第17讲 幂指对比较大小 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

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三、典题精练 PAGEREF _Tc232576101 \h 3
考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较 PAGEREF _Tc232576102 \h 3
考点二：引入媒介值与估算法 PAGEREF _Tc232576103 \h 3
考点三：特殊值法与不等式性质 PAGEREF _Tc232576104 \h 4
考点四：构造函数与同构法 PAGEREF _Tc232576105 \h 5
考点五：数形结合法 PAGEREF _Tc232576106 \h 6
考点六：进阶技巧（放缩法、泰勒展开与不定方程） PAGEREF _Tc232576107 \h 6
四、高考真题 PAGEREF _Tc232576108 \h 7
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷中，幂指对比较大小的考查频率不高，但一旦出现，往往以中档或偏难的单选题形式呈现，侧重考查对数方程的转化与数形结合思想的灵活运用.
2. 命题角度与特色
核心考点：主要考查对数式、指数式的大小比较，常伴随多变量的连等式或不等式.
命题趋势：从单纯的数值估算比较，向方程根的比较、函数交点横纵坐标的比较转变，强调同构思想与引入媒介值.
试题特点：计算量通常不大，但思维要求高，需要灵活运用指数函数、对数函数的单调性和图象特征，或借助特殊值法进行排除.
3. 备考策略
· 熟练掌握指数函数、对数函数的图象与性质，特别是底数对函数图象变化趋势的影响.
· 强化“引入媒介值（如0、1等）”和“设常数（如连等式设参数k）”的解题技巧，能够熟练进行指对互化.
· 培养数形结合意识，在遇到复杂的指对数连等式时，能迅速将其转化为函数图象的交点问题进行直观判断.
二、知识清单
1. 利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定 a、b、c 的大小。
2. 指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 ax1 和 ax2，利用指数函数 y=ax 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 x1a 和 x2a 利用幂函数 y=xa 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 lgax1 和 lgax2 利用对数函数 lgax 单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量 0、1 或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定。
3. 转化为两函数图象交点的横坐标
4. 特殊值法
5. 估算法
6. 放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
7. 常见函数的麦克劳林展开式
① ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+eθx(n+1)!xn+1.
② sinx=x−x33!+x55!−⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)!+(x2n+2).
③ csx=1−x22!+x44!−x66!+⋯+(−1)nx2n(2n)!+(x2n).
④ ln(1+x)=x−x22+x33−⋯+(−1)nxn+1n+1+(xn+1).
⑤ 11−x=1+x+x2+⋯+xn+(xn).
⑥ (1+x)n=1+nx+n(n−1)2!x2+(x2).
【易错提醒】
· 指数函数 y=ax 与对数函数 y=lgax 的单调性严格依赖于底数 a 与 1 的大小关系：当 a>1 时单调递增，当 02c B. b4 D. a−bd D. a>b>d>c
【考点二 方法总结】
· 遇到不同类型的数（如指数与对数混搭）时，优先考虑引入常数媒介值（如0或1）.通过判断各数与0和1的大小关系，快速实现初步分层.
· 当多个数均位于同一区间（如都大于1）且无法直接比较时，需寻找更精细的有理数媒介值（如12、32、45等）.寻找媒介值的方法通常是观察指数幂的临界状态或对数真数的平方/立方关系.
· 对于结构相似的对数乘积或大小比较，灵活运用基本不等式（如ab≤(a+b2)2）进行放缩，结合对数加法运算，能够有效建立不等关系.
考点三：特殊值法与不等式性质
考法4：利用特殊值代入或不等式性质比较
例4.（2026·安徽·淮北）已知lna>lnb>0,c>0，则（ ）
A. 2aa+b C. lga2>lgb2 D. b+ca+cb>c B. b>a>c C. b>c>a D. c>b>a
考法6：利用同构法构造函数比较
例6.（2026·山东·济南）已知正实数a,b,c满足aea=blnb=c3，则（ ）
A. a