新高考数学一轮复习高频考点精讲+分层练第40讲 圆与圆的位置关系及圆的综合性问题（精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习高频考点精讲+分层练第40讲 圆与圆的位置关系及圆的综合性问题（精讲）（2份，原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了知识点梳理，题型分类精讲，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；两圆外切；
两圆相离；两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
【常用结论】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
二、题型分类精讲
题型一 圆与圆的位置关系
策略方法 几何法判断圆与圆的位置的步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
【典例1】已知圆，圆．试求为何值时，两圆：
(1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含．
【答案】(1)或
(2)
(3)
(4)
【分析】根据两圆方程可确定圆心和半径，根据两圆位置关系可得圆心距和两圆半径之间的关系，由此可构造方程或不等式求得结果.
【详解】（1）由圆方程知：圆心，半径；
由圆方程知：圆心，半径；
若两圆内切，则，即，又，；
若两圆外切，则，即，又，；
若两圆相切，则或.
（2）若两圆相交，则，即，
又，，即当时，两圆相交.
（3）若两圆外离，则，即 ，
又，，即当时，两圆外离.
（4）若两圆内含，则，即，
又，，即当时，两圆内含.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023高三专题练习）两圆和的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
【答案】B
【分析】先求出两圆的圆心和半径,再根据圆心距与两圆的半径和及半径差之间的大小关系,得出两圆的位置关系即可.
【详解】解:由题知, 的圆心为,半径为3,
因为,
即,圆心为,半径为4,
所以两圆心之间的距离为,
因为,
所以两圆相交.
故选:B
2．（2023高三专题练习）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．外切C．外离D．内含
【答案】B
【分析】确定两圆的圆心和半径，由圆心间的距离与半径的关系即可得解.
【详解】圆化成标准方程为，圆心，半径为，
圆，圆心，半径为，
，圆与圆的位置关系为外切，
故选：B
3．（2023高三专题练习）已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是（ ）
A．B．2C．或2D．1或
【答案】C
【分析】由圆心距等于两圆半径之差的绝对值可得结论．
【详解】由题可知圆心，半径，圆心，半径，因为圆与圆内切，所以，解得或．
故选：C．
4．（广西梧州市苍梧中学2023届高三5月份高考数学模拟试题）若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，然后设出圆心P的坐标为，圆心到点C的距离等于圆心到y轴的距离，列出方程求出圆心P的轨迹方程．
【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，
因为圆与圆关于直线对称，
所以的中点满足直线方程，解得，
过点的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为，
所以解得：，
故选：C．
5．（东北三省四城市联考暨沈阳市2023届高三二模数学试题）已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围，结合充分、必要性定义确定答案即可.
【详解】由且半径，且半径，结合a大于0，
所以时，两圆相交，则，
由选项可得A选项为的充要条件；
B、D选项为的必要不充分条件；
C选项为的充分不必要条件；
故选：C
6．（2023高三专题练习）已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】A
【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得，要使取得最大值，则，同号，不妨取，，然后利用基本不等式求得的最大值.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
由圆C1与圆C2相外切，得
即，
∴；
要使取得最大值，则，同号，不妨取，，
由基本不等式，得
，当且仅当时等号成立，
∴ab的最大值为2．
故选：A
7．（2023高三专题练习）已知点P，Q分别为圆与上一点，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．7D．10
【答案】A
【分析】根据两圆位置关系求解.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为1；
圆的圆心坐标为，半径为2；
所以两圆的圆心距，两圆外离，
所以 ，
故选：A.
8．（广东省深圳市罗湖区部分学校2024届高三上学期开学模拟数学试题）“”是“圆：与圆：存在公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用内含的定义以及充分而不必要条件的定义求解.
【详解】当两圆无公切线时，两圆内含，
圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距为，
即，解得，
所以当两圆有公切线时或，
所以能推出圆和有公切线，而圆和有公切线不能推出，
所以“”是“圆：与圆：存在公切线”的充分而不必要条件，
故选：A.
9．（黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意，圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，从而求得实数a的取值范围.
