2025~2026学年河北承德市高新区第一中学下册期中考试高二数学试题 [含答案]

这是一份2025~2026学年河北承德市高新区第一中学下册期中考试高二数学试题 [含答案]试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若函数，则的图象在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】将函数求导得，则切线的斜率，
又，则切线方程为，即．
2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（ ）

A. 在单调递增B. 在处取得极大值
C. 在单调递增D. 在处取得最大值
【正确答案】C
【详解】由导函数的图象，可得：
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，但不一定为函数的最大值
3. 二项式的展开式中，常数项为（ ）
A. 40B. 80C. 90D. 100
【正确答案】B
【详解】根据题意，，
令，得，
所以常数项为.
4. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班女生占，乙班女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是男生的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】通过定义样本空间的划分事件，利用全概率公式，结合各班的人数占比与男生占比，分步计算出遇到男生的总概率.
【详解】设事件为“遇到的同学是男生”，事件为“遇到的同学来自甲班”，事件为“遇到的同学来自乙班”.
由两班人数比得：，.
甲班男生占比：，乙班男生占比.
由全概率公式：
.
5. 从0，1，2，3，4这五个数中随机选取4个不同的数，组成的四位偶数有（ ）个
A. 36B. 48C. 60D. 68
【正确答案】C
【详解】四位偶数要求个位为偶数，且千位不能为0，按个位是否为0分两类计算：
情况1：个位为0. 只需从剩余的1,2,3,4这4个数中选3个排列在千位、百位、十位，
排列数为；
情况2：个位为2或4. 个位有种选择；千位不能为0，也不能与个位重复，共种选择；
剩余百位、十位从剩下的3个数中选2个排列，排列数为；
该情况总个数为.
两类相加，总共有个符合要求的四位偶数.
6. 若函数在定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】将零点问题转化为交点问题，数形结合可解.
【详解】函数在内有两个不同的零点，
即在内有两个不等实根.
设，，则，
由解得，
所以为上的减函数，为上的增函数.
则，
而当且时，；当时，.
如下图：
由题可知和有两个不同交点，所以有.
7. 若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】求导得，转化为在上有解，最后分离参数即可.
【详解】函数，则 ，
因为在上存在单调递增区间，所以在上有解，
所以当时，有解，
令，而当时，令 ，
即为，
此时(此时)，所以，
故实数a的取值范围为.
8. 已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，有两种取球方式：①不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，设第二次取到2个红球的概率为；②一次性任取2个球，设取到2个红球的概率为，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由全概率公式和概率乘法公式求出，得到答案
【详解】不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，
第一次任取1个球为红球，第二次任取2个球均为红球的概率为，
第一次任取1个球为白球，第二次任取2个球均为红球的概率为，
故，
一次性任取2个球，取到2个红球的概率为，
故.
二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，则m的值可以为（ ）
A. 1B. 5C. 7D. 8
【正确答案】AC
【详解】已知，
则，，解得.
若，解得.
若，解得.
10. 甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ）
A. 不同的安排方法共有种
B. 甲志愿者被安排到学校的概率是
C. 若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有60种
D. 在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是
【正确答案】BCD
【详解】对于A，共有种不同的安排方法，A错误；
对于B，若学校只有一个人，则有种安排方法，
若学校只有2个人，则有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到学校有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到学校的概率是，B正确；
对于C，共有种不同安排方法，C正确；
对于D，在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的安排方法有24种，
所以在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是，故D正确.
11. 函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则函数的极大值点为
C. 当时，函数有2个零点
D. 当时，函数在上的取值范围是
【正确答案】AD
【分析】A直接代入求解即可；B利用导数分析的单调性，进而可得极值点；C利用导数分析的单调性，进而可得零点；D导数研究单调性，进而求值域.
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
令，解得或.
A：若，解得，故A正确；
B：若，则，
当时，；当时，；
所以在内单调递增，在内单调递减，
所以为的极小值点，故B错误；
C：若，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则的极大值为，极小值为，
当趋近于时，趋近于，所以有且仅有1个零点，故C错误；
D：若，则在上恒成立，
所以在上单调递增，而，，
所以在上的值域为，故D正确.
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12. 小杨同学每天的运动计划主要是两种方式：室内健身和户外运动．第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．若第一天选择室内健身，则第二天继续选择室内健身的概率为；若第一天选择户外运动，则第二天选择室内健身的概率为．小杨同学第二天去室内健身的概率为______；若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为______．
【正确答案】 ①. ②. ##
【分析】用全概率公式进行求解.
【详解】设第一天选择室内健身为事件，第一天选择户外运动为事件，第二天选择室内健身为事件.
