新高考数学二轮专题分层精练第08课 指数函数（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题分层精练第08课 指数函数（2份，原卷版+解析版），共8页。
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：，其中，则的近似值为（精确到）（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·福建莆田·高二校考期中）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知则等于（ ）
A．B．C．1D．2
4．（2022秋·山东临沂·高一校考阶段练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·高一课时练习）且）是增函数，那么函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
6．（2020秋·江西吉安·高一校联考期中）函数，且的图象过一个定点，则这个定点坐标是
A．B．C．D．
7．（2022秋·天津北辰·高三校考阶段练习）函数的部分图象可能是（ ）
A． B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知且，则函数为奇函数的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·河北·高三学业考试）若满足不等式，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．(1，＋∞)B．(1,8)C．(4,8)D．[4,8)
11．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b
12．（2022秋·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）若关于的不等式（）恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·全国·高三专题练习）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是年前的遗物（参考数据：），则实数的值为（ ）
A．12302B．13304C．23004D．24034
二、多选题
14．（2024秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数B．为减函数
C．有且只有一个零点D．的值域为
15．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（ ）
A．当，则这期间人口数呈下降趋势
B．当，则这期间人口数呈摆动变化
C．当时，的最小值为3
D．当时，的最小值为3
三、填空题
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是 .
17．（2022·全国·高三专题练习）下列函数是奇函数，且在上单调递增的是 .
①②③④
18．（2023春·北京石景山·高二统考期末）设函数，则使得成立的的取值范围是 .
19．（2014·甘肃天水·统考一模）下列5个判断：
①若在上增函数，则；
②函数只有两个零点；
③函数的值域是；
④函数的最小值是1；
⑤在同一坐标系中函数与的图像关于轴对称．
其中正确命题的序号
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）苏格兰数学家科林麦克劳林（ClinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（ ）（可能用到数值）
A．2.322B．4.785C．4.755D．1.005
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
3．（2020·安徽安庆·安庆市第七中学校考模拟预测）已知函数，若，则
A．B．C．D．
4．（2022秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（ ）
A．0B．2C．4D．-2
5．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数，当时，（且）.若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2021秋·高一课时练习）已知正实数满足，，则
A．B．C．D．
8．（2022秋·辽宁葫芦岛·高三校联考期中）函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（ ）
A．12B．14C．16D．18
9．（2007·天津·高考真题）设均为正数，且，，．则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023秋·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．（2023·陕西西安·统考三模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023春·高二课时练习）某微生物科研团队为了研究某种细菌的繁殖情况，工作人员配制了一种适合该细菌繁殖的营养基质用以培养该细菌，通过相关设备以及分析计算后得到：该细菌在前3个小时的细菌数与时间（单位：小时，且）满足回归方程（其中为常数），若，且前3个小时与的部分数据如下表：
3个小时后，向该营养基质中加入某种细菌抑制剂，分析计算后得到细菌数与时间（单位：小时，且）满足关系式：，在时刻，该细菌数达到最大，随后细菌个数逐渐减少，则的值为（ ）
A．4B．C．5D．
13．（2023春·山西大同·高二校考期中）钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．，为奇函数
B．，在上单调递增
C．，在上单调递增
D．，有最小值1
14．（2023·全国·高三专题练习）已知为偶函数，为奇函数，且满足.若存在，使得不等式有解，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．1D．-1
15．（2021·陕西西安·统考三模）射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001）
A．0.110B．0.112C．D．
二、多选题
16．（2022·全国·高一期末）若两函数的定义域、单调区间、奇偶性、值域都相同，则称这两函数为“伙伴函数”.下列函数中与函数不是“伙伴函数”是（ ）
A．B．C．D．
17．（2022秋·广东广州·高一广州市真光中学校考期中）若实数，满足则下列关系式中可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
19．（2022秋·山西太原·高一校考阶段练习）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
20．（2023·全国·高三专题练习）函数在的值域为 ．
21．（2020·高一课时练习）定义区间[x1，x2]的长度为x2－x1，已知函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，9]，则区间[a，b]长度的最小值为 .
22．（2022秋·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集是 .
23．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，满足，，则 ．
【三层练能力】
一、单选题
1．（2022·天津北辰·校考模拟预测）已知且，函数在上是单调函数，若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
3．（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）当时，不等式成立．若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）设函数，则下列选项正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的图象关于点对称
C．的最小值为
D．若有两个不等实根，则，且
三、填空题
5．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知，若存在，使得，则的取值范围为 .
6．（2022春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）将的图象向右平移2个单位后得曲线，将函数的图象向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称．若的最小值为且，则实数的取值范围为 ．
【一层练基础】参考答案
1．C
【分析】应用题设泰勒展开式可得 , 随着的增大，数列递减且靠后各项无限接近于，即可估计的近似值.
