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    高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第17讲指、对、幂的大小比较(微专题)(原卷版+解析)
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    高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第17讲指、对、幂的大小比较(微专题)(原卷版+解析)

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    这是一份高考数学一轮复习精品导学案(新高考)第17讲指、对、幂的大小比较(微专题)(原卷版+解析),共8页。试卷主要包含了 求同存异, 利用特殊值作“中间量”, 利用函数单调性比较大小.等内容,欢迎下载使用。

    1. 求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,那么可通过幂(或真数)的大小与指数(或对数)函数的单调性,判断出指数(或对数)的大小关系.要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.
    2. 利用特殊值作“中间量”:在指数、对数中通常可优先选择“-1,0,eq \f(1,2),1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”);也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如lg23,可知1=lg223. 利用函数单调性比较大小.
    题型一、求同存异(化为同底或同指数)
    例1 (1) (2022·怀化一模)已知a=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3)),b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3)),c=ln3,则a,b,c的大小关系为( )
    A. a>b>c B. a>c>b
    C. c>a>b D. c>b>a
    (2) (2022·唐山期末)设a=lg23,b=lg34,c=lg48,则( )
    A. bC. a变式1、 (2022·湛江二模)若a=lg 0.2,b=lg32,c=lg64,则( )
    A. c>b>a B. b>c>a
    C. c>a>b D. a>b>c
    题型二、利用特殊值作“中间量”
    例1、(2020年天津卷)设,则的大小关系为( )
    A. B. C . D.
    变式1、(2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测)已知,,,则,,的大小关系为( ).
    A.B.
    C.D.
    变式2、(2022·江苏海门·高三期末)已知,c=sin1,则a,b,c的大小关系是( )
    A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b
    变式3、(2022·江苏通州·高三期末)已知a=,b=lg660,c=ln6,则( )
    A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b
    变式4、(2021·山东青岛市·高三二模)(多选题)下列不等式成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    题型三、利用函数的单调性比较大小
    例3、(2020·河北邯郸市·高三期末)(多选题)设,则( )
    A.B.
    C.D.
    变式1、(2022·山东枣庄·高三期末)已知,则( ).
    A.B.C.D.
    变式2、(2022·江苏常州·高三期末)已知函数图象关于点对称,且当时,则下列说法正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    第17讲 指、对、幂的大小比较(微专题)
    比较大小的基本思路:
    1. 求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,那么可通过幂(或真数)的大小与指数(或对数)函数的单调性,判断出指数(或对数)的大小关系.要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.
    2. 利用特殊值作“中间量”:在指数、对数中通常可优先选择“-1,0,eq \f(1,2),1”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击破”);也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如lg23,可知1=lg223. 利用函数单调性比较大小.
    题型一、求同存异(化为同底或同指数)
    例1 (1) (2022·怀化一模)已知a=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3)),b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3)),c=ln3,则a,b,c的大小关系为( )
    A. a>b>c B. a>c>b
    C. c>a>b D. c>b>a
    【答案】D
    【解析】 由指数函数的性质可知,a=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))∈(0,1),b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3))∈(0,1),c=ln3>1,且a=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))=eq \r(3,\f(1,4)),b=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up7(\f(1,3))=eq \r(3,\f(1,3)),所以b>a,故c>b>a.
    (2) (2022·唐山期末)设a=lg23,b=lg34,c=lg48,则( )
    A. bC. a【答案】A
    【解析】 lg34=lg2764=eq \f(1,lg6427),lg48=lg1664=eq \f(1,lg6416),函数y=lg64x在(0,+∞)上单调递增,所以lg6427>lg6416>0,所以eq \f(1,lg6427)lg48,所以cc>b.
    变式1、 (2022·湛江二模)若a=lg 0.2,b=lg32,c=lg64,则( )
    A. c>b>a B. b>c>a
    C. c>a>b D. a>b>c
    【答案】A
    【解析】 因为a=lg 0.2=lgeq \f(2,10)=lg2-1<0,c=lg64=lgeq \r(,6)2>lg32=b>0,所以c>b>a.
    题型二、利用特殊值作“中间量”
    例1、(2020年天津卷)设,则的大小关系为( )
    A. B. C . D.
    【答案】D
    【解析】因为,


    所以.
    故选:D.
    变式1、(2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测)已知,,,则,,的大小关系为( ).
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【分析】
    利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.
    【详解】
    ∵,,,
    ∴.
    故选:C.
    变式2、(2022·江苏海门·高三期末)已知,c=sin1,则a,b,c的大小关系是( )
    A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩,最后求得答案.
    【详解】
    由题意,,,,则.
    故选:D.
    变式3、(2022·江苏通州·高三期末)已知a=,b=lg660,c=ln6,则( )
    A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    根据对数函数的单调性判断.
    【详解】
    ,,,
    ,,
    易知,所以,即,所以.
    故选:A.
    变式4、(2021·山东青岛市·高三二模)(多选题)下列不等式成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】BCD
    【解析】
    A.,,,,故A不正确;
    B.,,,故B正确;
    C.要判断,即判定,即判定,
    即,即,即成立,故C正确;
    D.,,,且,
    ,,故D正确.
    故选:BCD
    题型三、利用函数的单调性比较大小
    例3、(2020·河北邯郸市·高三期末)(多选题)设,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】AB
    【解析】
    因为,可得函数均是减函数,
    可得,,所以CD不正确;
    又由函数是增函数,是减函数,可得,且,
    所以,所以故A正确;
    因为,可得,所以函数是增函数,可得,所以B正确.
    故选:AB.
    变式1、(2022·山东枣庄·高三期末)已知,则( ).
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    由,得到,令,利用导数求得在上单调递增,得到,得出,进而得到 ,即可求解.
    【详解】
    因为,且在为单调递增函数,
    所以,即,
    令,可得,
    当时,单调递减,所以在单调递增,且,
    所以在上恒成立,所以在上单调递增,且,
    所以,即,即,所以,
    又因为,所以.
    故选:D.
    变式2、(2022·江苏常州·高三期末)已知函数图象关于点对称,且当时,则下列说法正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【解析】由关于点对称可知,关于点对称,则为奇函数
    令,则为偶函数,
    又时,,即
    则在上单调递增,
    则有

    就是,
    故选:D
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