则由题意得：，，，，
由全概率公式得：，
.
13. 已知，则___________．
【正确答案】
【分析】根据题意，分别令和，得到运算结果，两式相加，进而得到答案.
【详解】由，
令，则 ①；
令，则，
即 ②．
，得．
14. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则的值为__________.
【正确答案】0或1
【分析】根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程，分析可知方程有且仅有一个解，分析讨论即可.
【详解】令，，
则，可得，，
则在点处的切线方程为，
令，则，
由题意可知方程有且仅有一个解，
若，则有且仅有一个解，符合题意；
若，则，解得；
综上所述：或1.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？（用数字作答）
（2）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字且大于30000的五位数？（用数字作答）
（3）用0，1，3，6，8这5个数字可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？（用数字作答）
【正确答案】（1）96；（2）72；（3）60
【分析】（1）先排万位，再排其它位置，根据分步乘法计数原理计算及排列求解即可；
（2）先排万位，再排其它位置，根据分步乘法计数原理及排列求解即可；
（3）分个位是0和个位不是0，两种情况讨论，再根据分步乘法和分类加法计数原理及排列求解即可.
【详解】（1）万位只能从1，3，6，8这4个数字中选一个，有4种选法，
其余四位有，所以可以组成个没有重复数字的五位数；
（2）万位只能从3，6，8这3个数字中选一个，有3种选法，
其余四位有，所以可以组成个没有重复数字的五位数且大于30000的五位数；
（3）当个位是0时，有个，
当个位不是时，个位只能是或，万位不能为且不能与个位数字相同，
万位是除以外的数，因此有个，
所以可以组成个没有重复数字的五位偶数.
16. 已知的展开式中各二项式系数的和为32.
（1）求的值，并求展开式中二项式系数最大的项；
（2）展开式中是否有常数项？若有，请求出该项；若没有，请说明理由；
（3）求展开式中各项系数的和.
【正确答案】（1），，
（2）没有，理由见解析
（3）1
【分析】（1）根据二项式系数和公式求出的值，再根据展开式的通项求展开式中二项式系数最大的项；
（2）根据通项公式，令通项中的指数为0，求解判断；
（3）令，代入原式即可求解.
【小问1详解】
由题可知，所以，
则展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项，
所以，
【小问2详解】
展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中没有常数项；
【小问3详解】
令，则，
展开式中各项系数的和为1
17. 已知函数．
（1）求函数的导函数；
（2）求的极值；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）极小值为1，无极大值
（3）
【分析】（1）根据复合函数求导、导数四则运算求得正确答案.，
（2）求导，根据导数求解单调性，即可求解极值，
（3）将恒成立问题参数分离，构造函数，即可求导求解最值．
【小问1详解】
由得.
【小问2详解】
令，则，故在单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取极小值，无极大值，
【小问3详解】
由得，故，
构造函数，则，令，则，
故当时，单调递增，时，单调递减，
故当取极小值也是最小值，，
所以，即
18. 某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品．
（1）求自动检测判断零件为次品的概率．
（2）求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率．
（3）假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率．
【正确答案】（1）
（2）0.9 （3）
【分析】（1）利用全概率公式计算可得.
（2）先由互斥事件和的概率与条件概率计算，再由条件概率计算即可；
（3）根据条件概率公式求解即可.
【小问1详解】
设事件表示“零件是次品”，表示“自动检测判断零件为次品”，
事件分别表示零件是一等品、二等品，
则．
【小问2详解】
由（1）知，则．
所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为
【小问3详解】
设事件表示“零件需要进行人工抽检”，表示“人工抽检的零件为一等品”，
则，，
所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为
．
19. 已知函数.
（1）若是函数的极值点，求a的取值；
（2）讨论的单调区间；
（3）设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围.
【正确答案】（1）−1 （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减
（3）
【分析】（1）由为极值点,先利用处导数为0求出,再回代验证确为极值点.
（2）求导后讨论在上的符号.
（3）将“对任意，均存在”转化为恒成立，再利用导数求的最大值.
【小问1详解】
由,得.
因为是函数的极值点,所以,即,得.
当时,.
当时,；当时,..
所以是的极大值点,符合题意.
【小问2详解】
由，且.
当时，，所以，故在上单调递增.
当时，由得.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
【小问3详解】
因为，所以在上的最大值为.
题意等价于对任意，都有，即在上恒成立.
若，则当时，，不符合题意.
若，由小问2知在处取得最大值，且最大值为
所以需，即，得.
又，所以，即.
故的取值范围为.
第（3）问中“任意均存在”的关键是利用在上的最大值，将问题转化为在上恒成立.