新高考数学重点专题二轮复习真题演练专题02 解三角形大题（2份，原卷版+解析版）

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基本公式：
（其中为外接圆的半径）
变形
三角形中三个内角的关系
，，
余弦定理
边的余弦定理
，，
角的余弦定理
，，
射影定理
，，
角平分线定理
在中，为的角平分线，则有
张角定理
三角形的面积公式
倍角定理
在中,三个内角的对边分别为,
(1)如果,则有:
(2)如果,则有:
(3)如果,则有:
倍角定理的逆运用
在中,三个内角A、B、C的对边分别为,
(1)如果,则有:。
(2)如果,则有:。
(3)如果,则有:。
中线长定理
为的中线,则中线定理:
证明:
在和中,用余弦定理有:
三角恒等式
在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩
模拟训练
一、解答题
1．（23·24上·宁波·一模）在中，角、、所对的边分别为、、，已知.
(1)证明：；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得出，求出的取值范围，可得出，即可证得结论成立；
（2）由可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得，
即，
即，故，
因为、，所以，则，
所以，，所以，或（舍），因此.
（2）解：因为，
故，
由，因为，故，
所以.
2．（22·23·唐山·二模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b．c．已知．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，结合余弦函数的单调性进行求解即可；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）由正弦定理得，
因为，所以，
故．
因为，所以，，
函数在上单调递减，则，
解得；
（2）由余弦定理，
得，
即，当且仅当时取等号，
故面积的最大值为．
3．（23·24上·永州·一模）在中，设所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)若的内切圆半径，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可得的值，即可得答案；
（2）利用余弦定理得，配方得，再结合的内切圆半径，利用等面积法推出，即可求得，从而求得答案.
【详解】（1）在中，由得，
即,
故，由于，
故，而，故.
（2）由可得，而，
故，则，
由的内切圆半径，可得，
即，即，
故，解得，
故的面积.
4．（22·23·东莞·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求角的大小；
(2)设，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用正弦定理求解；
（2）运用两角差公式求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：，
因为，所以，可得，
即，，又，可得；
（2）在中，由余弦定理得：，
由，以及，可得，
因为，所以A是锐角，所以，
因此，，
所以，，
综上，，.
5．（22·23·张家口·三模）在中，内角的对边分别为.
(1)若，求的面积；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得，代入，得，再根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式可得结果.
（2）根据余弦定理得，再切化弦，利用两角和的正弦公式、正弦定理变形可得结果.
【详解】（1）因为，所以，所以，即，
又，所以，所以，
所以.
（2）由，得，得，
所以，所以，
所以
.
6．（22·23下·苏州·三模）在中，，点在边上，且，.
(1)求；
(2)求的面积.
【答案】(1)6
(2)75
【分析】（1）根据已知可推得，设，即可得出，进而得出答案；
（2）设，根据直角三角形以及两角和的正切公式，即可得出，进而求出，根据三角形面积公式，即可得出答案.
【详解】（1）
由题意知，.
设，所以.
在中，，
所以，从而.
（2）设，
在中，，
在中，，
所以.
在中，由，得，
所以，
从而的面积为.
7．（22·23下·江苏·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若点D在边BC上，，，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角可得，，然后化简即可得出. 根据的范围即可得出答案；
（2）设，则，然后在和中，根据余弦定理推得.在中，由余弦定理可得.联立可解得，，然后根据面积公式即可得出答案.
【详解】（1）由正弦定理边化角可得，，
整理可得，.
因为，，
所以有，
所以.
因为，所以.
（2）
设，则，
在中，有.
在中，有.
又，所以，
所以有.
又，所以.
在中，由余弦定理可得.
又，，，
所以有.
联立，解得，所以，
所以，.
8．（22·23下·浙江·二模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法1：由可得，由正弦定理和余弦定理将等式边化角即可求出；解法2：由正弦定理可得，结合两角和的正弦公式、二倍角的正弦和余弦公式，化简可得，再由余弦定理代入即可求出；
（2）由可得，再由余弦定理即可求出；解法2：由正弦定理边化角化简已知表达式可得，再结合两角和的正弦公式，二倍角的正弦和余弦公式化简即可求出.
【详解】（1）解法1：
代入，得.
解法2：由正弦定理可得：：
代入化简，
则，
则，
因为，所以，解得：；
由余弦定理可得：，
代入化简得，解得（负值舍）.
（2）解法1：
，
，又
所以.