【详解】圆C：的圆心，半径，
∵圆C上至少存在一点P，使得，
∴圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，如图所示，
又圆O：的圆心，半径，
则，即，∴．
故选：B．

10．（北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足，，A为线段中点，P为圆任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得A为圆任意一点，设圆的圆心为M，从而得到为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，进而即可求解．
【详解】由，则，
又，且A为线段中点，则，
所以A为圆任意一点，
设圆的圆心为M，则，
又，所以圆O与圆M相离，
所以的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，
所以，
，
所以的取值范围为．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：依题意得的几何意义为圆与圆这两圆上的点之间的距离是解答此题的关键．
二、多选题
11．（湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期月考（三）数学试题）下列圆中与圆相切的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】求出圆的圆心及半径，求出圆心距，即可得出答案.
【详解】解：圆，化为，
则圆的圆心，半径，
对于A，圆心为，半径为，
圆心距为，
因为，所以两圆相交，故A不符题意；
对于B，圆心为，半径为，
圆心距为，
所以两圆外切，故B符合题意；
对于C，圆心为，半径为，
圆心距为，
所有两圆内切，故C符合题意；
对于D，圆心为，半径为，
圆心距为，
所以两圆外离，故D不符题意.
故选：BC.
12．（2023高三专题练习）已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的半径为18
B．圆C截x轴所得的弦长为
C．圆C与圆相外切
D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是
【答案】BC
【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1
【详解】A：将一般式配方可得：，A错；
B：圆心到x轴的距离为2，弦长为，B对；
C：由题意，，所以圆C与圆外切，C对；
D： 圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，d表示圆心与直线的距离，
，则，解之: ，D错；
故选：BC.
13．（广东省江门市部分学校2023届高三下学期开学联考数学试题）已知圆，圆，下列说法正确的是（ ）
A．若，则圆与圆相交
B．若，则圆与圆外离
C．若直线与圆相交，则
D．若直线与圆相交于，两点，则
【答案】AC
【分析】根据直线与圆相交、圆与圆位置关系逐项判断即可.
【详解】解：圆的圆心，半径
若，，则圆心，半径，则，
所以，则圆与圆相交，故A正确，B错误；
若直线与圆相交，则圆心到直线的距离，解得，故C正确；
若直线与圆相交于，两点，则圆心到直线的距离，所以相交弦长，故D错误.
故选：AC.
14．（2023高三专题练习）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】先求动点的轨迹，再利用圆与圆的位置关系可求的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】设，则
因为，故即，
故的轨迹为圆（原点为圆心，半径为，不含两点），
因为分别在第二象限和第四象限，而圆在第一象限，
又在圆上，故圆与圆有公共点，
所以即，
解得，
故选：CD.
【点睛】思路点睛：直线与圆中的隐圆问题，大多需要考虑动点的轨迹（常为圆），从而把动点的存在性问题归结圆与圆的位置关系问题.
三、填空题
15．（2023高三专题练习）已知圆与圆：相内切，则实数m的值为 ．
【答案】0或2
【分析】首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相内切求出的值为.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距，
又因为两圆内切，有或．
故答案为：0或2.
16．（黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2023届高三三模数学试题）写出一个与两坐标轴和圆：都相切的一个圆的标准方程为 ．
【答案】或或或（写出其中一个即可）
【分析】做出图像，即可求解.
【详解】圆的标准方程为，画图可知
圆和圆和圆和都与坐标轴和圆相切．
故答案为：或或或（写出其中一个即可）
17．（山东省枣庄市2023届高三下学期第二次模拟考试数学试题）满足圆与相交的一个a值为 ．
【答案】（答案不唯一，只要在区间即可）
【分析】根据两圆相交可求得圆心距大于半径之差的绝对值，小于半径之和，即可得的范围，从而可的答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
因为两圆相交，
所以，
即，解得或，
所以满足圆与相交的一个a值可以为.
故答案为：.（答案不唯一，只要在区间即可）
18．（2023高三专题练习）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为 ．
【答案】
【分析】根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.
【详解】由题意可得：，
即圆的圆心为，半径为，
即圆心到直线的距离为，
故所截弦长为．
故答案为：
19．（2023高三专题练习）若圆上存在点P，且点P关于y轴的对称点Q在圆上，则r的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出圆关于y轴的对称圆的方程，由题意知圆与圆有交点，由此可列出不等式，即可求得答案.
