新高考数学二轮复习专题培优训练专题03 解三角形（两大易错点+九大题型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题培优训练专题03 解三角形（两大易错点+九大题型）（2份，原卷版+解析版），共5页。
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：正弦定理的边角互化
易错点二：判断三角形个数
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】最值与范围：角与对边
【题型二】最值与范围：角与邻边
【题型三】范围与最值：有角无边型
【题型四】 三大线：角平分线应用
【题型五】 三大线：中线应用
【题型六】 三大线：高的应用
【题型七】 图形：内切圆与外接圆
【题型八】 图形：“补角”三角形
【题型九】 图形：四边形与多边形
作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良题的新题型，无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占10分，难度不大也适应了新高考的新题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握。
今年从九省联考的试卷可以看出，新结构试卷中把原有的解三角形大题弱化了，新结构试卷解三角形的位置会在选填中考察，出现在大题的机率也是有的，即使出现难度也是不大的，所以基础题型和小题中对于正余弦定理的运用就需要掌握的透彻。
易错点一：正弦定理的边角互化
正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．
由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)等形式，以解决不同的三角形问题．
易错提醒：
1. 在用正弦定理进行边角互化时需要注意2R的存在，等式两边2R的数量一致才可相消。
2.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
例（2024·辽宁辽阳·一模）在中，内角的对边分别为，且，则的最小值为 .
【答案】
【详解】由正弦定理得，，
因为，所以，
当且仅当即等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
变式1：（2024·四川凉山·二模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ．
【答案】
【详解】在中，由及正弦定理得：，
而，
则，
整理得，即，
又，因此，而，所以.故答案为：
易错点二：判断三角形个数
1.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
例 （2022·江苏南通·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A：由正弦定理可知，
∵，∴，故三角形有一解；
对于B：由正弦定理可知，，
∵，∴，故三角形有两解；
对于C：由正弦定理可知，
∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；
对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.
故选：B.
变式1：（2022高三·全国·专题练习）在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】在中，，，若有唯一解，则有唯一解，
设内角，，所对应的边分别为，，，
由，则为一确定的锐角且，所以，
如图以为圆心，为半径画圆弧，当圆弧与边有1个交点时满足条件，
如图示：即圆弧与边相切或与圆弧与边相交有2个交点，
其中一个交点在线段的反向延长线上（或在点处），故或，
由，即，得或，
解得或.
故选：．
【题型一】最值与范围：角与对边
注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．

【例1】（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知的内角的对边分别是.若，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【详解】由题意知中，，故，
故，（R为外接圆半径），
故，
故选：D
【例2】（2024·海南省直辖县级单位·一模）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由正弦定理得，即，
又为锐角三角形，，
又，则，
解得，而当时，单调递增，
故，所以.
故选：C
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知中，角、、的对边分别是．
(1)求角的大小；
(2)若，为边上一点，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
因为
故，
即，
即．
而，故，
又因为所以．
而，故．
（2）解法一：由知，
两边同时平方得，
即，化简得．①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得．
所以的面积为．
解法二：在中，由余弦定理可得，
整理得，①
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，所以，
故，即，②
由①②得，
由于，得，代入②得，
所以的面积为．

【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知的内角的对边分别为的面积．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
得，
由于，所以，
因为，所以.
（2）由及正弦定理，得，
又，所以，
由余弦定理得，即，
结合可得，
所以.
【变式2】（2024·云南贵州·二模）的内角的对边分别为，已知.
(1)求角的值；
(2)若的面积为，求.
【答案】(1)
(2)2，2
【详解】（1），
由正弦定理可得：，
，
，
即，
，，
，.
（2）由题意，，
所以，
由，
得，
所以，解得：.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，，．
(1)求角；
(2)设是的高，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及，得，
又，，所以，得，
因为，所以．
（2）解法一 由余弦定理得，则，
得，当且仅当时取等号，
所以，
得，故的最大值为．
解法二 由正弦定理得，
故，．
因为，所以，，
所以
，当时等号成立,
故，得，
故的最大值为.
【题型二】 最值与范围：角与邻边
三角形中最值范围问题的解题思路：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。
涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大
【例1】（2024·安徽阜阳·一模）在中，角的对边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以根据正弦定理得，
因为，
所以，
即，
即．
因为，所以．
因为，所以．
（2）．
因为，所以①．
因为，
所以②．
联立①②可得，解得（负根舍去），
故的面积为．
【例2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）在锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为为锐角三角形，则
因为，则，
因为，可得，
所以．
（2）
因为，
由余弦定理可得，即，
整理得．则或（舍去）；
所以的面积为．
【变式1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，则，
要使满足条件的三角形不唯一，则，即.
故选：A.
【变式2】（2024·河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，且，
所以；
（2）
根据正弦定理，，
所以或，
当时，，，此时，不成立，
当时，此时，则，
的面积.
【变式3】（2024·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边分别为，其中，．
(1)求角的大小；
(2)如图，为外一点，，，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理，可得，
整理可得，
又因为，
化简可得，
而，则，又，则
（2）在中，由可得，
在中，由可得，
所以，
设，
由余弦定理，
，
可得，，
因此，
当且仅当时，即等号成立，
所以的最大值为，此时.
【题型三】 范围与最值：有角无边型
【例1】（2024·北京石景山·一模）在锐角中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理边化角得：
，所以，
由于在中，，所以，
即，又，所以.
（2）由（1）可知，所以，
所以
由于在锐角中，，所以，
所以，所以，
所以，所以的取值范围为.
【例2】（2024·吉林延边·一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求B；
(2)若点D在AC上，且，求．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为，即，
由正弦定理可得：，整理得，
由余弦定理可得，
且，所以．
（2）因为，则，
可得，

