新高考数学二轮专题分层精练第27课 平面向量的基本定理及坐标表示（2份，原卷版+解析版）

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【一层练基础】
一、单选题
1．（2023春·江苏南通·高一金沙中学校考阶段练习）已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】判断两个向量是否共线即可确定两个向量是否能作为一组基底.
【详解】对于A，假设共线，则存在，使得，
因为不共线，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；
对于B，假设共线，则存在，使得，
即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；
对于C，因为，所以两向量共线，
不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设共线，则存在，
使得，
即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，
即假设不成立，也即不共线，则能作为基底，
故选:C.
2．（2023春·福建宁德·高一统考期中）在中，，，若点M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：A.
3．（2021春·广东广州·高一校联考期末）如图，在平行四边形中，，若，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件利用平面向量的线性运算求得关于的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值,进而得解.
【详解】,
又∵，不共线 ，
根据平面向量基本定理可得,
∴,
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量的基本运算和基本定理，属基础题，关键是根据已知条件利用平面向量的线性运算求得关于的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值.
4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设，向量，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量的坐标运算求得向量，再根据，将用表示，再根据平面向量的模的坐标表示结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】解：，
则，
由，得，则，
所以，
则，
当时，.
故选：D.
二、多选题
5．（2022·海南·校联考模拟预测）用下列，能表示向量的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】AB
【分析】根据题意，设，利用向量的坐标运算，得到关于的方程组，结合方程组的解，即可求解.
【详解】对于A中，设，可得，
则，方程组有无数组解，例如时，，所以A成立；
对于B中，设，可得，
则，解得时，，所以B成立；
对于C中，设，可得，
则，此时方程组无解，所以不能表示，所以C不成立；
对于D中，设，可得，
则，此时方程组无解，所以不能表示，所以D不成立.
故选：AB.
6．（2022·高一课时练习）已知向量，，则（ ）
A．B．
C．D．与的夹角为
【答案】BC
【分析】利用平面向量的坐标运算可判断A；利用平面向量的模长公式可判断B；利用平面向量垂直的坐标表示可判断C；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断D.
【详解】对于A，，A错；
对于B，，，则，B对；
对于C，，故，所以，，C对；
对于D，，，故，D错.
故选：BC.
7．（2023·全国·高一专题练习）已知，如下四个结论正确的是（ ）
A．；B．四边形为平行四边形；
C．与夹角的余弦值为；D．
【答案】BD
【分析】求出向量坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.
【详解】由，
所以，，， ,
对于A，，故A错误；
对于B，由，，则，
即与平行且相等，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：BD
【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.
三、填空题
8．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知平面向量，，若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】因为，，所以，
又，所以，解得．
故答案为：
9．（2019·天津·天津市宁河区芦台第一中学校考模拟预测）如图所示，等边的边长为2，为边上的一点，且，也是等边三角形，若，则的值是 .
【答案】
【分析】过点作,交边于，所以有,可以证出四边形是菱形,以为一组基底，计算出的值，根据，可以得出的值.
【详解】过点作,交边于，所以有,如下图所示：
和 都是等边三角形，所以可以证出四边形AEDF是菱形，故且
，所以
.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、平面向量加法的几何意义，考查了运算能力.
四、解答题
10．（2023春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）已知向量，，．
(1)若，求m的值；
(2)若，求m的值；
(3)若与夹角为锐角，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量平行坐标表示即可；
（2）由向量垂直坐标表示即可；
（3）由向量夹角为锐角可知且不同向，由此可构造不等式组求得的范围
【详解】（1）因为向量，，，
所以，解得；
（2）因为向量，，，
所以，解得；
（3）夹角为锐角，且不同向，，
解得：且，的取值范围为.
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】C
【分析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得．
【详解】由得，即，，
，
，
，
与同向的单位向量为，反向的单位向量为．
故选：C．
二、多选题
2．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）下列选项中正确的是（ ）
A．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为60°
B．设向量，，若，共线，则
C．若，，则在方向上的投影向量的坐标为
D．若平面向量，满足，则的最大值是5
【答案】BCD
【分析】对两边同时平方结合向量数量积的定义可判断A；由共线向量的坐标表示可判断B；由投影向量的定义可判断C；，结合余弦函数的值域可判断D.
【详解】解：A选项，由，以及，可得，
则，即，又，
所以夹角.
对于B，因为，，且，共线，
则解得.所以B正确.
C选项，在方向上的投影向量为
，故C正确，
对于D，因为，所以
所以的最大值是5，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题
3．（2023春·内蒙古乌兰察布·高一校考阶段练习）已知向量，，，，则与夹角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】设，根据向量共线和向量垂直的条件得到的值，进而得到向量的坐标，然后可求出夹角的余弦值．
【详解】设，则，
∵()∥，，
∴，即．
又，,
∴．
由，解得，
∴．
设的夹角为，则，
即夹角的余弦值为．
故答案为．
【点睛】本题考查向量的基本运算，解题时根据向量的共线和垂直的充要条件得到向量的坐标是关键，同时也考查转化和计算能力，属于基础题．
四、解答题
4．（2023春·四川遂宁·高三四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）已知.
（1）若三点共线，求实数的值；
（2）证明：对任意实数，恒有成立.
【答案】(1)-3；(2)证明见解析.
【详解】分析：（1）由题意可得，结合三点共线的充分必要条件可得.
（2）由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则可得，则恒有成立.
详解：（1），∵三点共线，
∴，∴.
（2），
∴，∴恒有成立.
点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，二次函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
【三层练能力】
一、多选题
1．（2022·重庆·统考模拟预测）已知平面内两个给定的向量，满足，，则使得的可能有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【答案】ABC
【分析】由给定条件用坐标表示、，利用向量模的坐标表示列出方程，再借助直线与圆的公共点个数即可判断作答.
【详解】因平面向量，满足，，在平面直角坐标系中，令，设，
由可得：，表示以点为圆心，1为半径的圆，
由得：，
整理得：，表示一条直线l，
依题意，同时满足直线l的方程和圆C的方程，因此直线l与圆C的公共点个数，即是向量的个数，
点C到直线l的距离
，
显然，当时，，直线l与圆C相交，有两个公共点，向量有2个，C满足；
当时，，直线l与圆C相切，有1个公共点，向量有1个，B满足；
当时，，直线l与圆C相离，没有公共点，不存在向量满足条件，即有0个，A满足.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.
二、多选题
2．（2023·浙江·高一专题练习）设为不共线的向量，满足，且，若，则的最大值为 ．
【答案】324
【分析】采用建系法，令，将各个点用坐标表示，然后表达出面积的最大值，进而求得的最大值；
【详解】令，又因为，
即，
则点C为的外心，因为，
设，不妨取
则点在圆上，
由，代入坐标，，
解得，
联立和，
解得，故
，
当且仅当即时取“=”.
故，于是
.
故答案为：324
【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．