新高考数学二轮复习专题培优训练专题02 平面向量（易错题+三大题型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题培优训练专题02 平面向量（易错题+三大题型）（2份，原卷版+解析版），共5页。
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】奔驰定理
【题型二】 极化恒等式
【题型三】 等和线
平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。注意题目的问法，分清投影向量、向量的投影和投影向量的模之间的区别。
易错点：投影向量、投影向量的模与向量的投影
1.同方向单位向量：的同方向单位向量为，指的是方向和相同，模长为1的向量。
2.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影.

3.投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为.
4. 向量在方向上的投影向量：设为、的夹角，则为在方向上的投影向量.
5.向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积.
易错提醒：1. 投影和投影向量的模都是数量，区别在于投影有正负，投影向量的模永远是正值。
2.投影向量结果是向量，所以是其投影（大小）乘上其同方向单位向量（方向）。
例 （多选）（2023·海南·模拟预测）已知向量，则（ ）
A．若，则
B．在方向上的投影向量为
C．存在，使得在方向上投影向量的模为1
D．的取值范围为
【答案】BCD
【详解】对于A，若，则，则，所以A错误；
对于B，在方向上的投影向量为，故B正确；
对于C，，所以在方向上投影向量的模为：
，
当时，，所以存在，使得在方向上投影向量的模为1，故C正确；
对于D，向量
，
所以，则，故D正确.
故选：BCD.
变式1：（2024·辽宁鞍山·二模）已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由向量在向量上投影向量为，
所以得，
又因为，所以，故C正确.
故选：C.
变式2：（多选）（2024·广东广州·一模）已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．向量，在上的投影向量相等D．
【答案】BC
【详解】作向量，在中，，，
由向量平分与的夹角，得是菱形，即，
对于A，与不一定垂直，A错误；
对于B，，即，B正确；
对于C，在上的投影向量，
在上的投影向量，C正确；
对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.
故选：BC
变式3：（2024·青海·一模）已知向量，，则向量在方向上的投影为 ．
【答案】/
【详解】因为向量，，所以，
则，所以向量在方向上的投影为：.
故答案为：
【题型一】奔驰定理
为内一点，，则.
重要结论：，，.
结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.
结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.
奔驰定理与三角形四心的关系：
一、三角形的“重心”
1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1
三角形中线向量式：AM=12(AB+AC)
2、重心的性质：
（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
所以OA+OB+OC=0
二、三角形的“垂心”
垂心的定义：高的交点。
"" 锐角三角形的垂心在三角形内；
"" 直角三角形的垂心在直角顶点上；
"" 钝角三角形的垂心在三角形外。
奔驰定理推论：S∆BOC:S∆COA:S∆AOB=tanA:tanB:tanC，
tanA∙OA+tanB∙OB+tanC∙OC=0.
三、三角形的“内心”
1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
2、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，
（1）ABPC+BCPA+CAPB=0（或aPA+bPB+cPC=0）
其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，
四、三角形的“外心”
1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等
2、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，
1、OA=OB=OC⟺OA2=OB2=OC2
2、OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OA+OC∙AC=0
3、若OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OC+OA∙CA=0，则O是∆ABC的外心.

【例1】（2021·四川凉山·三模）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：
①若是的重心，则有；
②若成立，则是的内心；
③若，则；
④若是的外心，，，则.
则正确的命题有 .
【答案】①②④
【详解】对于①：如图所示：因为分别为的中点，
所以,，
同理可得、，
所以，又因为
所以.①正确.

对于②：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心.②正确.
对于③：因为，所以,,,
所以,
化简得：，
又因为不共线.
所以，
.③错误.
对于④：因为是的外心，，所以,，,
因为，则，
化简得： ,由题意知不同时为正.
记,
则，
因为
所以.④正确.
故答案为：①②④.
【例2】（多选）（22-23高一下·山东·阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
【答案】ABD
【详解】对于A，取的中点D，连接，
由，则，
所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确；

对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，
所以，
即，故B正确；

对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，
则有，
所以，
，
，
所以，故C错误；

对于D，如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，

由为的垂心，，则，
又，则，，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD．
【例3】（2023高一·江苏·专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】C
【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则的方向与的角平分线一致，
由，可得，
即，
所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，
故点P的轨迹一定经过的内心.
故选：C.