则，即，
整理得，
由余弦定理可得，则，
即，所以．
【变式1】（2024·广东湛江·一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得：，所以，
所以，
，
，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）由正弦定理可得，
所以，
故，
又，所以，
所以
，又，所以，
所以，所以的取值范围为.
【变式2】（2023·陕西·模拟预测）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得，
即，又，
故，由，故；
（2）由正弦定理可得，又，
故，故，
即，即有，
即，由，故，故，即.
【变式3】（2012·广西南宁·一模）已知在中，角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)设向量，求当取最大值时，的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，
所以，
，．
，
，；
（2），
所以当时，取最大值，
此时 ，
.
【题型四】 三大线：角平分线应用
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
【例1】（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.

(1)若，求△ABC的面积;
(2)若，求BP的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）中，设角A、B、C的对边分别为、、，
在中由余弦定理得，
即①
因，即，
整理得②
①②解得，
所以.
（2）因为，
所以在中由余弦定理可得，
所以
解得，
由正弦定理得，
即，解得，
所以，
中由正弦定理得，则，
解得，
所以.
【例2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，分别为边所对的角，且满足.
(1)求的大小；
(2)的角平分线交边于点，当时，求.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1），
，
，
，
，，
又，.
（2）如图，

中，由余弦定理，
可得，解得.
是角平分线，，
设，则，在中，由余弦定理可得：
，
即，
整理得，解得，
【例3】（2024·四川·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若的角平分线交于，求的长.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）
解法一：
由及正弦定理，
可得.
又，
所以.
又在中，，故，
,所以.
解法二：由及余弦定理，
可得.
即，
所以.
,所以.
（2）由（1）知.
又，
所以.
所以.
【变式1】（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得
故，进而，
由于所以
（2）由面积公式得，解得，
，，
即，，
又，，
．
【变式2】（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数．
(1)若方程在上有2个不同的实数根，求实数m的取值范围；
(2)在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，
，
当时，，则当时，单调递增，函数值从增大到2，
当时，单调递减，函数值从减小到，
方程在上有2个不同的实数根，即直线与函数在的图象有两个公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数在的图象，如图，

观察图象，当时，直线与函数在的图象有两个公共点，
所以实数m的取值范围是.
（2）由（1）知，，即，
在中，，即，则，解得，

在中，，，由正弦定理得，
则，显然，有，
于是，即有，则，是等腰三角形，
所以.
【变式3】（2024·四川广安·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若是的角平分线，，的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理得，，
所以，因为，
所以，又，所以
（2）由，得，
又，
所以，
由余弦定理得
所以.
【题型五】 三大线：中线应用
中线的处理方法
1.向量法：
双余弦定理法（补角法）：
如图设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.中线分割的两三角形面积相等
【例1】（2023·浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为且，
(1)求；
(2)求边上中线长的取值范围．
【答案】(1)6
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
整理得，
且，则，可得，即，
且，则，
由正弦定理，其中为的外接圆半径，
可得，
又因为，
所以.
（2）在中，由余弦定理，即，
则，当且仅当时，等号成立，
可得，即
设边上的中点为D，
因为，则
，
即，所以边上中线长的取值范围为.
【例2】（2023·河北沧州·三模）在中，角A，，所对的边分别为，，，，，且的面积为.若，边上的两条中线，相交于点，如图所示.