【详解】圆关于y轴的对称圆为圆，其方程为，
根据题意，圆与圆有交点，
又圆与圆的圆心距为，
要满足题意，只需，解得，
故答案为：
20．（重庆市2024届高三上学期9月联考数学试题）已知圆与圆内切，且圆与直线相切，则圆的圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意可得：点到直线的距离，根据两圆的位置关系列式求解即可.
【详解】设，点到直线的距离为d，
如图，只能在直线的左侧，则，

因为圆的圆心为，半径为1，
依题意可得，即，化简可得，
故圆的圆心的轨迹方程为．
故答案为：.
四、解答题
21．（2023高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程
【答案】
【分析】
根据圆C与圆A、圆B外切，得到，再利用双曲线的定义求解.
【详解】
因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为，
则，，所以，
所以点的轨迹是双曲线的一支，
又，，，
所以其轨迹方程为.
22．（2023高三专题练习）已知圆与圆外切.
(1)求实数的值；
(2)若直线与圆交于A，两点，求弦的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出两圆的半径及圆心，由两圆外切可得圆心距等于两圆半径之和，注意方程表示圆时的范围；
（2）求出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式即可得出答案.
【详解】（1）解：由圆，
得圆心，半径，
由圆，
得圆心，半径，
因为圆与圆外切，
所以，即，
解得；
（2）解：圆心到直线的距离，
所以.
题型二 圆的公共弦问题
策略方法 两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
【典例1】已知圆C的圆心为，且与直线相切．
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C与圆的公共弦的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意求得圆的半径，即可求得答案；
（2）将两圆方程相减，求出两圆的公共弦方程，根据弦长、弦心距以及圆的半径之间的关系即可求得答案.
【详解】（1）由题意得圆C的半径为，
故圆C的方程为；
（2）圆和的圆心距为，
而，即两圆相交，
将和相减得，
圆的圆心到的距离为，
故两圆的公共弦长为.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023高三专题练习）过圆与圆交点的直线方程为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】联立两圆方程求出交点坐标，再根据两点式求出直线方程，化为一般式可得解.
【详解】联立，解得或，
所以圆与圆交点为和，
所以过两圆交点的直线方程为，即.
故选：C
2．（天一大联考三晋名校联盟2022-2023学年高三下学期顶尖计划联考数学试题）已知圆和交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得相交弦所在直线方程，然后根据圆的弦长的求法求得.
【详解】将和相减得直线，
点到直线的距离，
所以．
故选：B
3．（重庆市第八中学校2023届高三下学期适应性月考（八）数学试题）圆与圆的公共弦恰为圆的直径，则圆的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，再由公共弦为直径得圆心在直线上，代入圆心坐标可求半径，进而求出圆的面积.
【详解】两圆方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为，
因为公共弦为圆的直径，
所以圆的圆心在直线上，
由解得，
所以圆的面积为.
故选：D.
4．（2023高三专题练习）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，然后k取特值解方程组可得交点.
【详解】由，
两式相减得公共弦所在直线方程为：，
分别取，得，解得，即
故选：A
5．（2023高三专题练习）已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意求解圆，的公共弦方程，再计算圆中的公共弦长即可得圆C的直径，进而求得面积即可
【详解】由题，圆，的公共弦为和的两式相减，化简可得，又到的距离 ，故公共弦长为，故圆C的半径为，故圆C的面积为
故选：B
6．（2023高三专题练习）已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的切线性质，结合圆的标准方程、圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】因为、是圆的两条切线，所以，因此点、在以为直径的圆上，因为点是直线：上的动点，所以设，点，
因此的中点的横坐标为：，纵坐标为：，
，因此以为直径的圆的标准方程为：
，而圆：，
得：，即为直线的方程，
由
，所以直线经过定点，
故选：D
【点睛】关键点睛：由圆的切线性质得到点、在以为直径的圆上，运用圆与圆的位置关系进行求解是解题的关键.
7．（2023高三专题练习）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把两圆的方程作差即可得出公共弦所在直线方程，再利用直线系方程求出x,y的值，即a,b的值，然后代入直线方程，由重要不等式求的取值范围．
【详解】由圆，圆，
两式相减，得圆与圆的公共弦所在直线方程为：，
联立，解得，即，，
又在直线上，
，即．
有，得．当且仅当时取等，
的取值范围是.