解法2：因为，所以，
代入，
，
，
因为，则，
化简：，
当时，则，则，舍去不满足题意；
当时，则，因为，所以.
9．（22·23·福州·三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
(1)求B；
(2)D为AC的中点，,求的面积.
【答案】(1)
(2)或,
【分析】（1）由诱导公式化简，再应用正弦定理，最后由余弦即可求出.
（2）由D为AC的中点，求出关系,可得，最后求出面积即可.
【详解】（1）
（2）D为AC的中点，,
,,
,,
或,
当时,，
时,
所以的面积为或.
10．（22·23下·湖北·二模）记的内角的对边分别为，设的外接圆半径为，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、三角变换公式可得，故可求.
（2）利用余弦定理可求，利用公式可求.
【详解】（1）因为，故，
整理得到即,
所以，而，故.
（2）由余弦定理可得，
故，解得，故.
11．（22·23下·武汉·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，．
(1)求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的平方关系与角的范围分别计算，的值，根据利用两角和的正弦公式代入计算即可；
（2）利用正弦定理计算，再由三角形面积公式计算面积.
【详解】（1）因为，，所以，
又因为，，
所以，故，
所以．
（2）由正弦定理可知：，
代入已知条件得，解得，
所以的面积为
12．（22·23·广州·三模）在△中，角的对边分别为，且，，设与的夹角为．
(1)当时，求及△的面积；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的最大值与最小值．
条件①：；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)，
(2)条件选择见解析，最大值为，最小值为0
【分析】（1）利用余弦定理可直接求，利用面积公式求解面积；
（2）先化简，选择条件①时，根据得出的范围即可求解函数的范围；选择条件②时，根据得出的范围即可求解函数的范围.
【详解】（1）由余弦定理得，
，
所以，
△的面积．
（2）
．
选择条件①：
因为，所以，
所以，，
即.
故，．
选择条件②：
因为，，
所以，故．
所以，，
即.
故，．
13．（22·23·宁德·一模）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答.
问题：已知分别为内角的对边，是边的中点，，且______.
(1)求的值；
(2)若的平分线交于点，求线段的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选择①，利用余弦定理列方程组可求，选择②，利用正弦定理及两角和差公式求角，再用余弦定理列方程组可求；
（2）先求角，再利用三角形面积公式及等面积法即可求出线段的长.
【详解】（1）选择①：设，则，
在中，，
在中，，
因为，所以，
即，所以，故．
选择②：由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，
即，
于是，因为，
所以，
设，，
在中，，即（i），
在中，，即（ii），
联立（i）（ii）解得，，，即，．
（2）选择①：由条件及小问（1）可知，，，，
则 ，因为，
所以，
由题意得，，
因为是的平分线，
所以，
所以.
选择②：由小问（1）可知，，
由题意得，，
因为是的平分线，
所以，
所以.
14．（22·23下·长沙·二模）已知向量（，），（，），.
(1)求函数的最大值及相应x的值；
(2)在△ABC中，角A为锐角且，，BC=2，求的面积.
【答案】(1)，时，取最大值 ；
(2).
【分析】（1）由平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换可得的解析式，利用正弦函数的性质可求的最大值及相应的值；
（2）由（1）及角A的范围可求角A，进而求出角B，角C，再由正弦定理可得AC的边长值，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）依题意，，
即，
所以，当，
即，时，取最大值 ；
（2）由（1）及得：，
即，
由，则，
因此，，则，
而，有，所以，
在中，由正弦定理得，
，
，
所以的面积为.
15．（23·24上·郴州·一模）已知向量，，函数.
(1)若，求的值；
(2)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量共线定理可得，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式的应用可得解；
（2）根据向量数量积公式可得，进而可得，再利用正弦定理和面积公式可将三角形面积转化为三角函数求值域问题，确定自变量范围，即可得解.
【详解】（1），，
则；
；
（2），
又，所以，，得，即，
因为，所以，
所以，
所以，
解得，则
故，
即面积的取值范围为.
16．（22·23下·河北·三模）在中，角的对边分别为，且．
(1)判断的形状；
(2)若，点分别在边上，且，求的面积．
【答案】(1)是直角三角形
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化角为边，整理即可得出结论；
（2）根据求解即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
化简得，
所以是直角三角形；
（2）由（1）得，
因为，所以，
则，
因为，
所以，
,
,
，
，
所以.
17．（22·23·邯郸·二模）已知条件：①；②；③.
