2025~2026学年河北承德市高新区第一中学下册期中考试高一数学试题 [含答案]

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1. 下列说法不正确的是（ ）
A. 单位向量的模一定相等
B. 若，则
C. 在等边三角形中，与的夹角为
D. 若，则平面四边形一定是平行四边形
【正确答案】B
【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相等向量的定义判断B；根据向量夹角的定义判断C；根据平行四边形的判定判断D．
【详解】对于A，单位向量为模为1的向量，故A正确；
对于B，若，由于方向不确定，故不一定相等，故B错误；
对于C，在等边三角形中，与的夹角为，故C正确；
对于D，若，则平面四边形一定是平行四边形，故D正确．
2. 中，，，是的中点，则（ ）
A. B. 7C. D. 25
【正确答案】A
【详解】因为是的中点，所以，又，
所以.
3. 将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【详解】的图象上的所有点向左平移个单位长度，
得到，故B正确.
4. 已知函数的最小正周期为4，且，则（ ）
A. B. C. 0D.
【正确答案】D
【详解】由函数的最小正周期为4，得，解得，
由，得，解得，
所以.
5. 已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先由最小正周期求，根据求，再结合余弦函数的单调递增区间推导的增区间，结合选项得出结果.
【详解】由于函数最小正周期，得，
由，且，得，因此，
令，解得：，
当时，一个递增区间为，而，
所以函数在上单调递增.
6. 记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或直角三角形
【正确答案】C
【分析】应用正弦定理得出，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状.
【详解】因为，由正弦定理得，又，故，
由余弦定理得，故，
得，所以，
得，
所以，或，，所以为钝角三角形.
7. 在中，角的对边分别是，若，则的面积为（ ）
A. B. 1C. 5D.
【正确答案】D
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再利用余弦定理求，结合三角形面积公式求出面积即可求解．
【详解】在中，由正弦定理得：，
因此，
则，
而，由余弦定理可得，
即，解得或（舍去），
所以．
8. 设，，，则有（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】由辅助角公式、两角和的正切公式、及余弦二倍角公式化简，结合正弦函数的单调性即可判断.
【详解】
，
，
，
由在的单调性可知.
二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小值为
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【正确答案】AB
【分析】对A：利用值域即可得函数值域，即可得其最小值；对B：借助代入检验法计算即可得；对C：求出范围可得函数在区间上单调性；对D：借助平移变换性质计算即可得.
【详解】对于A，由，故，即函数的最小值为，故A正确；
对于B，当时，，
由点是函数图象的一个对称中心，
故点是函数图象的一个对称中心，故B正确；
对于C，时，，则函数在区间上单调递减，故C错误；
对于D，将的图象向左平移个单位长度，可得，故D错误.
10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则符合条件的有且仅有一个
B. 若，则是等边三角形
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则为等腰三角形
【正确答案】BCD
【分析】由余弦定理解得第三边长可判断A；由余弦函数的值域可判断B；利用等式变形为边长间关系可得C；先由正弦定理边化角和平方关系得到，再结合余弦型函数的单调性可得D.
【详解】由余弦定理得，即，解得，故符合条件的有两个，A错误；
由于，所以，
故0，整理得，所以为等边三角形，B正确；
因为，所以，，所以是锐角三角形，C正确；
由正弦定理及，得，
所以，即，
显然，，
函数在，上单调递增，且当时，，当时，，
由，可得，是等腰三角形，D正确．
11. 已知向量，则（ ）
A. 当时，
B. 存在，使
C. 当时， 在方向上的投影向量为
D. 当与的夹角为锐角时，
【正确答案】AD
【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据向量模的坐标运算判断B，根据投影向量的计算公式求解判断C，根据数量积的坐标运算判断D.
【详解】对A，，则，解得，A正确；
对B，，若，则，
即，故不存在，使，B错误；
对C，当时，，，
在方向上的投影向量为，C错误；
对D，当与夹角为锐角时，且不共线，
即且，解得，D正确．
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12. 已知为锐角，，则__________．
【正确答案】
【分析】借助同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式计算即可得.
【详解】由，为锐角，则，
由为锐角，则，又，故，
则，
故
，
又为锐角，故.
13. 化简___________．
【正确答案】
【详解】
14. 已知边长为2的菱形，，设中点为，，点为线段上一点，且满足，则__________；此时__________．
【正确答案】 ①. ②.
【分析】设，用，表示出，列方程组即可求出；用，表示出，根据向量数量积的运算律即可求出.
【详解】设.
，，
.
.
又，所以，解得.
此时.
.
所以
.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知，，，设，，．
（1）若，求实数，的值；
（2）若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标．
（3）若 与垂直，求的值．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据向量的坐标表示和线性运算坐标表示列方程组计算即可求解；
（2）根据，设，结合向量线性运算坐标表示计算即可求解；
（3）根据向量线性运算坐标表示结合题意列式计算即可求解.
【小问1详解】
因为，且，
所以，
所以，
因为，所以可得，解得．
【小问2详解】
因为线段的三等分点为（点靠近点），
所以，
设，即，
得到，解得，即点的坐标为．
【小问3详解】
a+λb=(5, −5)+λ(−6, −3)=(−6λ+5, −5−3λ) ，
由于与垂直，∴，∴．
16. 在中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解；
（2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数有界性运算求解.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得 ，
则 ，即，
又因为，
则，
即，
且，则，即，可得，
又因为，则，
可得，所以.
【小问2详解】
由正弦定理得，则，
由余弦定理得，即，
可得，
又因为
，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，可得，
则，可得，即，
所以的取值范围为.
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期和增区间；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）最小正周期为，增区间为；
（2）
【小问1详解】
，
所以的最小正周期为，
令，则，
所以的增区间为；
【小问2详解】
当时，，则，故，
令，得，即实数的取值范围是.
18. 已知.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调增区间；
（3）将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象.若图象关于点对称，求函数的解析式.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后根据周期公式即可求解；
（2）根据正弦函数的单调增区间即可求解；
（3）首先根据图像平移得出，然后根据正弦函数的对称性求出.
【小问1详解】
因为，
所以函数的最小正周期为.
【小问2详解】
由，可得，
所以函数的单调增区间为.
【小问3详解】
将函数的图象上的所有点沿向量平移，
得到的图象，所以，
由的图象关于点对称，可得，
所以，解得，
又，当时，，故.
19. 如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．
（1）若，求的值；
（2）求的长；
（3）求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】建立平面直角坐标系，明确各点的坐标.
（1）用表示，可得的值，可求的值.
（2）设，利用可求的值.
（3）利用坐标运算得到，再结合二次函数的值域求的范围.
【小问1详解】
如图：
以为原点，建立如图平面直角坐标系，设，，
则，，，，，.
所以，
又，，所以.
又，所以，，
所以.
【小问2详解】
因为，，
由，又，所以.
故.
【小问3详解】
设，，
则，，
所以，
当时，；当或时，.
所以.