河北省承德市高新区第一中学2024--2025学年高一下学期期中考试数学试卷

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一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
2.已知点，，且，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.在中，已知，判断的形状（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
4.如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.
7.已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.如图，在中，，，为上一点，且，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是( )
A. 在△ABC中，若CA→+CB→=2CD→，则D是AB的中点
B. 已知A，B，C是平面内任意三点，则AB→+BC→+CA→=0→
C. 若O，A，B，C是同一平面上的四个点，若OA→=λOB→+1−λOC→λ∈R，则A，B，C三点共线
D. 若GA→+GB→+GC→=0→，则G为△ABC的外心
10.若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 角C为钝角 B.
C. D. 的最小值为
11.衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（ ）
A. 点P第一次达到最高点，需要20秒
B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米
D. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12.＝________.
13.函数f(x)＝sin xcs x－ln |x|的零点个数为________．
14.已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，点E是边CD上的一点，设AE→在AC→上的投影向量为a→，且满足a→=34AC→，则CE→等于 ；延长线段AE至点F，使得AE=2EF，若点H在线段BC上，则FH→⋅AH→的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(本小题13分）已知是同一平面内的两个向量，其中 且
（1）若求的坐标；
（2）若求与的夹角.
16.(本小题15分）已知向量，．
（1）若，，求的值；
（2）设函数，求图像的对称中心坐标，并写出的图像经过怎样的平移变换，可以得到一个奇函数的图像（写出一种变换方式即可）．
17.(本小题15分）已知．
（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求的单调增区间；
（3）当时，求函数的最大值和最小值．
18.(本小题17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若的角平分线交AC于点D，，，求BD；
（3）若的外接圆的半径为，求的取值范围．
19.(本小题17分）用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2.
（1）求的最小值；
（2）证明：为定值，并求出该定值；
（3）设的面积为，求的最小值.
参考答案：
1.【答案】A
【解析】将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得，
再将图象向右平移个长度单位，根据函数图象平移中，“左加右减”法则，得到的曲线的解析式为，对应选项A.
2.【答案】A
【解析】已知点A3,−2，B−5,−1，且AP→=12AB→.
设点P坐标为x,y，则AP→=x−3,y+2，AB→=−8,1.
由AP→=12AB→可得x−3,y+2=12−8,1=−4,12.
从而x−3=−4，y+2=12，解得x=−1，y=−32，故点P坐标为−1,−32.
3.【答案】D
【解析】由正弦定理(为外接圆的半径)，得，,则由，得，即，即，
所以.因为,是三角形内角，所以，即，所以为等腰三角形.对应选项D.
4.【答案】D
【解析】由题意因为，为线段的中点，则
．
5.【答案】A
【解析】由3sinα+csα=23，可得sinα+π6=13.
根据二倍角公式，cs2α+π3=1−2sin2α+π6=79.又sin2α−π6=−cs2α+π3=−79.
6.【答案】C
【解析】当时，，当时，，
因为函数在上存在最值，所以，解得，
因为函数在上单调，所有，
所以其中，所以，所以，解得，又因为，则，当时，；当时，；当时，．
又因为，所以的取值范围是.
7.【答案】B
【解析】由f(0)=3，代入f(x)=2sin⁡(ωx+φ)可得：
2sin⁡φ=3，则sin⁡φ=32.
又|φ|