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：____.
(1)求角C的大小；
(2)若，与的平分线交于点I，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①：利用余弦定理即可求解；选②：利用二倍角正弦、正弦定理边化角求解；选③：利用二倍角余弦公式计算即可；
（2）根据给定条件，结合（1）的结论求出，再利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解.
【详解】（1）选择条件①，，
在中，由余弦定理得，
整理得，则，
又，所以；
选择条件②，，
于是，
由正弦定理得，
因为，则，即，
因为，因此，即，
又，所以；
选择条件③，，则，
所以，则，又，
即有，则，所以；
（2）由（1）知，，有，
而与的平分线交于点I，即有，于是，

设，则，且，
在中，由正弦定理得，
所以，，
所以的周长为
，
由，得，
则当，即时，的周长取得最大值，
所以周长的最大值为.
18．（22·23·沧州·三模）在中，角A，，所对的边分别为，，，，，且的面积为.若，边上的两条中线，相交于点，如图所示.

(1)求的余弦值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合三角形面积公式及已知可求得，求得，再利用余弦定理求得，从而可得，由勾股定理求得，再由余弦定理计算出；
（2）是的重心，由此可得，从而得出结论．
【详解】（1）已知，由正弦定理，得，由，得，
由的面积，得，
相除得，又，故，
由，，得，，由余弦定理得，即，，
在中，，，，满足，
所以为直角三角形，.
在中，，，
所以.
（2）在中，为边上的中线，所以，
由，分别为边，上的中线可知为的重心，
可得，，
所以 .
19．（22·23·盐城·一模）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且.
(1)若角，求角；
(2)若，求的最大值
【答案】(1)
(2)最大值为
【分析】（1）运用两角和差的正余弦公式进行化简即可；
（2）根据（1）中结论运用正弦定理得到，然后把表示为的函数，再利用降次公式化简，结合内角取值范围及求解.
【详解】（1）由题意知.
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，因为，所以，
由角，所以.
（2）由（1）知，所以，，
因为，所以，
由正弦定理得：，所以，
因为，所以，
所以，
因为为锐角三角形，且，则有，得，所以，
由二次函数的性质可得，当时，取得最大值，
所以的最大值为.
20．（22·23下·江苏·三模）已知，，其中，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示可知，由最小正周期为可得，即可知，再利用三角函数单调性即可求得的单调递增区间为，；
（2）根据三角形形状可得，再由正弦定理得，又，所以.
【详解】（1）因为，，
则，
，
故，
因为最小正周期为，所以，所以，故，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）由（1）及，即，又，
所以，解得，
又为锐角三角形，即，即，
解得；
由正弦定理得，又，则，
所以.
21．（22·23·佛山·一模）在锐角三角形中，角的对边分别为，为在方向上的投影向量，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到，利用正弦定理将边化角，即可得到，再由平方关系计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及（1）的结论得到，从而求出、，再由正弦定理求出，即可求出，从而得解.
【详解】（1）由为在方向上的投影向量，则，
又，即，
根据正弦定理，，
在锐角中，，则，即，
由，则，整理可得，解得（负值舍去）.

（2）由，根据正弦定理，可得，
在中，，则，
所以，所以，
由（1）可知，则，
由，则，解得（负值舍去），
根据正弦定理，可得，则，，
故的周长.
22．（22·23下·浙江·二模）在的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)再从条件①､②这两个条件中选择一个作为已知，求的值.
条件①：的面积取到最大值；
条件②：.
（注：如果选择条件①､②分别解答，那么按照第一个解答计分.）
【答案】(1)证明见解析；
(2)选①或②，都有．
【分析】（1）已知式化为，由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦公式，商数关系变形可证；
（2）选①，由面积得取最大值时，求出，利用二倍角公式，再化为关于的二次齐次式，弦化切代入计算；选②，由正弦定理得出，再代入（1）中结论得，由平方关系求得，然后由二倍角公式计算．
【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得，
又，所以，
所以，显然，，所以；
（2）选①，的面积取到最大值，
，
所以时，取得最大值，此时，
由（1），
；
选②，，
由正弦定理得，，
由（1），，所以，，
所以，即，，
．
23．（22·23下·温州·二模）设的内角所对边分别为，若.
(1)求证：成等差数列；
(2)若为整数，，且三个内角中最大角是最小角的两倍，求周长的最小值.