故选：C．
二、多选题
8．（2023高三专题练习）已知圆：和圆：，则（ ）
A．两圆的圆心的距离为25
B．两圆相交
C．两圆的公共弦所在直线方程为
D．两圆的公共弦长为
【答案】BD
【分析】A选项，求出两圆的圆心，进而求圆心距；B选项，利用圆心距与两半径之差和半径之和比较，确定是否相交；C选项，两圆相减即为公共弦所在直线方程；D选项，利用C选项的结果，利用点到直线距离公式求出圆心到的距离，进而利用垂径定理求出公共弦长.
【详解】圆：圆心，半径，圆：圆心，半径，圆心距，A错误；
因为，，，，两圆相交，B正确；
两圆相减得：，故两圆的公共弦所在直线方程为，C错误；
圆心到的距离为，由垂径定理得：两圆的公共弦长为，D选项正确.
故选：BD
9．（2023高三专题练习）已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A．圆和圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
【答案】ABD
【分析】A：判断两圆相交可得切线条数；B：两圆相交，做差可得公共弦方程；C：判断弦AB经过圆心，则弦为最长弦，不再存在比AB更长的弦；D：求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB的最大距离.
【详解】解：对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确；
对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.
故选：ABD.
10．（2023高三专题练习）圆和圆的交点为A，B，则（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A的正误，求出圆的圆心坐标后求出垂直平分线的方程后可判断B的正误，利用垂径定理计算弦长后可判断C的正误，求出到直线的距离后可求动点到直线距离的最大值，从而可判断D的正误．
【详解】对于选项A，因为圆，，
两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为，即，故A正确；
对于选项B，圆的圆心为，
则线段AB中垂线的斜率为，即线段AB中垂线方程为，
整理可得，故B正确；
对于选项C，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以，故C不正确；
对于选项D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，
又圆的半径，所以P到直线AB距离的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
11．（安徽省A10联盟2023届高三最后一卷数学试题）已知，，点，分别在，上，则（ ）
A．若的半径为1，则
B．若，则与相交弦所在的直线为
C．直线截所得的最短弦长为
D．若的最小值为，则的最大值为
【答案】AC
【分析】直接求的半径即可判断A；两圆方程相减即可得相交弦所在直线方程，从而判断B；易知直线过定点，当定点与圆心连线与垂直时，可得弦长最小值，从而判断C；先根据的最小值确定两圆的位置关系并求出，从而可得的最大值，可判断D.
【详解】由题意得，的圆心为，半径，，圆心为，
若的半径为1，则，解得，故A正确；
若，则，两圆方程相减，得与相交弦所在的直线为，故B错误；
易得直线过定点，且点在内，则圆心与点的距离为，则直线被所截的最短弦长为，故C正确；
若的最小值为，则与内含或外离，由点在内，得与内含，
当被内含时，有，
此时的最小值为，解得，
的最大值为，
这种情况足以判断D错误，作为选择题，则无须考虑被的情况，故D错误．
故选：AC.
三、填空题
12．（2023高三专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 ．
【答案】
【分析】利用两圆的一般方程相减即可得出结果.
【详解】联立两圆的方程得，
两式相减并化简，得，
所以两圆公共弦所在直线的方程为．
故答案为：.
13．（天一大联考皖豫名校联盟2023届高三第三次考试数学试题）已知圆与圆的公共弦经过点M，则 ．
【答案】
【分析】根据两圆的方程可得公共弦方程，然后根据点M在直线上即得.
【详解】因为圆的圆心，圆，
所以两圆的公共弦所在的直线的方程为，即，
所以，所以．
故答案为；.
14．（天津市第一中学2022届高三下学期4月第四次月考数学试题）若圆与圆相交，且公共弦长为，则 .
【答案】
【分析】两个圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，根据圆的弦长公式即可求a的值．
【详解】圆与圆的方程相减即为公共弦所在直线方程：
，
圆圆心(0，0)到公共弦距离d＝，
则公共弦长度为，解得a＝．
故答案为：．
15．（2023高三专题练习）过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为 .
【答案】
【详解】试题分析：圆（x-1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1，
以（3，1）、C（1，0）为直径的圆的方程为（x-2）2+（y-）2=，
将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程2x+y-3=0，
题型三 圆的公切线问题
策略方法 圆的切线问题
（1）圆的切线方程的求法
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
【典例1】证明圆与圆内切，并求它们的公切线方程．
【答案】证明见解析，切线方程为
【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求证，求解切点坐标，根据向量垂直关系即可求解切线方程.
