新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第01章专题04 基本不等式（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第01章专题04 基本不等式（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了常用的几个结论，应用基本不等式求最值要注意等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc136366173" 题型一： 直接利用基本不等式 PAGEREF _Tc136366173 \h 3
\l "_Tc136366174" 题型二： 拼凑法 PAGEREF _Tc136366174 \h 4
\l "_Tc136366175" 题型三： 常数代换 PAGEREF _Tc136366175 \h 4
\l "_Tc136366176" 题型四： 变量分离 PAGEREF _Tc136366176 \h 5
\l "_Tc136366177" 题型五： 消元法 PAGEREF _Tc136366177 \h 6
\l "_Tc136366178" 题型六： 和积转化 PAGEREF _Tc136366178 \h 7
\l "_Tc136366179" 题型七： 换元法 PAGEREF _Tc136366179 \h 7
\l "_Tc136366180" 题型八： 恒成立问题 PAGEREF _Tc136366180 \h 8
\l "_Tc136366181" 题型九： 应用题 PAGEREF _Tc136366181 \h 9
知识点总结
基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
算术平均数与几何平均数
给定两个正数a，b，数eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均数；数eq \r(ab)称为a，b的几何平均数．基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0.
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值，是2eq \r(P)(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值，是eq \f(S2,4)(简记：和定积最大)．
【常用结论与注意点】
1.常用的几个结论
(1)若x≠0，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))≥2，当且仅当x＝±1时，等号成立．
(2)若ab≠0，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立．
(3)若ab>0，x≠0，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ax＋\f(b,x)))≥2eq \r(ab)，当且仅当x＝±eq \r(\f(b,a))时，等号成立．
(4)若a>0，b>0，则eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))，当且仅当a＝b时，等号成立．
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
2.利用基本不等式求最值的两个常用结论
(1)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若ax＋by＝1，则有eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝(ax＋by)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝a＋b＋eq \f(by,x)＋eq \f(ax,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2.
(2)已知a>0，b>0，x>0，y>0，若eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)＝1，则有x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq \f(ay,x)＋eq \f(bx,y)≥a＋b＋2eq \r(ab)＝(eq \r(a)＋eq \r(b))2.
3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错．
4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
例题精讲
直接利用基本不等式
【要点讲解】利用基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)进行求解
的最小值为
A．2B．3C．4D．5
函数的最小值为
A．10B．15C．20D．25
已知，则的最小值为
A．B．2C．D．4
拼凑法
【要点讲解】拼凑法是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项、变系数、凑因式等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用不等式求得最值,拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.
已知，那么函数的最小值是
A．5B．6C．4D．8
若，则的最小值为
A．6B．8C．10D．12
已知函数，
A．有最小值B．有最大值
C．有最小值3D．有最大值3
设实数满足，函数的最小值为
A．B．C．D．6
已知，的最大值是 ．
常数代换
【要点讲解】注常数代换法就是将已知条件中的等式右边化为1,将所求式子乘以1,1再换成前面的等式即可,此法通常适合条件和所求的式子分别为整式和分式时,把所求的式子常构造成的形式.
