新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第40讲 圆与圆的位置关系及圆的综合性问题（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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一、知识点梳理
一、两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；两圆外切；
两圆相离；两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
【常用结论】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
二、题型分类精讲
题型一 圆与圆的位置关系
策略方法 几何法判断圆与圆的位置的步骤
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
【典例1】已知圆，圆．试求为何值时，两圆：
(1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023高三专题练习）两圆和的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
2．（2023高三专题练习）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交B．外切C．外离D．内含
3．（2023高三专题练习）已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是（ ）
A．B．2C．或2D．1或
4．（广西梧州市苍梧中学2023届高三5月份高考数学模拟试题）若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（东北三省四城市联考暨沈阳市2023届高三二模数学试题）已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023高三专题练习）已知圆：与圆：相外切，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．4
7．（2023高三专题练习）已知点P，Q分别为圆与上一点，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．7D．10
8．（广东省深圳市罗湖区部分学校2024届高三上学期开学模拟数学试题）“”是“圆：与圆：存在公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足，，A为线段中点，P为圆任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期月考（三）数学试题）下列圆中与圆相切的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023高三专题练习）已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的半径为18
B．圆C截x轴所得的弦长为
C．圆C与圆相外切
D．若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是
13．（广东省江门市部分学校2023届高三下学期开学联考数学试题）已知圆，圆，下列说法正确的是（ ）
A．若，则圆与圆相交
B．若，则圆与圆外离
C．若直线与圆相交，则
D．若直线与圆相交于，两点，则
14．（2023高三专题练习）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
15．（2023高三专题练习）已知圆与圆：相内切，则实数m的值为 ．
16．（黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2023届高三三模数学试题）写出一个与两坐标轴和圆：都相切的一个圆的标准方程为 ．
17．（山东省枣庄市2023届高三下学期第二次模拟考试数学试题）满足圆与相交的一个a值为 ．
18．（2023高三专题练习）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为 ．
19．（2023高三专题练习）若圆上存在点P，且点P关于y轴的对称点Q在圆上，则r的取值范围是 .
20．（重庆市2024届高三上学期9月联考数学试题）已知圆与圆内切，且圆与直线相切，则圆的圆心的轨迹方程为 ．
四、解答题
21．（2023高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程
22．（2023高三专题练习）已知圆与圆外切.
(1)求实数的值；
(2)若直线与圆交于A，两点，求弦的长.
题型二 圆的公共弦问题
策略方法 两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
【典例1】已知圆C的圆心为，且与直线相切．
(1)求圆C的方程；
(2)求圆C与圆的公共弦的长．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023高三专题练习）过圆与圆交点的直线方程为（ ）.
A．B．
C．D．
2．（天一大联考三晋名校联盟2022-2023学年高三下学期顶尖计划联考数学试题）已知圆和交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（重庆市第八中学校2023届高三下学期适应性月考（八）数学试题）圆与圆的公共弦恰为圆的直径，则圆的面积是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023高三专题练习）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023高三专题练习）已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023高三专题练习）已知圆：，点是直线：上的动点，过点引圆的两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点（ ）
A．B．C．D．
7．（2023高三专题练习）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023高三专题练习）已知圆：和圆：，则（ ）
A．两圆的圆心的距离为25
B．两圆相交
C．两圆的公共弦所在直线方程为
D．两圆的公共弦长为
9．（2023高三专题练习）已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A．圆和圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
10．（2023高三专题练习）圆和圆的交点为A，B，则（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
11．（安徽省A10联盟2023届高三最后一卷数学试题）已知，，点，分别在，上，则（ ）
A．若的半径为1，则
B．若，则与相交弦所在的直线为
C．直线截所得的最短弦长为
D．若的最小值为，则的最大值为
三、填空题
12．（2023高三专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为 ．
13．（天一大联考皖豫名校联盟2023届高三第三次考试数学试题）已知圆与圆的公共弦经过点M，则 ．
14．（天津市第一中学2022届高三下学期4月第四次月考数学试题）若圆与圆相交，且公共弦长为，则 .
