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新高考数学二轮复习培优专题训练专题03 正余弦定理及其应用（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学二轮复习培优专题训练专题03 正余弦定理及其应用（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习培优专题训练专题03正余弦定理及其应用原卷版doc、新高考数学二轮复习培优专题训练专题03正余弦定理及其应用解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
1、（2023年全国乙卷数学（文））在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题意结合正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2、（2023年全国甲卷数学（理））在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D为BC上一点，AD为 SKIPIF 1 < 0 的平分线，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
如图所示：记 SKIPIF 1 < 0 ，
方法一：由余弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：由余弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
3、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
结合余弦定理： SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】文由题意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去）.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5、（2023年全国甲卷数学（文））在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若D为BC上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由三角形面积公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
6、（2023年全国甲卷数学（文））记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积．
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
变形可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
7、（2023年新高考天津卷）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分別是 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值； (2)求 SKIPIF 1 < 0 的值； (3)求 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）由正弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由余弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
（3）由正弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 都为锐角，因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 边上的高．
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）方法1：在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
方法2：在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）方法1：在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
方法2：在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
10、【2022年全国乙卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【解析】(1)由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
(2)由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
11、【2022年全国乙卷】记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【解析】(1)
证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
(2)：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
12、【2022年新高考1卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【解析】(1)
因为，即，
而，所以；
(2)由（1）知，，所以，
而，
所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
题组一、 运用正、余弦定理解决边角及面积问题
1-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选题）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，则B的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】利用余弦定理代入式子中能得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 的范围即能得到答案
【详解】解：根据余弦定理可知 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：BD.
1-2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径R．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)将 SKIPIF 1 < 0 写为 SKIPIF 1 < 0 代入化简可得 SKIPIF 1 < 0 ,根据 SKIPIF 1 < 0 ,即可得 SKIPIF 1 < 0 ;
(2) 由正、余弦定理可将 SKIPIF 1 < 0 化简为 SKIPIF 1 < 0 ,进一步化简可得 SKIPIF 1 < 0 ,结合 SKIPIF 1 < 0 ,再根据正弦定理即可得外接圆半径.
【详解】（1）解:因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以在 SKIPIF 1 < 0 中,由正、余弦定理得:
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0
1-3、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的面积为S，满足 SKIPIF 1 < 0 ，求b的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）切化弦后由正弦定理化边为角，并利用两角和的正弦公式、诱导公式化简变形可得 SKIPIF 1 < 0 角大小；
（2）由三角形面积公式得 SKIPIF 1 < 0 ，再由正弦定理可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据正弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
又由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
1-4、（2023·江苏南京·校考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA= SKIPIF 1 < 0 .
（1）若a= SKIPIF 1 < 0 ，c= SKIPIF 1 < 0 ，求b的值；
（2）若角A的平分线交BC于点D， SKIPIF 1 < 0 ，a=2，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】（1）b=4；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据余弦定理可求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据角平分线定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角形面积公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）因为tanA= SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， 所以csA= SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得b=4或b=﹣1(舍)，
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为∠CAD=∠BAD，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为a=2，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
题组二、 运用余弦定理研究范围问题
2-1、（2023·江苏南通·统考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 长度的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正弦定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，再由余弦定理求得结果；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 表示成两个三角形的面积和，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，再求其取值范围；
【详解】（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
2-2、（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=4，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求B；
(2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；
(2)根据余弦定理和面积公式即可求解.
【详解】（1）方法一： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
方法二：在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）方法一: SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
方法二:
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得：
SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取“=”）
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
2-3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知在 SKIPIF 1 < 0 中，边 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 所对的角分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 成等比数列；
(2)求角 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1)见解析；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)结合内角和关系，通过三角恒等变换化简条件等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用正弦定理化角为边即可证明；(2)根据余弦定理和基本不等式可求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，由此可得角 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】（1）通分化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以a､b､c成等比数列；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 为正三角形时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大角为 SKIPIF 1 < 0 .
