高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第17讲指、对、幂的大小比较(微专题)(原卷版+解析)

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这是一份高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第17讲指、对、幂的大小比较(微专题)(原卷版+解析)，共8页。试卷主要包含了求同存异，利用特殊值作“中间量”，利用函数单调性比较大小．等内容，欢迎下载使用。

1. 求同存异：如果两个指数(或对数)的底数相同，那么可通过幂(或真数)的大小与指数(或对数)函数的单调性，判断出指数(或对数)的大小关系．要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．
2. 利用特殊值作“中间量”：在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，eq \f(1,2)，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围，各个击破”)；也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如lg23，可知1＝lg223. 利用函数单调性比较大小．
题型一、求同存异(化为同底或同指数)
例1 (1) (2022·怀化一模)已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3))，c＝ln3，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>c B. a>c>b
C. c>a>b D. c>b>a
(2) (2022·唐山期末)设a＝lg23，b＝lg34，c＝lg48，则( )
A. bC. a变式1、 (2022·湛江二模)若a＝lg 0.2，b＝lg32，c＝lg64，则( )
A. c>b>a B. b>c>a
C. c>a>b D. a>b>c
题型二、利用特殊值作“中间量”
例1、（2020年天津卷）设，则的大小关系为（）
A. B. C . D.
变式1、（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（）．
A．B．
C．D．
变式2、（2022·江苏海门·高三期末）已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b
变式3、（2022·江苏通州·高三期末）已知a＝，b＝lg660，c＝ln6，则（）
A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
变式4、（2021·山东青岛市·高三二模）（多选题）下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
题型三、利用函数的单调性比较大小
例3、（2020·河北邯郸市·高三期末）（多选题）设，则（）
A．B．
C．D．
变式1、（2022·山东枣庄·高三期末）已知，则（）．
A．B．C．D．
变式2、（2022·江苏常州·高三期末）已知函数图象关于点对称，且当时，则下列说法正确的是（）
A．B．
C．D．
第17讲指、对、幂的大小比较（微专题）
比较大小的基本思路：
1. 求同存异：如果两个指数(或对数)的底数相同，那么可通过幂(或真数)的大小与指数(或对数)函数的单调性，判断出指数(或对数)的大小关系．要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．
2. 利用特殊值作“中间量”：在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，eq \f(1,2)，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围，各个击破”)；也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如lg23，可知1＝lg223. 利用函数单调性比较大小．
题型一、求同存异(化为同底或同指数)
例1 (1) (2022·怀化一模)已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3))，c＝ln3，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>c B. a>c>b
C. c>a>b D. c>b>a
【答案】D
【解析】由指数函数的性质可知，a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))∈(0,1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3))∈(0,1)，c＝ln3>1，且a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))＝eq \r(3,\f(1,4))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3))＝eq \r(3,\f(1,3))，所以b>a，故c>b>a.
(2) (2022·唐山期末)设a＝lg23，b＝lg34，c＝lg48，则( )
A. bC. a【答案】A
【解析】 lg34＝lg2764＝eq \f(1,lg6427)，lg48＝lg1664＝eq \f(1,lg6416)，函数y＝lg64x在(0，＋∞)上单调递增，所以lg6427>lg6416>0，所以eq \f(1,lg6427)lg48，所以cc>b.
变式1、 (2022·湛江二模)若a＝lg 0.2，b＝lg32，c＝lg64，则( )
A. c>b>a B. b>c>a
C. c>a>b D. a>b>c
【答案】A
【解析】因为a＝lg 0.2＝lgeq \f(2,10)＝lg2－1<0，c＝lg64＝lgeq \r(,6)2>lg32＝b>0，所以c>b>a.
题型二、利用特殊值作“中间量”
例1、（2020年天津卷）设，则的大小关系为（）
A. B. C . D.
【答案】D
【解析】因为，
，
，
所以.
故选：D.
变式1、（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.
【详解】
∵，，，
∴．
故选：C.
变式2、（2022·江苏海门·高三期末）已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（）
A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．a＜c＜b
【答案】D
【解析】
【分析】
由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案.
【详解】
由题意，，，，则.
故选：D.
变式3、（2022·江苏通州·高三期末）已知a＝，b＝lg660，c＝ln6，则（）
A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性判断．
【详解】
，，，
，，
易知，所以，即，所以．
故选：A．
变式4、（2021·山东青岛市·高三二模）（多选题）下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】
A.，，，，故A不正确；
B.,,，故B正确；
C.要判断，即判定，即判定，
即，即，即成立，故C正确；
D.，，，且，
，，故D正确.
故选：BCD
题型三、利用函数的单调性比较大小
例3、（2020·河北邯郸市·高三期末）（多选题）设，则（）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】
因为，可得函数均是减函数，
可得，，所以CD不正确；
又由函数是增函数，是减函数，可得，且，
所以，所以故A正确；
因为，可得，所以函数是增函数，可得，所以B正确.
故选：AB.
变式1、（2022·山东枣庄·高三期末）已知，则（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由，得到，令，利用导数求得在上单调递增，得到，得出，进而得到，即可求解.
【详解】
因为，且在为单调递增函数，
所以，即，
令，可得，
当时，单调递减，所以在单调递增，且，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，且，
所以，即，即，所以，
又因为，所以.
故选：D.
变式2、（2022·江苏常州·高三期末）已知函数图象关于点对称，且当时，则下列说法正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由关于点对称可知，关于点对称，则为奇函数
令，则为偶函数，
又时，，即
则在上单调递增，
则有
即
就是，
故选：D

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