初中数学人教版（2024）八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式导学案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式导学案，共19页。学案主要包含了课前预习，二次根式部分经典题型，题型分类，课堂互动，训练1-1，训练1-2，训练1-3，训练2-1等内容，欢迎下载使用。
【知识点1 二次根式的定义】
形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，a叫做被开方数.
【知识点2 二次根式有意义的条件】
（1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：a≥0.
【知识点3 判断二次根式有意义的条件】
如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数；（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【知识点4 二次根式的性质】
性质1：a2=a（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质2：a2=a=a（a≥0）−a（a0)；
④商的算术平方根：ab=ab(a≥0,b>0).
【知识点2 最简二次根式】
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【知识点3 分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【题型分类】
【1】求字母的取值范围
【2】二次根式乘除的运算
【3】二次根式的符号化简
【4】最简二次根式的概念
【5】分母有理化
【6】分母有理化的应用
【课堂互动】
【题型1 求字母的取值范围】
【例1】使x−2x−3=x−2x−3成立的x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＞3C．x≥2且x≠3D．x≥3
【训练1-1】若等式2k−1k−3=2k−1k−3成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≥12B．k＞3或k＜12C．k＞3D．k≥3
【训练1-2】根据二次根式的性质，若a(5−a)=a•5−a，则a的取值范围是（ ）
A．a≤5B．a≥0C．0≤a≤5D．a≥5
【训练1-3】若等式m2−4=m+2⋅m−2成立，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣2B．m≥2C．﹣2≤m≤2D．m≥4
【题型2 二次根式乘除的运算】
【例2】计算：5÷2×22÷25．
【训练2-1】计算：313÷(25213)×(4125)．
【训练2-2】计算：8x2xy÷x3y×3y2x．
【训练2-3】计算：2bab5•（−23a2b）÷13ba（a＞0）．
【题型3 二次根式的符号化简】
【例3】把x−x根号外的因式移到根号内，得（ ）
A．x3B．−x3C．−x3D．−−x3
【训练3-1】把a−1a根号外的因式移入根号内，运算结果是（ ）
A．aB．−aC．−aD．−−a
【训练3-2】把代数式（a﹣1）11−a中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．−1−aB．a−1C．1−aD．−a−1
【训练3-3】已知xy＜0，把代数式x−yx2中的x移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．xB．−yC．−yD．−−y
【题型4 最简二次根式的概念】
【例4】在下列根式：52，2a5，8x，7中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【训练4-1】二次根式13、12、30、5x2、x2+y2中，最简二次根式有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【训练4-2】二次根式：a2，25m，3x2，a2−b2，a3，12x，13+2，a−b2，是最简二次根式的有（ ）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【训练4-3】我们把形如ax+b（a，b为有理数，x为最简二次根式）的数叫做x型无理数，如33+1是3型无理数，则(3−6)2是（ ）
A．2型无理数B．3型无理数C．6型无理数D．18
【题型5 分母有理化】
【例5】若a=16−2，b=18−6，则（ ）
A．a＞bB．a＝bC．a＜bD．无法确定
【训练5-1】实数13−7的整数部分a＝ ，小数部分b＝ ．
【训练5-2】比较大小：16−5 17−6（用＞，＜或＝填空）．
【训练5-3】分母有理化：2−3+52+3+5
【题型6 分母有理化的应用】
【例6】观察下列等式
等式一：12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1；
等式二：13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2；
等式三：14+3=4−3(4+3)(4−3)=4−3=2−3；
……；
解决下列问题：
（1）化简：1n+1+n；
（2）若有理数a、b满足a2+1+b2−1=−1+22，求a+b的值．
【训练6-1】在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如53，23，23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：53=5×33×3=533
23=2×33×3=63
23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2×(3−1)(3)2−12=3−1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．23+1还可以用以下方法化简：23+1=3−13+1=(3)2−123+1=(3+1)(3−1)3+1=3−1
（1）请用不同的方法化简25+3；
（2）化简：13+1+15+3+17+5+⋯+12n+1+2n−1．
【训练6-2】像2⋅2=2；(3+1)(3−1)=2；(5+2)(5−2)=3⋯两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．
（1）123=323×3=36；
（2）2+12−1=(2+1)2(2−1)(2+1)=2+22+12−1=3+22．
勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
（3）化简：3+5−3−5．
解：设x=3+5−3−5，易知3+5＞3−5，∴x＞0．
