新高考数学二轮专题分层精练第25课 正弦定理与余弦定理在实际中的应用（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题分层精练第25课 正弦定理与余弦定理在实际中的应用（2份，原卷版+解析版），共8页。
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中，，，则该平行四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先运用余弦定理求出，再求解出，从而解出平行四边形ABCD的面积.
【详解】解：设AC与BD交于点O，在中，
，
所以，
故平行四边形ABCD的面积．
故选：A．

2．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意有，可得，从而可得
【详解】由图1可得，又，
所以，所以，
所以，
该地的纬度约为北纬，
故选：．
3．（2022·全国·高三专题练习）设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米，50米．现欲在M，N之间架设高压电网，须计算M，N之间的距离．勘测人员在海平面上选取一点P，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为30°，45°，并从P点观测到M，N点的视角为45°，则M，N之间的距离为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】A
【分析】根据题意可得，，然后利用余弦定理即得.
【详解】如图，由题可知，
∴，，又，
∴，
∴（米）．
故选：A.
4．（2023春·全国·高一期中）如图，在ABC中，∠BAC=，点D在线段BC上，AD⊥AC，，则sinC=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在中利用正弦定理得结合平方关系求解即可
【详解】在中，，解得又 所以
故选：B.
二、多选题
5．（2023秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考开学考试）在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（ ）
A．，，则的外接圆半径是4
B．若，则
C．若，则一定是钝角三角形
D．若，则
【答案】BC
【解析】根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D.
【详解】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误；
由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；
因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；
若，显然，故D错误.
故选：BC
6．（2023·重庆·统考三模）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（ ）
A．a，b，B．，，
C．a，，D．，，b
【答案】ACD
【分析】由三角形全等的条件或者正、余弦定理即可判定.
【详解】法一、根据三角形全等的条件可以确定A、C、D三项正确，它们都可以唯一确定三角形；
法二、对于A项，由余弦定理可知，可求得，即A正确；
对于B项，知三个内角，此时三角形大小不唯一，故B错误；
对于C项，由正弦定理可知，即C正确；
对于D项，同上由正弦定理得，即D正确；
故选：ACD.
7．（2023春·四川眉山·高一校联考期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，，
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
【答案】ABD
【解析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.
【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；
对于，在锐角中，，，
，，
，因此不等式恒成立，正确；
对于，在中，由，利用正弦定理可得：，
，
，，
或，
或，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.
对于，由于，，由余弦定理可得：，
可得，解得，可得，故正确.
故选：.
【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
三、填空题
8．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左､右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差为，则圆弧的半径为 .
【答案】120
【详解】
如图所示，设圆弧圆心为，半径为，三个小球的球心自左至右分别为，，，设，
由题意可知，，
且，
即，
所以，解得，
故答案为：.
9．（2023·全国·高三专题练习）2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D是垂直下落于点C，某时刻地面上点观测点观测到点D的仰角分别为，若间距离为10千米（其中向量与同向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离约为 千米（结果保留整数，参考数据：）.
【答案】
【分析】利用正弦定理求得，由此求得.
【详解】在三角形中，，
由正弦定理得，
，
所以千米.
故答案为：
四、解答题
10．（2023秋·山东菏泽·高三校考阶段练习）如图,在平面四边形中,,.
(1)试用表示的长;
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据已知条件将用表示,再在中利用余弦定理求解即可;
(2)在中先用余弦定理将用表示,再结合(1)的结论,利用二次函数的性质求解最大值即可.
【详解】（1）（）,,,
，则
在中,
,
,则.
（2）在中,
,
则当时,取到最大值.
故的最大值是
【二层练综合】
一、单选题
1．（2022秋·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期中）如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出AD，BD，再利用余弦定理计算作答.
【详解】依题意，在中，，则m，
在中，，则m，
在中，，由余弦定理得：，
即，解得m，即有，
所以他的步行速度为.
故选：D
二、多选题
2．（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据解三角形的原理：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 分析每一个选项的条件看是否能求出塔的高度.
【详解】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.
A. 在中，已知，可以解这个三角形得到，再利用、解直角得到的值；
B. 在中，已知无法解出此三角形，在中，已知无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔的高度；
C. 在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值；
D.
如图，过点作,连接.
由于,
所以，所以可以求出的大小，
在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 判断一个三角形能不能解出来常利用该原理.
三、填空题
3．（2023·四川眉山·校考三模）在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为，根据为锐角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦展开式和的范围可得答案.
【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得
，
因为，所以，
可得，
因为，所以，
所以，，
由，可得，
所以，，
由正弦定理得
.
故答案为：.
四、解答题
4．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)如图，若D为外一点，且，，，，求AC．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式和正弦定理可得，进而得，从而得到；
（2）连接BD，由已知得，，可得，利用正弦定理可得，最后利用余弦定理求得．
【详解】（1）由，
得，
即，
由正弦定理，得，
整理，得，
∴，
又，∴，∴，
又，∴；
（2）连接BD，因为，，，
所以，，
所以，所以．
又，所以，
在中，由正弦定理可得，即，
所以．
在中，由余弦定理可得
，
所以．
【三层练能力】
一、多选题
1．（2023·山西阳泉·统考三模）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】由，得到或，推出，判断AB；由得到C正确；由三角函数的单调性结合导数得到D正确.
【详解】因为中，，所以或，
当时，，由于无意义，A错误；
当时，，
此时，故，B正确；
因为，所以，由大角对大边，得，C正确；
因为，所以，
即，
令，，
则，所以单调递减，
又，，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
2．（2023春·全国·高一期末）已知D是的边BC上一点，且，，，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】设，，，则，，再在和中分别列出余弦定理，根据联立可得，再结合，得到，进而消去，结合基本不等式 求解最大值即可
【详解】
设，，，则，．
在中，；
在中，．
因为，所以，
所以，整理①．
因为，所以．
在中，，
即，结合①可得，所以，即，当且仅当时，等号成立．
故答案为：