15．（2023高三专题练习）过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为
题型三 圆的公切线问题
策略方法 圆的切线问题
（1）圆的切线方程的求法
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①点在圆上，
法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．
法二：圆心到直线的距离等于半径．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆上一点的切线方程是；
过圆上一点的切线方程是．
过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．
【典例1】证明圆与圆内切，并求它们的公切线方程．
【题型训练】
一、单选题
1．（广西壮族自治区百色市贵百联考2024届高三上学期9月月考数学试题）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（黑龙江大庆市2023届高三三模数学试题）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
4．（2023高三专题练习）已知直线与圆相切，则满足条件的直线l的条数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023届高三一模数学试题）已知圆心均在轴的两圆外切，半径分别为，则两圆公切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．（河北省石家庄市2023届高三质量检测（一）数学试题）“”是“圆：与圆：有公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（山西省部分学校2023届高三下学期质量检测试题）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
8．（2023高三专题练习）若圆与圆有且仅有3条公切线，则m=（ ）
A．14B．28C．9D．
9．（2023高三专题练习）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
10．（新高考地区2022-2023学年高三下学期开学考数学试卷）与圆和都相切的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（湖南省邵阳市第二中学2023届高三下学期高考全真模拟数学试题）已知圆，圆，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为
B．圆与圆有四条公切线
C．点在圆上，点在圆上，则线段长的最大值为
D．直线与圆一定相交，且相交的弦长最小值为
12．（2023高三专题练习）已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A．圆和圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
三、填空题
13．（2023高三专题练习）圆与圆的公切线方程为 .
14．（上海市曹杨第二中学2024届高三上学期开学考试数学试题）已知圆和圆，则过点且与，都相切的直线方程为 ．
15．（2023高三专题练习）已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为 .
16．（2023高三专题练习）已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为 .
题型四 圆的综合性问题
策略方法 几何法解决直线与圆的综合问题
(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
【典例1】已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（广东省湛江市2024届高三上学期摸底联考数学试题）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后的光线所在的直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．B．或1C．1D．2
3．（浙江省嘉兴市2024届高三上学期9月基础测试数学试题）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023高三专题练习）已知点，点为圆上一动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
5．（湖南省株洲市第二中学教育集团2023-2024学年高三上学期开学联考数学试题）如图，在平面上有一系列点，，…，…，对每个正整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的都与轴相切，且与外切.若，且，，的前项之和为，则（ ）

A．B．C．D．
6．（安徽省六校教育研究会2024届高三上学期入学素质测试数学试题）已知，，若动点满足，直线与轴、轴分别交于两点，则的面积的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
二、多选题
7．（河北省保定市2023届高三二模数学试题）已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称
8．（河南省菁师联盟2024届高三8月质量检测联考数学试题）平面区域被直线分成面积相等的两部分，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023高三专题练习）若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹所围成区域的面积为
B．面积的最大值为
C．点到直线距离的最大值为
D．若圆上存在满足条件的点，则的取值范围为
10．（辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试暨假期质量测试数学试题）太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳角，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美定义，若一个函数的图像能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆的一个“太极函数”，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．函数可以是某个圆的“太极函数”
B．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
C．圆的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数
D．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图像是中心对称图形
三、填空题
11．（2023高三专题练习）设点是圆：上的动点，定点，则的最大值为 ．
12．（河南省部分学校2023-2024学年高三上学期一轮复习摸底测试卷数学（二））已知点，点是直线上任意一点，且，则实数的取值范围是 ．
13．（2023高三专题练习）已知点和，点M满足，直线与点M的轨迹相切，则直线l的倾斜角为 ．
14．（河南省洛阳市等三地部分名校2023-2024学年高三上学期开学联考数学试题）已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为 .
15．（2023高三专题练习）已知的圆心在曲线上，且与直线相切，则的面积的最小值为 .
①圆与圆的位置关系
②圆的公共弦问题
③圆的公切线问题
④圆的综合性问题
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0