【详解】计算前四项，在千分位上四舍五入
由题意知:
故选：C
2．D
【详解】，，，
根据在上是增函数，所以，即.
故选：D.
3．C
【分析】根据分段函数的解析式，结合对应区间求即可.
【详解】∵26 > 4，
∴，又，
∴.
故选：C.
4．C
【分析】根据二次函数图象特点，结合指数型函数图象的特点进行判断即可.
【详解】的函数图象与轴的交点的横坐标为的两个根，
由可得两根为a，b，
观察的图象，可得其与轴的两个交点分别在区间与上，
又∵，∴，，
由可知，
当时，为增函数，
又由得的图象与y轴的交点在x轴上方，
分析选项可得C符合这两点．
故选：C．
5．D
【分析】先根据函数且）的单调性判断底数的范围，得到函数的图象，再利用图象平移得到函数的图象．
【详解】解；∵可变形为，若它是增函数，则，
，∴为过点（1，0）的减函数，
∴为过点（1，0）的增函数，
∵图象为图象向左平移1个单位长度，
∴图象为过（0，0）点的增函数，故选D．
【点睛】本题考查了指对数函数的单调性，以及图象的平移变化，做题时要认真观察．
6．B
【详解】试题分析：令得时，所以过定点
考点：指数函数性质
7．C
【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再根据趋近于时的值判断即可
【详解】因为，故为奇函数，排除AB，又当趋近于时，远远大于，所有函数逐渐趋近于0，排除D
故选：C
8．C
【分析】先利用奇函数的性质得到，然后在利用定义验证此时函数为奇函数，从而得到函数为奇函数的充分必要条件是，进而根据充分不必要条件的概念作出判定.
【详解】若函数为奇函数，由于函数的定义域为R，
∴，∴,即,∴∴；
当时，，
即为奇函数的充分必要条件是或，
是的非充分非必要条件；是的非充分非必要条件；是的充分不必要条件；
故选：C.
9．B
【分析】先将不等式左右两边化为底数相同，再由指数函数的单调性解不等式即可求得的范围，再由指数函数的单调性即可求值域.
【详解】由可得，
因为在上单调递增，
所以即，解得：，
所以，即函数的值域是，
故选：B.
10．D
【分析】根据函数的单调性给出不等式组，求解参数的取值范围即可.
【详解】由题意得 解得4≤a＜8.
故选：D.
11．D
【分析】由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案.
【详解】由题意，，，，则.
故选：D.
12．B
【分析】根据指数函数的性质，参变分离可得恒成立，再根据幂函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，所以，又恒成立，
即恒成立，
因为在上单调递减，所以，所以，即；
故选：B
13．B
【分析】设每年的衰变率为，古物中原的含量为，然后根据半衰期，建立方程，将已知条件带入取对数，利用对数性质运算即可.
【详解】设每年的衰变率为，古物中原的含量为，
由半衰期，得．
所以，即．
由题意，知，即．
于是．
所以．
故选：B．
14．AC
【分析】化简函数解析式，分析函数的奇偶性，单调性，值域，零点即可求解.
【详解】,,
,
故为奇函数，
又，
在R上单调递增，
，，，
，，即函数值域为
令，即，解得，故函数有且只有一个零点0.
综上可知，AC正确，BD错误.
故选：AC
15．AC
【分析】由指数函数的性质确定函数的增减性可判断A，B；分别代入和，解指数不等式可判断C，D.
【详解】，由指数函数的性质可知：是关于n的单调递减函数，
即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；
，所以，所以，
，所以的最小值为3，故C正确；
，所以，所以，
，所以的最小值为2，故D不正确；
故选：AC.
16．
【分析】首先分别求分段函数两段的值域，再根据值域为，列式求实数a的取值范围.
【详解】当时，，当时，，
因为函数的值域为，所以，解得：.
故答案为：
17．①③
【分析】根据奇函数的定义及基本初等函数的单调性，对选项进行一一判断，即可得答案；
【详解】①，所以函数是奇函数，又在上单调递增，故正确；
②，所以，所以函数不是奇函数，故错误；
③，所以函数是奇函数，在上单调递增，故正确；
④
，所以函数是偶函数，故错误；
故答案为：①③
18．
【分析】分和两种情况讨论从而解不等式即可.
【详解】当时，由，得，所以，又因为，所以；
当时，由，得，所以，又因为，所以.
所以满足成立的的取值范围为 .
故答案为：.
19．④⑤
【分析】根据函数性质逐个分析求解即可.
【详解】①若在上增函数，所以只需，即，故①不正确；
②画出和负半轴的图象，
根据图象可观察在负半轴有一个零点，又，，
所以函数只有三个零点，故②不正确；
③因为 ，所以，所以值域是，故③不正确；
④因为 ，所以，即最小值是，故④正确；
⑤因为两个函数定义域相同，且用代替中的，两个解析式完全相同，
所以图象关于轴对称，故⑤正确.