【详解】将圆的方程化成标准方程，得，
则圆心坐标为，半径．
将圆的方程化成标准方程，得，
则圆心坐标为，半径．
两圆心之间的距离，因此两圆内切（如图）．

为求公切线方程，需要求切点坐标．切点是两圆唯一的公共点，
其坐标即为方程组的解．
②－①，得， ③
即． ④
将④代入②，整理得．
解此方程，得唯一解，代入④，得．故切点坐标为．
切点到圆的圆心的方向向量为，并且与切线方向垂直，
故向量是切线的法向量，因此可设切线的一般式方程为．
将切点的坐标代入上述方程，解得．
因此，所求切线方程为．
【题型训练】
一、单选题
1．（广西壮族自治区百色市贵百联考2024届高三上学期9月月考数学试题）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过，两条公切线平行于，假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线.
【详解】由两圆方程得：圆心，，半径，
两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条；
两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行，
经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：，
，解得：或，即公切线方程为：或；
，与平行的公切线方程为，即，
，解得：，即公切线方程为或；
综上所述：两圆的公切线方程为：或或或.
故选：C.
2．（2023高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】首先根据题意得到两圆相外切，即可得到答案.
【详解】根据题意，圆：，即，
其圆心为，半径；
圆：，即，
其圆心为，半径，
两圆的圆心距，所以两圆相外切，
其公切线条数有3条．
故选：C．
3．（黑龙江大庆市2023届高三三模数学试题）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【分析】由已知可推得，直线是圆与圆的公切线.根据两圆的圆心、半径，推得两圆的位置关系，即可得出答案.
【详解】由已知可得，圆心，半径.
由点到直线的距离是2，所以直线是以为圆心，为半径的圆的切线，
又直线是圆的切线，
所以，直线是圆与圆的公切线.
因为，
所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，
即满足条件的直线有4条.
故选：D.
4．（2023高三专题练习）已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离公式和两圆位置关系即可求解.
【详解】由已知直线，
则原点到直线l的距离为，
由直线l与圆相切，
则满足条件的直线l即为圆和圆的公切线，
因为圆和圆外切，
所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，
所以满足条件的直线l有3条．
故选: B．
5．（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023届高三一模数学试题）已知圆心均在轴的两圆外切，半径分别为，则两圆公切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知结合直线与圆相切，圆与圆相切性质，利用三角函数知识和斜率的知识综合即可求得结果.
【详解】如图所示，
圆心均在轴的两圆外切，画出两圆公切线, 有两条分别为，公切线与圆的切点分别为，公切线与轴的交点为，两圆圆心分别为圆与轴的上交点为，
则,
,则,
，
则,
同理可得，所以两圆公切线的斜率为.
故选：A.
6．（河北省石家庄市2023届高三质量检测（一）数学试题）“”是“圆：与圆：有公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据圆与圆的位置关系确定的取值范围，即可判断充分必要性.
【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，
若两圆有公切线，则，即，解得或，
所以“”是“圆：与圆：有公切线”的充分而不必要条件.
故选：A.
7．（山西省部分学校2023届高三下学期质量检测试题）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】B
【分析】先根据题意求得，从而得到两圆的圆心和半径，进而求得圆心距等于两半径的差，得知两圆内切，即可知道公切线只有1条.
【详解】圆：的圆心为，半径为a，
所以圆心到直线的距离为，解得或．
因为，所以.
所以圆：的圆心为，半径为．
圆：的标准方程为，
圆心坐标为，半径，
圆心距，所以两圆相内切．
所以两圆的公切线只有1条.
故选：B．
8．（2023高三专题练习）若圆与圆有且仅有3条公切线，则m=（ ）
A．14B．28C．9D．
【答案】A
【分析】分别求出两圆的圆心及半径，再根据圆与圆有且仅有3条公切线，可得两圆外切，则，从而可得答案.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为圆与圆有且仅有3条公切线，
所以两圆外切，
则，
即，解得.
故选：A.
9．（2023高三专题练习）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据两圆有4条公切线，得到两圆外离，然后根据外离列不等式，解不等式即可得的取值范围.