(1)求的余弦值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知，由正弦定理，得，由，得，
由的面积，得，
相除得，又，故，
由，，得，，由余弦定理得，即，，
在中，，，，满足，
所以为直角三角形，.
在中，，，
所以.
（2）在中，为边上的中线，所以，
由，分别为边，上的中线可知为的重心，
可得，，
所以 .
【例3】（2023·吉林长春·一模）在中，为边上中线，，，．
(1)求的面积；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由，，，可得，
由正弦定理得，，从而．
在中，，，，所以的面积．
（2）
以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立坐标系，
则，，，，由得，，
从而，，所以，所以．
【变式1】（2023·新疆阿勒泰·三模）在中，，为边上的中线且，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设，
因为为边上的中线，则，
可得，
即，整理得，
设，则，
可得，整理得，
关于的方程有正根，则有：
①当，即时，则，解得；
②当，即时，则，解得或（舍去），符合题意；
③当，即时，则，解得；
综上所述：，即的取值范围是.
故答案为：
【变式2】（23-24高三上·河北唐山·期末）在中，角的对边分别为，
(1)求；
(2)设边的中线，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
又因，
所以，
所以，
又，所以，
所以，即，所以，
因为，所以，
所以，所以；
（2）在中，由余弦定理得，
，即，
在中，由余弦定理得，
，
因为，所以，
则，所以，
则，
所以，
故，解得或（舍去），
所以的面积．
【变式3】（2023·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若的中线，求的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【详解】（1）由题可得，，结合正弦定理可得，
因为，所以，得，
因为，所以．
（2）易知，（技巧：向量的平行四边形法则）
两边同时平方得，得．
法一：可化为，
因为，所以，
所以，得，
当且仅当时取等号．（点拨：运用基本不等式求最值时，注意等号是否可以取到）
所以的最大值是4．
法二：，
令
则，
所以，
当且仅当，即时等号成立．（点拨：三角函数的有界性）
所以的最大值为4．
【题型六】 三大线：高的应用
高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
【例1】（2024·四川·模拟预测）在中，，，且，则边上的高 .
【答案】6
【详解】，注意到，，
可得，，，
由正弦定理得，得，
所以.
故答案为：6.
【例2】（2024·全国·一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AD是BC边上的高．．
(1)求角A；
(2)若，，求AD．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）中，，
由正弦定理，有，即，
得，
由余弦定理，，
由，得.
（2），
，
解得，则都为锐角，
有，得，
锐角中，，则有，，
由，则，
又，得，
由，得，即，
，，解得.
【例3】（23-24高三下·山东济南·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，．已知.
(1)求；
(2)若，且边上的高为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
所以，
即，
所以，
由正弦定理得，即；
（2）由题意得，，
由余弦定理得，
解得（负值舍去），
因为边上的高为，
所以，
则，所以，，
故的周长．
【变式1】（2021·湖南株洲·三模）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由及二倍角公式，
得，即，
整理得，
因此，即，而，所以．
（2）由（1）及已知，得，即有，
由余弦定理得，即，
因此，即，
于是，当且仅当时取等号，
而，
所以面积的最小值为．
【变式2】（2024·贵州·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求边上的高.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
又因为，则，所以，
整理得到，即，
因为，所以，
所以，所以.
（2）由余弦定理，且，则有，
又，解得或（舍去），
所以边上的高.
【变式3】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的正三角形的面积依次为，，，且．
(1)求角A；
(2)若，D为线段BC延长线上一点，且，，求的BC边上的高．
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）由题意得，，，
则，所以，
由余弦定理可得，又，所以；
（2）设（为锐角），在和中，
由正弦定理可得，，
于是，又，，
所以，化简得．
根据同角三角函数基本关系，可得：，
解得，负值舍去，
设，垂足为，
故的BC边上的高为．
【题型七】 图形：内切圆与外接圆
外接圆：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R为 外接圆半径
内切圆：等面积构造法求半径
【例1】（2024·吉林·二模）已知 的三个内角的对边分别为的外接圆半径为 ，且 .
(1)求;
(2)求的内切圆半径 的取值范围
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，
所以，
由可知，，
所以，故.
（2）因为的内切圆半径 ，
所以，
即，
又因为，所以，
所以，
由正弦定理
，
又，则，
所以，故，
所以.
【例2】（2023·安徽合肥·模拟预测）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，且.以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为.

(1)求角；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），则，
故，所以，
可得（负值舍），由，所以.
（2）如图，连接，由正弦定理得 ，,则，

正面积，
而，则，
在中，由余弦定理得：，
即，则，
在中，，由余弦定理得，
则，
，所以的周长为
【例3】（2023·江苏镇江·三模）在凸四边形中，.
(1)若.求的长；
(2)若四边形有外接圆，求的最大值.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）因为，所以，
所以，
由余弦定理可知，，即
（2）因为四边形有外接圆，所以，
因为，且由正弦定理可知，，
所以，即，
设，则，
由正弦定理可知，，
所以，同理可知，
所以，
因为，所以，所以当，
即时，取得最大值为.