【变式1】（2023·吉林·一模）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】直角三角形中，，为中点，的重心为，如图所示，

，
则，；
直角三角形中，，的外心为，则为中点，如图所示，

，则，；
直角三角形中，，的垂心为，则与点重合，，
则，；
直角三角形中，，的内心为，则点是三角形内角平分线交点，

直角三角形中，角的对边分别为，设内切圆半径为，
则，得，
，
，.
最大，所以当取最大值时，.
故选：B.
【变式2】（22-23高三上·江西·阶段练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】延长交于点P，
是的垂心，，
．
同理可得，．
又，
．
又，
．
不妨设，其中．
，
，解得．
当时，此时，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故，则，故C为锐角，
∴，解得，
故选：B．
【变式3】（2022·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，， 的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【详解】由得，
由得，
根据平面向量基本定理可得，，
所以，，
延长交于，延长交于，
则，又，所以，
所以为的平分线，
同理可得是的平分线，
所以为的内心.
故选：B
【题型二】 极化恒等式
基础知识：
简化：在△中，是边的中点，则.
【例1】已知△是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）

解析：取的中点，连接，，取的中点，连接，
由△是边长为2的等边三角形，为中线的中点，
则 ，
所以 .
【例2】在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，， ，则的值是________.
【答案】【解析】解法一：基底法
令，则，则
，
则
由，可得，因此，
因此.
解法二：极化恒等式
，
解得：所以.
【例3】已知球的半径为1， 是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由球的半径为1， 是球面上的两点，且，可得，
,故选B.
【变式1】（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】取的中点，连接，如图所示，

所以的取值范围是，即，
又由，
所以.
故选：B.
【变式2】（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
，
当与正六边形的边垂直时，，
当点运动到正六边形的顶点时，，
所以，则，即.
故选：B
【变式3】（2024·陕西安康·模拟预测）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上，为圆的直径，点是直线上任意一点；则的最小值为（ ）
A．4B．12C．16D．18
【答案】B
【详解】
对于曲线，令，则；令，则，
曲线与坐标轴的交点分别为，
设圆心，由，得，
则圆心为，半径为2，所以圆方程为，

，
当最小，即为圆心到直线的距离时，取到最小值，
圆心到直线的距离设为，则，
所以最小值为4，则的最小值为，
故选：B．
【题型三】 等和线
向量基本定理：
等和线原理：
【例1】如图， 中， 是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】，因为三点共线，所以，因此，选B.
【例2】设，，是平面内共线的三个不同的点，点是，，所在直线外任意-点，且满足，若点在线段的延长线上，则（ ）
A．，B．，C．D．
【答案】A
【详解】由题可得：，所以可化为：
整理得：，即：又点在线段的延长线上，所以与反向，
所以，故选：A
【例3】如图，∠BAC=2π3，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且AP=xAD+yAE(x、y∈R)，则x+y的取值范围是（ ）
A．1,4+23 B．4−23,4+23 C．1,2+3 D．2−3,2+3
【答案】B
【解析】
连接AM并延长分别交圆M于Q、T，连接DE，DE与AM交于R，显然AR=12AD+12AE，此时x+y=1，分别过Q、T作DE的平行线，由于AD=AE=1,∠BAC=1200 ，则AM=2,DM=3，则AQ=2−3，AR=12 ，
AQ=2−312=(4−23)AR=(2−3)AD+(2−3)AE ，此时x+y=4−23 ，同理可得：AT=(2+3)AD+(2+3)AE，x+y=4+23，选B.
【变式1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形中，，，分别为上的点，，．若线段上存在一点，使得，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
，，，，
，
，
三点共线，，解得：，，
.
故选：A.
【变式2】（2023·四川攀枝花·一模）在平面四边形中，，，，，则的最大值为（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】C
【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，
因为，，则，，
所以，，设，
则，，，
由，即，
则，即.
由可知点的轨迹为外接圆的一段劣弧，
且，则外接圆的半径为，
设外接圆的方程为，
则，解得或（舍去），
即外接圆方程为，圆心为，
因为表示外接圆劣弧上一点到直线的距离，
而圆心到直线的距离为，
要使最大，则最大，
而，即，
此时，即的最大值为3.
故选：C.

【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知点是的重心，过点的直线与边分别交于两点，为边的中点．若，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【详解】如图所示，由三角形重心的性质，可得，所以，
所以，即，
因为三点共线，可得，所以.
故选：A．

【变式4】已知扇环如图所示，是扇环边界上一动点，且满足，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，易知，
（1）当点在上运动时，向量与共线，显然，
此时，因为点在上，
其横坐标满足：，所以；
（2）当点在上运动时，向量与共线，显然，
此时，因为点在上，
其横坐标满足：，
则，所以；
（3）当点在上运动时，设，
由，得，
即，可得，
变形可得，其中，
因为是扇环边界上一动点，且满足，所以均为非负实数，
，因为，
所以当时，取得最大值，的最大值为，
由，所以当时，取得最大角，
此时取得最小值，即，
所以，的最小值为1；
（4）同理可得当点在上运动时，因为，
故的最大值为，最小值为.
综上所述，.
概率预测
☆☆☆☆
题型预测
选择题、填空题☆☆☆☆☆
考向预测
投影向量的概念