【详解】因为圆：与：恰好有4条公切线，所以圆与外离，所以，解得或，即实数的取值范围是.
故选：D.
二、多选题
10．（新高考地区2022-2023学年高三下学期开学考数学试卷）与圆和都相切的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】确定两圆的位置关系，设出公切线的方程，利用点到直线的距离公式列方程组求解.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则两圆心的距离，
故两圆外切，则两圆的公切线有3条，且斜率都存在，
设两圆的公切线方程为，即，
则，解得或或
故公切线方程为或或
故选：ABD.
11．（湖南省邵阳市第二中学2023届高三下学期高考全真模拟数学试题）已知圆，圆，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为
B．圆与圆有四条公切线
C．点在圆上，点在圆上，则线段长的最大值为
D．直线与圆一定相交，且相交的弦长最小值为
【答案】ACD
【分析】将圆的方程化为标准方程，可判断A选项；判断圆与圆的位置关系，可判断B选项；求出圆心距，利用圆的几何性质可判断C选项；求出直线所过定点的坐标，分析出点与圆的位置关系，并求出直线截圆所得弦长的最小值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，圆的标准方程为，圆的圆心为，故A正确；
对于B选项，圆的圆心为，半径为，圆的半径为，
圆心距为，即，
所以，圆与圆相交，故圆与圆有两条公切线，故B错误；
对于C选项，因为两圆圆心距为，
又因为在圆上，点在圆上，则线段长的最大值为，故C正确；
对于D选项，直线的方程可化为，
由得，所以，直线过定点，
因为，故点在圆内，所以直线与圆相交，
当时，圆心到直线的距离取得最大值，且最大值为，
此时，直线截圆所得弦长最小，且最小值为，故D正确.
故选：ACD.
12．（2023高三专题练习）已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A．圆和圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
【答案】ABD
【分析】A：判断两圆相交可得切线条数；B：两圆相交，做差可得公共弦方程；C：判断弦AB经过圆心，则弦为最长弦，不再存在比AB更长的弦；D：求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB的最大距离.
【详解】解：对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确；
对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2023高三专题练习）圆与圆的公切线方程为 .
【答案】或
【分析】易得公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径列方程组可解得结果即可求解
【详解】圆即，圆心，半径为，
圆即，圆心，半径为，
因为，所以，
所以两圆相交，故公切线有两条，
易得公切线的斜率存在，可设公切线方程为，即，
则可整理得，所以或，
当时，，解得或；
当时，，解得无解；
故两圆的公切线方程为即或即，
故答案为：或
14．（上海市曹杨第二中学2024届高三上学期开学考试数学试题）已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为 ．
【答案】
【分析】求解经过与圆相切的直线方程，然后判断与相切的直线方程即可．
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
当过点且与相切的直线斜率不存在时，此时直线方程为，
而直线与圆不相切，所以切线的斜率存在，
当过点且与相切的直线斜率存在时，
设切线方程为，即，
则，解得或，
故切线方程为或，
圆的圆心到直线的距离为，
所以直线与圆不相切，故不满足题意，
圆的圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切，满足题意，
综上所述，过点且与，都相切的直线方程为.
故答案为：．
15．（2023高三专题练习）已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为 .
【答案】
【分析】根据两圆公切线条数确定位置关系为外切，再由圆心距与半径的关系列方程求出m的值.
【详解】将圆C的方程化为标准方程：，
得圆心，半径.
圆，圆心，半径.
由题可知，两圆外切，
则有，
解得.
故答案为：.
16．（2023高三专题练习）已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为 .
【答案】
【分析】根据题意作出如下图形：

由圆方程求出圆心连线斜率为：，计算出圆心距，
再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形中列方程求得，联立方程即可求出，，问题得解．
【详解】根据题意作出如下图形：

AB为两圆的公切线，切点分别为A,B.
当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即
不妨设
过作AB的平行线交于点E，则：，且
,
直线的斜率为：，
所以直线AB与直线的夹角正切为：.
在直角三角形中，，所以，
又,整理得：，
解得：，又，解得：，，
所以=.
【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题．
题型四 圆的综合性问题
策略方法 几何法解决直线与圆的综合问题
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
【典例1】已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由求出点的轨迹，由直线与此轨迹存在公共点求出的范围作答.