已知实数，，，则的最小值为
A．100B．300C．800D．400
已知，，且，则的最大值为
A．B．C．D．
若正数，满足，则的最小值是
A．1B．C．9D．16
已知，，且，则的最小值为 ．
若正实数，满足，则
A．B．C．D．
若正数，满足，则的最小值是 ．
正实数，满足，则的最小值为 ．
已知正实数，满足，则的最小值为 ．
变量分离
【要点讲解】变量分离法就是把分式形式的函数分离出两项的和且其积是定值的形式,然后用基本不等式求最值.通常适合函数的模型是或
若，，，则的最大值为
A．B．C．D．
已知，则的最小值为 ．
若，，，则的最小值为 ．
已知，，，则的最小值为
A．B．12C．D．16
已知正实数，满足，且，则的最小值为 ．
已知，，则的最小值为 ．
消元法
【要点讲解】消元法就是将两个变元消去一个代入所求式,然后利用分离常数法求最值
已知，，且，则的最小值为 ．
若，，，则的最小值为 ．
已知，，满足，则的最小值是 ．
设，，若，则的最小值是 ．
和积转化
【要点讲解】和积转化法仅适用于将已知等式中的和或积通过基本不等式转化为所求式子中的和或积,然后解不等式以达到目的,此方法虽然没凑出定值,但凑出所求式子是其根本思想
已知，，，则的最小值是
A．3B．4C．D．
若实数，满足，则的最大值是 ．
若实数，满足：，，，则的最小值为
A．1B．2C．3D．4
已知，，，则的最小值为 ．
已知，，，则的最小值为 ．
已知正实数，满足，则的最小值为 ，的最大值为 ．
换元法
【要点讲解】换元法实质是把复杂问题简单化、陌生问题熟悉化、高次问题低次化
已知实数，满足，则的最大值为
A．B．C．D．
已知，都是正数，则的最小值是 ．
设正实数，满足，，则的最小值为 ．
已知实数，，，则的最小值是 ．
函数的最小值是 ．
恒成立问题
【要点讲解】大于最大，小于最小
若不等式对恒成立，则实数的最大值为
A．7B．8C．9D．10
已知，，若不等式恒成立，则的最大值为
A．9B．12C．16D．10
已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是
A．2B．4C．6D．8
若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
已知，，且，若不等式恒成立，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
应用题
某城市有一直角梯形绿地，其中，，．现过边界上的点处铺设一条直的灌溉水管，将绿地分成面积相等的两部分．
（1）如图①，若为的中点，在边界上，求灌溉水管的长度；
（2）如图②，若在边界上，求灌溉水管的最短长度．
如图，某生态园将一三角形地块的一角开辟为水果园种植桃树，已知角为，，的长度均大于200米，现在边界，处建围墙，在处围竹篱笆．
（1）若围墙，总长度为200米，如何围可使得三角形地块的面积最大？
（2）已知段围墙高1米，段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
课后练习
一．选择题（共8小题）
1．（2023•民勤县校级开学）函数的最小值为
A．6B．4C．2D．3
2．（2023春•高坪区校级期中）已知正数，满足，则的最小值为
A．B．2C．D．6
3．（2023•永定区校级开学）已知，则的最小值为
A．2B．3C．4D．5
4．（2022秋•深圳校级期末）若，，且，则的最小值为
A．B．C．D．
5．（2022秋•滨州期末）已知，，且，则的最小值为
A．6B．4C．2D．1
6．（2023•浙江模拟）已知，则的最小值为
A．8B．9C．10D．11
7．（2023春•鼓楼区校级期中）实数，满足，，则的最小值为
A．1B．2C．3D．4
8．（2022秋•吉水县校级期末）已知：，，，则下列说法正确的是
A．有最大值1B．有最小值1
C．有最大值4D．有最小值4
二．多选题（共4小题）
9．（2022秋•上城区校级期末）下列说法正确的是
A．若，则
B．若，则恒成立
C．若正数，满足，则有最小值
D．若实数，满足，则没有最大值
10．（2022秋•聊城期末）下列说法正确的是
A．已知，则的最小值为3
B．当时，的最小值为4
C．已知，，，，则的取值范围是，
D．已知，，，则的最小值为8
11．（2022秋•官渡区期末）已知，，且，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
12．（2023•南京二模）若实数，满足，则
A．B．C．D．
三．填空题（共4小题）
13．（2023•凯里市校级三模）正数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 ．
14．（2023•黄浦区模拟）若关于x的不等式x2+bx+c≥0（b＞1）的解集为R，则的最小值为 ．
15．（2023•崇明区二模）已知正实数、满足，则的最小值等于 ．
16．（2022秋•成都期末）已知实数，满足，则的最小值为 ．
四．解答题（共2小题）
17．（2022秋•定州市期中）已知正实数，满足．求
（1）的最小值；
（2）的最小值；
（3）的最小值．
18．（2022秋•川汇区校级期末）（1）已知，求取得最大值时的值？
（2）已知，求的最大值？
（3）函数的最小值为多少？