题组三、正余弦定理与其它知识点的结合
3-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0
又在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，则 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形.
则 SKIPIF 1 < 0
解之得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径为 SKIPIF 1 < 0
故选：C
3-2、（2022·山东师范大学附中高三模拟）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知△ABC顶点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，顶点B在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
【答案】C
【解析】由题设知： SKIPIF 1 < 0 是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
3-3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）（多选题）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列
【答案】ABD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列，
则： SKIPIF 1 < 0 ，
利用 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
利用正弦和余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列.
此时对等差数列 SKIPIF 1 < 0 的每一项取相同的运算得到数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，这些数列一般都不可能是等差数列，除非 SKIPIF 1 < 0 ，但题目没有说 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
故选：ABD.
3-4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角A；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，D为BC边的中点， SKIPIF 1 < 0 ，求a的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由两角和的正弦公式化简求解，
（2）由平面向量数量积的运算律与余弦定理求解，
【详解】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
3-5、（2023·安徽黄山·统考三模）记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小和边 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)如图，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 结合正弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解法1：由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当点O不在 SKIPIF 1 < 0 外部时（如图） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
当点O在 SKIPIF 1 < 0 外部时（如图）， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
解法2：由题可知： SKIPIF 1 < 0 ，
如图，分别取线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
由于O是 SKIPIF 1 < 0 的外心，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
1、【2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测】在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为底角的等腰三角形”的（ ）
A 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理化简等式 SKIPIF 1 < 0 ，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为底角的等腰三角形或以 SKIPIF 1 < 0 为直角的直角三角形.
因此，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为底角的等腰三角形”的必要不充分条件.
故选：B.
2、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】(多选题)
在 SKIPIF 1 < 0 中，下列命题正确的是（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 定为等腰三角形或直角三角形
C. 在等边 SKIPIF 1 < 0 中，边长为2，则 SKIPIF 1 < 0
D. 若三角形的三边的比是 SKIPIF 1 < 0 ，则此三角形的最大角为钝角
【答案】ABD
【解析】
【分析】A，根据正弦定理结合大角对大边可得结论；B，根据诱导公式及三角函数图像与性质可得结论；C，根据向量的数量积及夹角可得结论；D，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角．
【详解】解：对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得
SKIPIF 1 < 0 ，故A选项正确；
对于B选项，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三角形的内角，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确；
对于C选项，在等边 SKIPIF 1 < 0 中，边长为2，
则 SKIPIF 1 < 0 ,故C选项不正确；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 的三边之比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 设三边长依次为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ；则最大角是 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理知，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故D选项正确．
故选：ABD．
3、（2023·安徽淮北·统考一模）设 SKIPIF 1 < 0 内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）由正弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由两角和的正弦公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
4、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 的值最大时，求△ABC的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和和三角函数公式化简等式，即可得出 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根据正弦定理将 SKIPIF 1 < 0 转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的三角函数式，利用三角变换和正弦函数的性质可求其最值，从而求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出△ABC的面积
【详解】（1）由题意
在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得到 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 为三角形内角，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意及（1）得
在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故外接圆直径 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为1，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 .
5、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 的两个相邻零点间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值及函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴方程；
(2)在 SKIPIF 1 < 0 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周长的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，对称轴方程为： SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求解即可；
（2）根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的两个相邻零点间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由正弦定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 周长的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
6、（2023·山西临汾·统考一模）记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】(1)见解析；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正弦定理边化角计算可得结果.
（2）由余弦定理解三角形及三角形面积公式计算可得结果.