【变式1】（2024高三·江苏·专题练习）已知点M为直角外接圆O上的任意一点，，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】
设直角外接圆的半径为，
由正弦定理得，故，
所以，
当过点圆上一点作平行于的圆的切线时，此时最大，
由于到的距离为，所以的最大值为，
故答案为：

【变式2】（23-24高三下·重庆·开学考试）已知四边形的外接圆面积为，且为钝角，
(1)求和；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）四边形的外接圆面积为,即的外接圆面积为，
设的外接圆半径为，则，解得，
在中，，即，故，
因为为钝角，所以为锐角，故，
由余弦定理得，即，
故，解得，负值舍去，
（2），
因为，所以，
在中，由正弦定理得，
又，故，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
故，
四边形的面积为.
【变式3】（2023·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为平分，且．
(1)求；
(2)求的外接圆和内切圆的面积之比．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，，．
，即
则，
平分，,
且由正弦定理得：,
,
.
即．
在中，由余弦定理得，
联立得，得.
（2）易知外接圆的半径。
设的内切圆半径为，则，
，
的外接圆与内切圆的面积之比为.
【题型八】 图形：“补角”三角形
【例1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.

(1)若，求和；
(2)若，证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）
由，，可得.
因为，所以在中，由正弦定理可得，即，
则或60°，又因为，故.
因此，又因为，所以是等边三角形，
所以，
又在中，，，故，
所以.
（2）
证明：令，，，.
因为，则.
在与中，由余弦定理可得
消去，得，整理得，
所以，即.
【例2】（2024·福建·模拟预测）在中，D为BC的中点，且.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可得，如图所示：

在中，由正弦定理得，
所以
在中，由正弦定理得，
所以
故
因为为的中点，
所以，即，
（2）由（1）不妨设
在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得.
所以.
解得.
故
【变式1】（2024·甘肃陇南·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为.已知
(1)求b；
(2)D为边上一点， ，求的长度和 的大小.
【答案】(1)
(2)1，
【详解】（1）由题意知在中，，
故，即，
由于，故；
（2）由（1）知，结合，得，

又，故，又，
则，
又，则，
故，即，即，
结合，解得，
则，，
而为锐角，故.
【变式2】（2023·全国·模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．
(1)求C；
(2)点D在边AB上，且，，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
【答案】(1)选①②答案相同，均为
(2)
【详解】（1）选条件①：
由，可得，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
故，
又，于是，即，
因为，所以．
选条件②：
由题意知，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，又，所以．
（2）由（1）得，
故，
在中，由正弦定理得，
又，所以，
在中，，
因为，故，
即，故．
又由（1）知，所以，
解得，
可得．
【题型九】 图形：四边形与多边形
【例1】（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形中，的面积为．

(1)求；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设，
因为的面积为，
所以，解得，
所以．
在中，由余弦定理得，
所以．
在中，，所以，
所以；
（2）由（1）可得，
在中，由正弦定理得，
所以，且．
由（1）可得，又，
所以．
【例2】（2024·云南大理·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，有：.
(1)求的大小；
(2)若，求平行四边形的面积.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题意得，
由正弦定理得，
，
又，则，
.
（2）在平行四边形中，，
在中，由余弦定理得，
，即，
解得：或，
当时，平行四边形的面积：
；
当时，平行四边形的面积：
.
【变式1】（2022·全国·模拟预测）如图，四边形为梯形，，，，．
(1)求的值；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，且，解得，．
而，所以，
所以
因为，所以，所以．
（2）在中，由正弦定理得，
因为，所以．
在中，由余弦定理得
，
所以．
【变式2】（23-24高三下·山东·开学考试）如图所示，圆的半径为2，直线与圆相切于点，圆上的点从点处逆时针转动到最高点处，记.
(1)当时，求的面积；
(2)试确定的值，使得的面积等于的面积的2倍.
【答案】(1)6
(2)
【详解】（1）过点作交于点，如图：
因为圆的半径为2，由题意，
又，所以的面积为.
（2）连接，设的面积为的面积为，
又，，
由题意，所以，即，所以，
因为，所以，所以，所以，
所以当时，使得的面积等于的面积的2倍.
【变式3】（2024·四川凉山·二模）如图，在平行四边形中，E，F分别是AD，CD的中点，且，，，则平行四边形的面积为 ．

【答案】
【详解】在中，延长与的延长线交于，连接，由E，F分别是AD，CD的中点，
得，则，
由，得是的中点，且，
，
，于是，
所以的面积.
故答案为：
概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
选择题、填空题、解答题☆☆☆☆☆
考向预测
正余弦定理求边，求角。
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A