【详解】依题意，，设点，则，
由，得，即，由已知得，
而点既在直线上，又在圆上，因此直线与圆有公共点，
又圆的圆心为原点，半径为，于是，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．（2023高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．
【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径，
过点作圆的两条切线，设切点分别为、，
而，则，
则以为圆心，为半径为圆为，即圆，
所以为两圆的公共弦所在的直线，则有，
作差变形可得：；
即直线的方程为.
故选：B.
2．（广东省湛江市2024届高三上学期摸底联考数学试题）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后的光线所在的直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．B．或1C．1D．2
【答案】C
【分析】由对称性可知反射光线过且又在该圆上，即可得为切点，再由斜率乘积为即可求出答案.
【详解】易知关于轴的对称点为，
由平面镜反射原理，反射光线所在的直线过且与该圆相切，
将圆化简后可得，所以圆心，
易知在该圆上，所以即为切点，
因此圆心与切点连线与反射光线垂直，设反射光线所在直线的斜率为，
即，解得
故选：C．
3．（浙江省嘉兴市2024届高三上学期9月基础测试数学试题）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可知点的轨迹是以的中点，半径的圆，结合圆的性质运算求解.
【详解】因为直线：，即，
令，解得，可知直线过定点，
同理可知：直线过定点，
又因为，可知，
所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆，
因为圆的圆心，半径，
所以的最大值是.
故选：B.
4．（2023高三专题练习）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，可求出的表达式，利用换元法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数性质即可求得答案.
【详解】因为点为圆上一动点，故设，
则，
令，则，
即，则，
其中为辅助角，，
则，整理得，
故的最大值为，
故选：A
5．（湖南省株洲市第二中学教育集团2023-2024学年高三上学期开学联考数学试题）如图，在平面上有一系列点，，…，…，对每个正整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的都与轴相切，且与外切.若，且，，的前项之和为，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两圆的几何关系及其圆心在函数的图象上，求出递推关系式，通过构造等差数列求得的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】因为与外切，且都与轴相切，所以，
即，所以，
因为，所以，所以，
所以数列为等差数列，首项，公差，所以，
所以，
所以，
所以
所以，
故选：D
6．（安徽省六校教育研究会2024届高三上学期入学素质测试数学试题）已知，，若动点满足，直线与轴、轴分别交于两点，则的面积的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】D
【分析】由得的轨迹为圆心为，半径为的圆，根据点到直线得距离公式求解圆上点到直线的最小距离，即可根据面积公式求解.
【详解】设，由可得，
化简可得，故动点的轨迹为圆心为，半径为的圆，
圆心到的距离为，
故圆上的点到直线的最小距离为，
由于，所以，
故的面积的最小值为，

故选：D
二、多选题
7．（河北省保定市2023届高三二模数学试题）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称
【答案】ABD
【分析】求解直线系结果的定点判断A；圆的圆心求解、判断B；求解直线被圆截的弦长判断C，利用圆的圆心到直线的距离判断D．
【详解】直线，恒过点，所以A正确；
圆的圆心坐标为，，，所以B正确；
圆的圆心坐标为，圆的半径为2．
直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：，
直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确；
当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．
故选：ABD．
8．（河南省菁师联盟2024届高三8月质量检测联考数学试题）平面区域被直线分成面积相等的两部分，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】因为平面区域表示以为圆心，半径为2的上半圆与x轴组成的封闭区域，直线表示倾斜角为，过定点的直线，根据面积关系可得，构建函数，利用判断其单调性，结合单调性逐项分析判断.
【详解】因为，整理得，表示以为圆心，半径为2的上半圆，
可知，表示以为圆心，半径为2的上半圆与x轴组成的封闭区域，
又因为直线，表示倾斜角为，过定点的直线，
设直线与半圆的另一个交点为，，
可知：，且，则，
可得直线的下半部分的面积为，
由题意可得：，
整理得，即.
令，则为的零点，
且，所以在上单调递增.
对于选项A：因为，即，故A错误；
对于选项B：因为，
且在上单调递增，所以，故B正确；
对于选项C：因为，则，
由选项B可知：，所以，故C错误；
对于选项D：因为，故D正确；
故选：BD.