由：x2＝3+5+3−5−2(3+5)(3−5)=6−24=2．解得x=2．
即3+5−3−5=2．
请你解决下列问题：
（1）23−35的有理化因式是 23+35 ；
（2）化简：33+12−1+12+3；
（3）化简：6−33−6+33．
【训练6-3】阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：7−6=(7−6)(7+6)7+6=17+6．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：7−6=17+6，6−5=16+5．
因为7+6＞6+5，所以7−6＜6−5．
再例如：求y=x+2−x−2的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2．
当x＝2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较32−4和23−10的大小；
（2）求y=1+x−x的最大值．
第三课时： 二次根式的加减
【课前预习】
【知识点1 同类二次根式】
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【知识点2 二次根式的加减法则】
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
【题型分类】
【1】同类二次根式的概念
【2】二次根式的加减运算
【3】二次根式的混合运算
【4】二次根式的化简求值
【5】二次根式的应用
【6】二次根式中数式规律问题
【课堂互动】
【题型1 同类二次根式的概念】
【例1】在8，12，18，48中，与3是同类二次根式的有几个（ ）
A．1B．2C．3D．4
【训练1-1】下列各组二次根式，属于同类二次根式的是（ ）
A．3与18B．63与28C．0.5与23D．12与72
【训练1-2】下列二次根式中，与ab(a＞0，b＞0)是同类二次根式的是（ ）
A．baB．a2b24C．a2b3D．2ab
【训练1-3】若最简二次根式3m−1与13−4m可以合并，则m的值是（ ）
A．−27B．2C．7D．37
【题型2 二次根式的加减运算】
【例2】计算下列各题：
（1）(32+12)−(12+27)； （2）（24−0.5+323）﹣（18−6）．
【训练2-1】计算：
（1）212−613+348； （2）239x+6x4−25x．
【训练2-2】计算：
（1）239x+6x4； （2）312−418−（3−8）．
【训练2-3】计算：
（1）（24+0.5）﹣（18−6）； （2）239x+6x4−2x1x（x＞0）．
【题型3 二次根式的混合运算】
【例3】计算
（1）(8+3)×6； （2）(2+3)2−(2+5)(2−5)．
【训练3-1】计算
（1）12×12+24； （2）（5+1）（5−1）+613−（1+3）2．
【训练3-2】计算：
（1）（48−50+75）×(−6)； （2）（5+23）×(5−23)−（27+1)2
【训练3-3】化简
（1）（3−2）2+12+613； （2）（7+5）（7−5）﹣（2+2）2．
【题型4 二次根式的化简求值】
【例4】已知x＝3+22，y＝3﹣22．求下列各式的值：
（1）x2﹣y2； （2）1x+1y．
【训练4-1】已知x=12（7+5），y=12（7−5）．求：
（1）x+y和xy的值； （2）yx+xy的值．
【训练4-2】已知x=12+3，y=12−3．
（1）求代数式2x2+2y2﹣xy的值； （2）求代数式x2−x3x2−6x+3−xy的值．
【训练4-3】先化简，再求值：[4(x+y)(x−y)+x+yxy(y−x)]÷x−yxy，其中x＝1，y＝2．
【题型5 二次根式的应用】
【例5】如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是1和6，则剩余区域的面积是 ．
【训练5-1】如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为 ．
【训练5-2】如示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了2dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（ ）
A．利用两个边长为2dm的正方形感知8dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知18dm的大小
C．利用一个边长为2dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知6dm的大小
D．利用四个直角边分别为1dm和3dm的直角三角形以及一个边长为2dm的正方形感知10dm的大小
【训练5-3】某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为13+1米，宽为13−1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【题型6 二次根式中数式规律问题】
【例6】观察下列各式：
①1+112+122=1+11×2
②1+122+132=1+12×3
③1+132+142=1+13×4，…，
请利用你所发现的规律计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+192+1102= ．
【训练6-1】观察下列各式及其变形过程：a1=12+21=1−12，a2=123+32=12−13，a3=134+43=13−14．
（1）按照此规律和格式，请你写出第五个等式的变形过程：a5= = ；
（2）请通过计算验证（1）中a5变形过程的正确性；
（3）按照此规律，计算（a1+a2+a3+…+an）（a1﹣a2﹣a3﹣…﹣an+2）的值．
【训练6-2】观察下列等式，解答下列问题：
第1个等式：1+13=213；
第2个等式：2+14=314；
第3个等式：3+15=415；
…
（1）请直接写出第5个等式： （不用化简）．
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明．
（3）利用（2）的结论计算：2019+12021×2021−2018+12020×2020．
【训练6-3】观察下列等式，根据你发现的规律解决问题：
①12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1(2)2−12=2−1；
②13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2(3)2−(2)2=3−2；
③14+3=4−3(4+3)(4−3)=4−3(4)2−(3)2=4−3；
…
（1）化简：12020+2019= ．
（2）化简：1n+1+n= （n为正整数）．
（3）利用上面所揭示的规律计算：11+2+12+3+13+4+⋯+12018+2019+12019+2020+12020+2021．