故答案为：④⑤.
【二层练综合】参考答案
1．C
【分析】由题目观察可知，代入即可发现解法.
【详解】
所以=4.755
故选：C
2．C
【分析】由函数的图像关于点对称得到，结合是偶函数得到，进一步得到的周期是4，再利用周期性计算即可得到答案.
【详解】因为是上的偶函数，所以，
又的图象关于点对称，则，
所以，则，得，
即，所以是周期函数，且周期，
由时，，则，，，，
则，
则.
故选：C
3．D
【详解】分析：先化简得到，再求的值.
详解：由题得
所以故答案为D
点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.
4．D
【分析】由已知，利用奇函数及周期性求，的函数值，即可求目标式的值.
【详解】∵是定义在上的奇函数，
∴，又在上的周期为2，
∴，，
∴.
故选：D.
5．B
【分析】根据已知条件可得的对称中心，对称轴，可得为的一个周期，由、以及列关于的方程组，进而可得时，的解析式，再利用周期性即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，
因为为偶函数，所以的图象关于直线对称.
根据条件可知，则，
即为的一个周期，则，
又因为，，
所以，解得或 （舍），
所以当时，，
所以，
故选：B.
6．A
【分析】根据奇偶性和值域，运用排除法求解.
【详解】设，则有，
是奇函数，排除D；
，排除B；
当时，，排除C；
故选：A.
7．B
【分析】在同一坐标系内，分别作出函数的图象，结合图象，即可求解．
【详解】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数的图象，
结合图象可得：，故选B．
【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用，其中解中熟记指数函数、对数函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
8．C
【分析】求出的坐标代入椭圆方程，再将化为积为定值的形式，利用基本不等式可求得结果.
【详解】由，即，得，所以，
因为点在椭圆上，所以（，），
所以，
当且仅当时，等号成立.
故选：C
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9．A
【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象，
与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．
考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．
【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．
【详解】
10．A
【分析】由给定函数，求出为偶函数时的a值，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】函数定义域为R，函数为偶函数，
则,，
而不恒为0，因此，，解得或，
所以“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
11．A
【分析】根据给定的函数图象特征，利用函数的奇偶性排除BC；利用的正负即可判断作答.
【详解】对于B，，，函数是偶函数，B不是；
对于C，，，函数是偶函数，C不是；
对于D，，，D不是；
对于A，，，函数是奇函数，
且，A符合题意.
故选：A
12．A
【分析】根据给定条件，求出样本中心点求出b值，再分段讨论y的最大值情况作答.
【详解】依题意，，，由，，得，且经过点，
于是得，当时，单调递增，则当时，，
当时，，令，，
求导得：，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，
而，因此当时，细菌数取最大值，
所以的值为4.
故选：A
13．B
【分析】根据函数奇偶性的定义及复合函数的单调性逐一判定即可.
【详解】由题意易得定义域为R，，即为偶函数，
故A错误；
令，则且随增大而增大，
此时，由对勾函数的单调性得单调递增，
根据复合函数的单调性原则得在上单调递增，故B正确；
结合A项得在上单调递减，故C错误；
结合B项及对勾函数的性质得，故D错误.
故选：B.
14．A
【解析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最大值即可.
【详解】为偶函数，为奇函数，且①
②
①②两式联立可得，.
由得，
∵在为增函数，
∴，
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、考查了不等式存在有解问题以及函数的单调性求最值，注意分离参数法的应用，此题属于中档题.
15．C
【解析】根据题意知,，代入公式,求出即可.
【详解】由题意可得,因为,
所以,即.
所以这种射线的吸收系数为.
故选:C
【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
16．BD
【分析】分析各选项中的函数以及函数的定义域、单调区间、奇偶性、值域都相同，结合题中定义可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，单调递增区间为，递减区间为，该函数为偶函数，值域为.
对于A选项，令，该函数的定义域为，
，函数的单调递增区间为，递减区间为，
因为，即函数的值域为.
，即函数为偶函数，A满足条件；
对于B选项，由可得，即，解得，
故函数的值域为，B不满足条件；
对于C选项，令，该函数的定义域为，
，令，则且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，，
故函数的值域为，
因为，即函数为偶函数，C满足条件；
对于D选项，函数的定义域为，D不满足条件.
故选：BD.
17．BCD
【分析】先构造函数，，判断函数单调性并作图，再判断，，结合图象即得两个函数值相等时对应自变量的大小关系.
【详解】设，，
由初等函数的性质，可得，都是单调递增函数，
画出函数，的图象，如图所示，
根据图象可知，当时，；当时，，
依题意不妨设，则分别是直线与函数图象的交点的横坐标.