9．（2023高三专题练习）若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹所围成区域的面积为
B．面积的最大值为
C．点到直线距离的最大值为
D．若圆上存在满足条件的点，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】由可整理得到点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；根据圆的面积公式可知A正确；根据点到直线的距离的最大值为可求得B正确；由圆上点到直线距离最大值为圆心到直线距离加上半径可求得C错误；根据两圆有公共点可得两圆位置关系，从而得到圆心距和两圆半径之间的关系，解不等式可求得D正确.
【详解】设，由得：，
，整理可得：，
点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；

对于A，点轨迹围成的区域面积为，A正确；
对于B，，若取得最大值，则点到直线的距离最大，即到轴的距离最大，
点到直线的距离的最大值为，
面积的最大值为，B正确；
对于C，圆心到直线的距离，
点到直线距离的最大值为，C错误；
对于D，由题意知：点的轨迹与圆有公共点，即两圆有公共点，
圆的圆心为，半径为，
两圆的圆心距为，，
解得：，即的取值范围为，D正确.
故选：ABD.
10．（辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试暨假期质量测试数学试题）太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳角，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美定义，若一个函数的图像能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆的一个“太极函数”，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．函数可以是某个圆的“太极函数”
B．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
C．圆的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数
D．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图像是中心对称图形
【答案】AB
【分析】根据给定函数的新定义，结合几何图形逐项分析判断作答.
【详解】对于A，令圆，设，显然，
即函数是奇函数，它的图象将圆O的周长与面积分别等成分两部分，如图，

所以函数可以是某个圆的“太极函数“，A正确；
对于B，函数是奇函数，它的图象将圆的周长与面积同时等分成两部分，如图，

因此正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”，B正确；
对于C，如图，函数是偶函数，，，
，，于是，
因此函数也是圆的一个太极函数，C错误；

对于D，由选项C知，圆的太极函数可以是偶函数，它的图象关于原点不一定对称，D错误.
故选：AB
【点睛】方法点睛：通过函数的新定义，结合函数图象的应用，以及对函数对称性的理解，使用数形结合的方法来分析问题.
三、填空题
11．（2023高三专题练习）设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为 ．
【答案】10
【分析】求出的坐标，表示出其模，根据P在圆上用x替换y，根据x的范围即可求出最大值.
【详解】由题意知，，
所以，
由于点是圆上的点,故其坐标满足方程，
故，
所以.
由圆的方程，易知，
所以当时，的值最大，最大值为.
故答案为：10
12．（河南省部分学校2023-2024学年高三上学期一轮复习摸底测试卷数学（二））已知点，点是直线上任意一点，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求以线段为直径的圆的方程，可知直线与圆相离，结合点到直线的距离公式运算求解.
【详解】因为线段的中点为，且，
可知以线段为直径的圆的圆心为，半径方程，方程为，
因为，则点在以线段为直径的圆外，
即直线与圆相离，
可得圆心到直线的距离，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：.

13．（2023高三专题练习）已知点和，点M满足，直线与点M的轨迹相切，则直线l的倾斜角为 ．
【答案】
【分析】设，根据题意可得点M的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，结合直线方程利用数形结合分析求解.
【详解】设，则，整理得，
所以点M的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，
因为直线表示过定点直线，斜率为的直线，
设直线与圆的切点为，则直线l的倾斜角为，

则，可得，
且为锐角，可得，所以直线l的倾斜角为.
故答案为：.
14．（河南省洛阳市等三地部分名校2023-2024学年高三上学期开学联考数学试题）已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，将求周长的最小值转化为求圆心到直线的距离，进而得解.
【详解】由圆知圆心，半径，
因为与圆相切于点，所以，
所以，所以越小，越小，

当时，最小，
因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为6，
此时，，，
故的周长的最小值为.
故答案为：.
15．（2023高三专题练习）已知的圆心在曲线上，且与直线相切，则的面积的最小值为 .
【答案】
【分析】由题设，进而根据题意得到直线的距离即为半径，再利用公式结合基本不等式求解即可得半径的最小值，进而得答案.
【详解】因为的圆心在曲线上，故设,
因为与直线相切,
所以到直线的距离即为半径，
即，当且仅当时等号成立，
所以的面积的最小值为.
故答案为:.
①圆与圆的位置关系
②圆的公共弦问题
③圆的公切线问题
④圆的综合性问题
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0