人教版八年级数学下册期末复习 专题01 二次根式(期末复习知识清单)

这是一份人教版八年级数学下册期末复习 专题01 二次根式(期末复习知识清单)，共10页。学案主要包含了二次根式的概念，二次根式的性质，二次根式的乘除，最简二次根式，二次根式的加减，二次根式的混合运算等内容，欢迎下载使用。

一、二次根式的概念
1、二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数.
①二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数；
②被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子.
【注意】 二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“ ”，不能从化简结果上判断，如4 ，9是二次根式；“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有.
2、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：a有意义=> a≥0,
a无意义， a＜0.
二、二次根式的性质
1、a 的性质： a≥0； a≥0（双重非负性）．
2、（a）2（a≥0）的性质：（a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
3、a2 的性质： a2=|a|=a(a＞0)0(a=0)−a(a＜0)（算术平方根的意义）．
三、二次根式的乘除
1、二次根式的乘法法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
用字母表示为：a•b=a⋅b（a ≥0，b≥0）.
（1）法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数.
（2）二次根式的乘法法则推广：
①a•b•c=a⋅b⋅c（a ≥0，b ≥0，c≥0）.
②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.即 ma⋅ nb = m nab（a≥0，b≥0）.
2、积的算术平方根性质：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积.
即：a⋅b=a•b（a≥0，b≥0）
3、二次根式的除法法则：两个算术平方根的商，等于各个被开方数相除商的算术平方根.
用字母表示为：ab=ab（a≥0，b＞0）．
4、商的算术平方根性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）.
即：ab=ab（a≥0，b＞0）
【注意】
①该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0.
②该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为ab（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可.
四、最简二次根式
1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
五、二次根式的加减
1、同类二次根式：同类经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被为同类二次根式.
（1）同类二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式．
（2）同类二次根式的合并的方法别：①化为最简二次根式；②系数相加减；③二次根式不变.
【注意】
（1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关.
（2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如2+3为最终的结果，而不能错误地合并为5.
2、二次根式加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并.
(1)二次根式的加减法的解题步骤:
①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式
②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式
③ “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
(2)整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用.
【注意】
（1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并；
（2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分.
六、二次根式的混合运算
1、二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算.
2、二次根式的混合运算顺序：
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
3、二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用.
题型一 二次根式的识别
【例1】（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在下列各式中，是二次根式的有（ ）
A．−10B．0C．πD．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，
需根据“形如a(a≥0)的式子是二次根式”这一概念判断各选项．
【详解】解：∵二次根式的定义为形如a(a≥0)的式子，
∴A选项−10是负整数，不符合二次根式的形式；
B选项0是整数，不符合二次根式的形式；
C选项π是无理数，不符合二次根式的形式；
D选项5满足a(a=5≥0)的形式，是二次根式．
故选：D．
【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A．−5B．32C．aD．3​
【答案】D
【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如a（a≥0）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案．
【详解】解：A、−5的被开方数−50，根指数为2，∴是二次根式．
⑥3−2x(x>2)，∵x>2，∴3−2x0，根指数为2，∴是二次根式．
综上，符合条件的二次根式共4个．
题型二 二次根式的有意义的条件
【例2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）若2x−4有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>2B．x≥2C．x0且x≠7C．x1
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数大于0，列出不等式即可求解．
【详解】解：要使代数式1x−1有意义，必须满足x−1>0，解得x>1，
∴实数x的取值范围是x>1．
【变式3】（23-24九年级上·四川巴中·期末）若y=x+3x+1有意义，则x的取值范围是______．
【答案】x≥−3且x≠−1
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可．
【详解】解：要使y=x+3x+1有意义，需满足被开方数为非负数，且分式的分母不等于零，可得：
x+3≥0x+1≠0
解不等式x+3≥0，得x≥−3，
解不等式x+1≠0，得x≠−1，
∴x的取值范围是x≥−3且x≠−1．
题型三 求二次根式的值
【例3】（24-25八年级下·陕西安康·期末）当x=12时，二次根式x−3的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查求二次根式的值，将x=12代入二次根式 x−3中，计算被开方数的值，再求其算术平方根．
【详解】当x=12时，
x−3=12−3=9=3，
故选：C．
【变式1】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当x=−1时，二次根式3x+7的值为（ ）
A．±2B．2C．−2D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把x=−1代入原式化简即可．
【详解】解：当x=−1时，原式=3×−1+7=4=2，
故选：B．
【变式2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）当a=−1时，二次根式13+a的值是____________．
【答案】23
【分析】本题主要考查了化简二次根式，把a=−1代入二次根式中利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：当a=−1时，13+a=13−1=12=23，
故答案为：23．
【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入5时，输出结果为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【答案】C
【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件．
先将输入的x=5代入表达式x2−1计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的x再次代入计算，直至结果小于2时输出．
【详解】解：当输入x=5时，
第一次计算：(5)2−1=5−1=4=2，2