【详解】（1）证明：由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 及余弦定理得: SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，可解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以△ SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，
所以△ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
7、（2023·安徽宿州·统考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角A的大小；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理的变形得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
8、（2022·湖南郴州·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，若边 SKIPIF 1 < 0 对应的角分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
【解析】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
（2）
解：∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
9、（2022·山东济南·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 .中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【解析】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
1、（2023年全国乙卷数学（文））在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题意结合正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2、（2023年全国甲卷数学（理））在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D为BC上一点，AD为 SKIPIF 1 < 0 的平分线，则 SKIPIF 1 < 0 _________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
如图所示：记 SKIPIF 1 < 0 ，
方法一：由余弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
方法二：由余弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
3、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
结合余弦定理： SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）记 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】文由题意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去）.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5、（2023年全国甲卷数学（文））在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若D为BC上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由三角形面积公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
6、（2023年全国甲卷数学（文））记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积．
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
变形可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
7、（2023年新高考天津卷）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分別是 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值； (2)求 SKIPIF 1 < 0 的值； (3)求 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）由正弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由余弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）．
（3）由正弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 都为锐角，因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 边上的高．
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）方法1：在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
方法2：在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）方法1：在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
方法2：在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
10、【2022年全国乙卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【解析】(1)由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
(2)由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
11、【2022年全国乙卷】记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【解析】(1)
证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
(2)：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
12、【2022年新高考1卷】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【解析】(1)
因为，即，
而，所以；
(2)由（1）知，，所以，
而，
所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
题组一、 运用正、余弦定理解决边角及面积问题
1-1、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）（多选题）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，则B的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】利用余弦定理代入式子中能得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 的范围即能得到答案
【详解】解：根据余弦定理可知 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：BD.
1-2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 SKIPIF 1 < 0
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径R．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)将 SKIPIF 1 < 0 写为 SKIPIF 1 < 0 代入化简可得 SKIPIF 1 < 0 ,根据 SKIPIF 1 < 0 ,即可得 SKIPIF 1 < 0 ;
(2) 由正、余弦定理可将 SKIPIF 1 < 0 化简为 SKIPIF 1 < 0 ,进一步化简可得 SKIPIF 1 < 0 ,结合 SKIPIF 1 < 0 ,再根据正弦定理即可得外接圆半径.
【详解】（1）解:因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以在 SKIPIF 1 < 0 中,由正、余弦定理得:
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0
1-3、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的面积为S，满足 SKIPIF 1 < 0 ，求b的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）切化弦后由正弦定理化边为角，并利用两角和的正弦公式、诱导公式化简变形可得 SKIPIF 1 < 0 角大小；
（2）由三角形面积公式得 SKIPIF 1 < 0 ，再由正弦定理可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据正弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
又由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
1-4、（2023·江苏南京·校考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA= SKIPIF 1 < 0 .
（1）若a= SKIPIF 1 < 0 ，c= SKIPIF 1 < 0 ，求b的值；
（2）若角A的平分线交BC于点D， SKIPIF 1 < 0 ，a=2，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】（1）b=4；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据余弦定理可求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据角平分线定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角形面积公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）因为tanA= SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， 所以csA= SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得b=4或b=﹣1(舍)，
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为∠CAD=∠BAD，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为a=2，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
题组二、 运用余弦定理研究范围问题
2-1、（2023·江苏南通·统考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 长度的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正弦定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，再由余弦定理求得结果；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 表示成两个三角形的面积和，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，再求其取值范围；
【详解】（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
2-2、（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=4，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求B；
(2)若D在AC上，且BD⊥AC，求BD的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；
(2)根据余弦定理和面积公式即可求解.
【详解】（1）方法一： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
方法二：在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）方法一: SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
方法二:
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得：
SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取“=”）
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 .
2-3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知在 SKIPIF 1 < 0 中，边 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 所对的角分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 成等比数列；
(2)求角 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1)见解析；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)结合内角和关系，通过三角恒等变换化简条件等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用正弦定理化角为边即可证明；(2)根据余弦定理和基本不等式可求 SKIPIF 1 < 0 的最小值，由此可得角 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】（1）通分化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以a､b､c成等比数列；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 为正三角形时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大角为 SKIPIF 1 < 0 .
题组三、正余弦定理与其它知识点的结合
3-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0
又在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心，则 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形.