当时，若，则，故A不正确；
当或时，若，则或，故B正确；
当时，若，则，故C正确；
当时，若，则，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题的解题关键在于结合图象判断，，即可判断两个函数值相等时对应自变量的大小关系，突破难点.
18．BCD
【分析】A.由得到判断；BC.由，得到判断；D. 由，得到，令，用导数法判断.
【详解】由得，又，所以，所以，所以，选项错误；
因为，所以，即，所以，选项正确，
因为，所以，所以.令，则，所以在区间上单调递增，所以，即，又，所以，即，选项正确.
故选：BCD
19．ACD
【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.
【详解】因为，且，对A，，所以，故A正确；对B，取，所以，故B错误；对C，，当且仅当取等号，又因为，当且仅当取等号，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故C正确；对D，当，，所以；当，，所以，当且仅当取等号，因为，所以不能取等号，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
20．
【分析】令，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】解：，
设，
当时，，所以，
所以在的值域为．
故答案为：．
21．2
【分析】先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间，的长度的最小值．
【详解】∵函数f(x)＝3|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，9]，又，∴0∈[a，b].2和－2至少有一个属于区间[a，b]，
故区间[a，b]的长度最小时为[－2，0]或[0，2]，即区间[a，b]长度的最小值为2.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查绝对值不等式的解法，属于中档题.
22．，
【分析】先构造函数，得到关于对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式 转化为即可求解．
【详解】构造函数，那么 是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到，
的定义域为，且，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于对称．
不等式 等价于，
等价于
结合单调递增可知，
所以不等式的解集是，．
故答案为：，．
23．1
【分析】由可变形为，故考虑构造函数，判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求.
【详解】因为，化简得．
所以，又，
构造函数，
因为函数，在上都为增函数，
所以函数在上为单调递增函数，
由，∴，
解得，，
∴．
故答案为：.
【三层练能力】参考答案
1．A
【分析】根据题意分析，且可得只能是减函数，再结合分段函数的单调性可得，再画图分析与的图象恰有2个交点时满足的不等式求解即可
【详解】先分析函数，且
易得，因为，可得图象：
因为函数在上是单调函数，故只能是减函数，且，即.故当时，，结合可得.故，又关于的方程恰有2个互异的实数解，即与的图象恰有2个交点，画出图象：
可得，解得.综上有
故选：A
2．C
【分析】分类讨论的值域，然后根据值域端点的倍数关系可解.
【详解】记
因为，所以，所以
当时，，所以，
取，
则对任意正整数，总有成立，故舍.
当时，，所以
要使正整数的最大值为6，则，解得；
当时，，所以
显然存在任意正整数，使得成立；
当时，，所以
要使正整数的最大值为6，则，解得
综上，的取值范围为
故选：C
3．AD
【分析】将给定不等式变形，构造函数，利用函数单调性，逐项分析判断作答.
【详解】当时，不等式，令，则在上单调递增，
因，则，A正确；
因，则，B不正确；
由知，，有，则，
由选项A知，，即，C不正确；
由得，，则，D正确.
故选：AD
【点睛】关键点睛：涉及两个量的大小，构造函数，分析并运用函数的单调性是求解作答的关键.
4．BD
【分析】A由奇偶性定义判断正误，B判断是否成立即可，C应用特殊值法有，即可判断正误，D由题设方程有两个不等实根，令转化为当时，在上有两个零点；当时，在上有两个零点，应用导数研究单调性并确定极值，根据极值的符号求参数范围.
【详解】A：，错误；
B：，即的图象关于点对称，正确；
C：当时，，错误；
D：由题意有，整理得有两个不同实根，显然，令，
∴当时，在上与有两个交点，即有两个零点，
若得，则上，单调递减；上，单调递增；
又，，故仅需在上有两个零点，则；
当时，在上与有两个交点，即有两个零点，
若得，则上，单调递增；上，单调递减；
又，，故仅需在上有两个零点，则；
综上，有两个不等实根，则，且，正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：D选项，将问题转化为：当时，在上有两个零点；当时，在上有两个零点，进而应用导数研究单调性，根据条件成立时极值的符号求参数范围.
5．
【分析】先讨论、与1的大小关系确定、，进而确定的取值范围，再结合函数的单调性进行求解.
【详解】①当时，则，，
又由，得，
所以，则；
②当时，因为，，
所以不存在，使得；
③当时，则，，
又由，得，
则，，
令，则在上单调递增，
所以，则；
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
6．.
【详解】试题分析：首先应求出的表达式，曲线对应的函数式为，曲线与关于轴对称，因此的函数解析式为，向上平移2个单位，就是函数的图象，则.，其最小值大于，说明函数的最小值大于.下面观察函数，若，则当时，，无最小值，同理当时，时，，无最小值，因此，，当且仅当时等号成立，即最小值为，从而，解得.
1
2
3