【答案】(1)证明见详解
(2)15
【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换结合正弦定理可得，即可得结果；
（2）根据题意利用正、余弦定理可得，进而可得结果.
【详解】（1）因为，整理得，
即，
由正弦定理可得：，即成等差数列.
（2）由题意可得：，则，
不妨设，
因为，由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，
即，整理得，
所以，
可得周长，
可知当时，周长的取到最小值15.
24．（22·23下·浙江·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且.
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，结合整理可得角的关系；
（2）由正弦定理得，又因为为锐角三角形且，结合三角函数值域可求得线段长度的取值范围.
【详解】（1）由题意得，由正弦定理得，
因为，则，即，可得，整理得，
由余弦定理得，整理得，
由正弦定理得，
故，整理得，
又因为为锐角三角形，则，可得，
所以，即.
（2）在中，由正弦定理得，
所以，
因为为锐角三角形，且，所以，解得.
故，所以.
因此线段长度的取值范围.
25．（22·23·泉州·三模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．
(1)求B；
(2)已知D为的中点，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，边角互化，结合余弦定理即可得解.
（2）利用向量得到，从而利用数量积运算法则得到，从而得解.
【详解】（1），
，，
且，
，
两式相加得，
，即,
.
（2）因为D为的中点，所以，
所以，
，
代入，得：，或（舍去）；
.
26．（22·23·菏泽·二模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知的外接圆半径，且.
(1)求B和b的值；
(2)求AC边上高的最大值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）把给定的等式切化弦，再逆用和角的正弦求出B，利用正弦定理求出b作答.
（2）利用余弦定理、均值不等式求出的最大值，借助面积三角形求出AC边上高的最大值作答.
【详解】（1）由，得，即，
因此，在中，，即，
而，即，于是，又，解得，
因为的外接圆半径，由正弦定理得，
所以，.
（2）由（1）知，，，由余弦定理，得，
于是，当且仅当时取等号，令的边上的高为，
则由，得
所以AC边上高的最大值是.
27．（22·23·福州·二模）的角的对边分别为的面积为.
(1)若，求的周长；
(2)设为中点，求到距离的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得出和，联立求得，进而求得，结合余弦定理求出的值，进而求得结果.
（2）利用面积公式和基本不等式求最值，即可得出结果.
【详解】（1）因为，得①，
又因为的面积为，所以有②，
显然，由①②得，
所以，代入得，
在中，因为，
所以，得，
所以的周长为.

（2）因为为边上的中点，所以，
因为，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以.
设点到直线距离为，
因为，所以，
即点到直线距离最大值为.
28．（22·23·淄博·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)给出以下三个条件：①，b＝4；②；③.若以上三个条件中恰有两个正确，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解即可；
（2）先由余弦定理分析条件确定正确的是②③，然后由正弦定理求解即可.
【详解】（1）因为，
若，则，不满足，所以，
因为，所以.
（2）由及①，由余弦定理可得，
即，由，解得；
由及②，由余弦定理可得，
由可得，可得；
由及③，由三角形的面积公式可得，
可得.
经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，
故，.
代入②可得可得.
在中，由正弦定理，故.
29．（22·23·深圳·二模）已知在中，角的对边分别为.
(1)求角的余弦值；
(2)设点为的外心（外接圆的圆心），求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中， 由余弦定理可得答案；
（2）设的中点分别为，利用向量数量积公式计算可得答案.
【详解】（1）在中，，
由余弦定理；
（2）设的中点分别为，
则，
同理.

30．（22·23·潍坊·三模）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形．已知在平面凸四边形中，，，，的平分线为，且．
(1)求的面积；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用角平分线定理可得出，利用余弦定理可求得、的长，分析可知为直角三角形，利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）利用正弦定理可得出，求出的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得长的取值范围.
【详解】（1）解：由题意可得，在中，的平分线为，且，
所以，，则，
由余弦定理得，，
即，所以，，，
则，为直角三角形，故.
（2）解：在平面凸四边形中，，则，
由（1）可得，，，
在中，由正弦定理可得，
所以，，
又因为，
且，
所以，则，
所以的取值范围是．
31．（22·23·山东·二模）在中，内角、、所对的边分别为、、，已知．
(1)求角；
(2)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）分析可得，，，求出角的取值范围，由正弦定理可得出，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）解：由结合正弦定理可得：
，则，
因为、，则，所以，，
可得，故.
（2）解：由可得，所以，，
所以，，故，

在中，，，
由正弦定理可得，
所以，，
因为，则，所以，.