则 SKIPIF 1 < 0
解之得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径为 SKIPIF 1 < 0
故选：C
3-2、（2022·山东师范大学附中高三模拟）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知△ABC顶点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，顶点B在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
【答案】C
【解析】由题设知： SKIPIF 1 < 0 是椭圆的两个焦点，又B在椭圆上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
3-3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）（多选题）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列
D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列
【答案】ABD
【解析】 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列，
则： SKIPIF 1 < 0 ，
利用 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
利用正弦和余弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 依次成等差数列.
此时对等差数列 SKIPIF 1 < 0 的每一项取相同的运算得到数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，这些数列一般都不可能是等差数列，除非 SKIPIF 1 < 0 ，但题目没有说 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
故选：ABD.
3-4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角A；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，D为BC边的中点， SKIPIF 1 < 0 ，求a的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由两角和的正弦公式化简求解，
（2）由平面向量数量积的运算律与余弦定理求解，
【详解】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
3-5、（2023·安徽黄山·统考三模）记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小和边 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)如图，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外心，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【详解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 结合正弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解法1：由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当点O不在 SKIPIF 1 < 0 外部时（如图） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
当点O在 SKIPIF 1 < 0 外部时（如图）， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
解法2：由题可知： SKIPIF 1 < 0 ，
如图，分别取线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
由于O是 SKIPIF 1 < 0 的外心，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
1、【2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测】在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为底角的等腰三角形”的（ ）
A 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理化简等式 SKIPIF 1 < 0 ，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为底角的等腰三角形或以 SKIPIF 1 < 0 为直角的直角三角形.
因此，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为底角的等腰三角形”的必要不充分条件.
故选：B.
2、【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】(多选题)
在 SKIPIF 1 < 0 中，下列命题正确的是（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 定为等腰三角形或直角三角形
C. 在等边 SKIPIF 1 < 0 中，边长为2，则 SKIPIF 1 < 0
D. 若三角形的三边的比是 SKIPIF 1 < 0 ，则此三角形的最大角为钝角
【答案】ABD
【解析】
【分析】A，根据正弦定理结合大角对大边可得结论；B，根据诱导公式及三角函数图像与性质可得结论；C，根据向量的数量积及夹角可得结论；D，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角．
【详解】解：对于A选项，由正弦定理结合大角对大边得
SKIPIF 1 < 0 ，故A选项正确；
对于B选项，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是三角形的内角，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确；
对于C选项，在等边 SKIPIF 1 < 0 中，边长为2，
则 SKIPIF 1 < 0 ,故C选项不正确；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0 的三边之比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 设三边长依次为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ；则最大角是 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理知，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故D选项正确．
故选：ABD．
3、（2023·安徽淮北·统考一模）设 SKIPIF 1 < 0 内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）由正弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由两角和的正弦公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
4、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 的值最大时，求△ABC的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和和三角函数公式化简等式，即可得出 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根据正弦定理将 SKIPIF 1 < 0 转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的三角函数式，利用三角变换和正弦函数的性质可求其最值，从而求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出△ABC的面积
【详解】（1）由题意
在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得到 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 为三角形内角，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意及（1）得
在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故外接圆直径 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为1，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 .
5、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且函数 SKIPIF 1 < 0 的两个相邻零点间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值及函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴方程；
(2)在 SKIPIF 1 < 0 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周长的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，对称轴方程为： SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数的零点性质、周期公式、对称轴方程进行求解即可；
（2）根据正弦定理、辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 的两个相邻零点间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，所以对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由正弦定理可知： SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 周长的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
6、（2023·山西临汾·统考一模）记 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】(1)见解析；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正弦定理边化角计算可得结果.
（2）由余弦定理解三角形及三角形面积公式计算可得结果.
【详解】（1）证明：由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 及余弦定理得: SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，可解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以△ SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，
所以△ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
7、（2023·安徽宿州·统考一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角A的大小；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理的变形得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 .
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
8、（2022·湖南郴州·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 中，若边 SKIPIF 1 < 0 对应的角分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
【解析】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
（2）
解：∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
9、（2022·山东济南·高三期末）在 SKIPIF 1 < 0 .中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求角 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在边 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.
【解析】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
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