任意，上恒成立，所以，
其必要不充分条件是或．
故选：．
（2022秋•历下区校级期末）已知命题，，若为真命题，则实数的值可以是
A．B．0C．D．
【解答】解：因为，为真命题，所以方程有实根．
当时，符合题意；
当时，由方程有实根，可得△，所以．
综上，实数的值可以是，0和．
故选：．
（2022•商水县校级开学）下列命题是真命题的是
A．若设函数的图象过点，则
B．，
C．，
D．命题“，”的否定是“，”
【解答】解：对于，若幂函数过点，，则，解得，故错误；
对于，在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图，
由图可知，，故正确；
对于，取，得，故错误；
对于，根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“，”的否定为：
“，”，故正确．
故选：．
（2022秋•徐汇区校级月考）若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是 ， ．
【解答】解：由可得，
由于“”是“”的充分非必要条件，
所以．
故答案为：，．
（2022秋•大通县期末）已知命题，，则为 ， ．
【解答】解：命题，，
则为，．
故答案为：，．
（2022秋•开福区校级期末）命题“，”的否定是 ， ．
【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题“，”的否定是：，．
故答案为：，．
（2023•当涂县校级开学）设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ， ．
【解答】解：命题，
则，解得，
命题，
是的充分不必要条件，
则表示的集合是表示集合的真子集，即，解得，
故实数的取值范围是，．
故答案为：，．
（2021秋•和平区校级期末）设全集是，集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）条件，条件，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）若，
当时，，解得，
当时，，解得，
综合得，
（2）条件，条件，若是的充分不必要条件，
则，
且等号不能同时成立，
解得．
（2023•大荔县一模）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）当时，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）当时，
，
又或，
．
（2）当时，，
是的充分条件，，
或，
或，又，
，
实数的取值范围为，．
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q eq \(⇒,/)p
p是q的必要不充分条件
p eq \(⇒,/)q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p eq \(⇒,/)q且q eq \(⇒,/)p
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，
正面词语
等于(＝)
大于(>)
小于(