所以，的取值范围是.
32．（22·23·菏泽·三模）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．
(1)若，求出的值；
(2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由立方差公式及余弦定理求出，由将弦化切，利用两角和的正弦公式求出，从而求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得；
（2）由正弦定理得到，再转化为角的三角函数，结合正切函数的性质求出的取值范围.
【详解】（1）因为由正弦定理可得，
即，因为，所以，
所以，因为，所以，
由，所以，
所以，所以，
即，所以，所以，
因为，所以，
所以
.
（2）因为为锐角三角形，且，所以，
所以，解得，
又，由正弦定理，
所以
，
因为，所以，所以，所以，
即边长的取值范围为.
33．（22·23·枣庄·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可得，结合同角三角函数基本关系式即可求解的值；
（2）由（1）利用余弦定理以及基本不等式即可求解．
【详解】（1）由余弦定理知，则
所以，
所以，则
又因为，所以，
整理得，
在中，，所以．
（2）由（1）知，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
34．（22·23下·襄阳·三模）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
(1)求角的大小；
(2)若的外接圆半径为1，且的外心满足，，求的最大值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化化简，再由三角恒等变换公式即可得到结果；
（2）由题意可得，再结合平面向量的模长计算公式，将式子两边平方，再结合基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）由及正弦定理，
得
即，
,
因为
所以，
即.
由于，
所以，.
（2）∵，∴.
由，得
平方，得，
∴
解得（当且仅当时取“”，此时为正三角形）
故为正三角形时，取最大值2.
35．（22·23下·武汉·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据数量积的定义及正弦定理得，.再结合三角形的性质建立方程求解即可；
（2）根据正弦定理及面积公式直接求解即可.
【详解】（1）在中有.
即.
因为，由正弦定理可得，即.
同理，
由正弦定理可得，即.
在中有.
解得，，.
由，得：.
（2）面积，代入，，整理得：.
由（1）知，，即，.
中，由正弦定理可得，即.
所以.
36．（22·23下·黄冈·三模）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化化简，再由余弦定理即可得到，再由正弦定理的边角互化即可证明；
（2）根据题意，由正弦定理可得，再由的范围，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，即．
所以，
由正弦定理得，又由余弦定理得，
所以，故，
故，整理得．
又为锐角三角形，则，，，
所以，因此．
（2）在中，由正弦定理得，所以．
所以．因为为锐角三角形，且，
所以，解得．
故，所以．因此线段长度的取值范围.
37．（22·23下·湖南·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，，的角平分线交于点．
(1)求B；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)；
(2)12.
【分析】（1）利用三角形面积公式及二倍角的余弦公式化简，再利用正弦定理边化角结合同角公式求解作答.
（2）利用余弦定理结合（1）的结论，再判定三角形形状求解作答.
【详解】（1）在中，依题意，，即，
由正弦定理得，而，则，
有，而，，解得，
所以．
（2）在中，由余弦定理得，
解得，再由余弦定理得，而，
则，于是，，是等边三角形，
所以的周长为12．
38．（22·23下·长沙·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，C=.
(1)当 时，求的面积;
(2)求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得，分类讨论可求出a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得出结论；
（2）由余弦定理及已知条件可得，利用基本不等式可得，解得，从而可求得周长的最大值.
【详解】（1）由，得 ，
即，
即，
当 时，，得;
当时，，由正弦定理得，
由余弦定理及已知条件可得，
联立. 解得，
故三角形的面积为.
（2）法一：由余弦定理可得:，
由得，当且仅当a=b取等号.
又，即.
即周长的取值范围是.
法二:，
中，由正弦定理有，
.
即周长的取值范围是.
39．（22·23·梅州·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，点，分别在边，上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正余弦定理，结合三角恒等变换求解即可；
（2）先求得的面积为，再设，，根据余弦定理与基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，所以，
所以，
所以，所以，
因为，所以，又，所以.
（2）因为，，所以的面积为
所以的面积为.
设，，所以，即，
由余弦定理知，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
40．（22·23下·盐城·三模）在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到的长,再利用三角形的面积公式求解即可;
（2）设,,根据得到,在中,利用余弦定理得到,由两者相等结合的取值范围即可求出结果.
【详解】（1）因为,
所以,
得:,
解得,
所以.
（2）设,,
由得
,
即,
所以,
又在中,
所以,
得,
因为且,
得,
则,
所以,
即边的取值范围为.