专题1.1 二次根式-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试专题复习（人教版）

专题1.1二次根式（精讲精练）

【知识梳理】

1.二次根式的定义

形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；

判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.

2.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

3.二次根式的性质：

（1），（双重非负性）．

（2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．

应用：在实数范围内分解因式：

（3）

（4）=·（a≥0，b≥0）

（5）=（a≥0，b>0）

4.二次根式的化简：

（1）二次根式化简的步骤：

①把被开方数分解因式；

②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；

③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．

（2）最简二次根式的条件：

被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

5.二次根式的运算：

（1）二次根式的乘法   ·＝．（a≥0，b≥0）

文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根.

推广：

（2）二次根式的除法：=（a≥0，b>0）

文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根.

（3）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
二次根式的加减步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
6.二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．

①与实数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

7.二次根式的应用：

把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．

【典例剖析】

考点1 二次根式的定义

【例1】（2019秋•浦东新区期中）下列各式中，一定是二次根式的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的定义判断即可．

【解析】解：、当，即时，是二次根式，本选项错误；

、当，即时，是二次根式，本选项错误；

、当时，是二次根式，本选项错误；

、，

一定是二次根式，本选项正确；

故选：．

【点睛】本题考查的是二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．

【变式1-1】（2019春•东港区校级期中）下列各式中一定是二次根式的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式被开方数是非负数判断．

【解析】解：、，被开方数是负数，不是二次根式；

、，被开方数不一定是非负数，不一定是二次根式；

、被开方数是非负数，是二次根式；

、被开方数不一定是负数，不一定是二次根式；

故选：．

【变式1-2】（2019春•阜阳期中）若是整数，则正整数的最小值是　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】把18分解质因数，然后根据二次根式的性质解答．

【解析】解：，

是整数的正整数的最小值是2．

故选：．

考点2 二次根式的有意义的条件

【例2】（2019秋•方城县期中）二次根式有意义，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．

【解析】解：由题意得：，

解得：，

故选：．

【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

【变式2-1】（2019秋•卧龙区期中）式子有意义的条件是　　

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式和分式有意义的条件可得，再解即可．

【解析】解：由题意得：，

解得：，

故选：．

【变式2-2】（2019秋•德惠市期中）使式子有意义的实数的取值范围是　　

A． B．且 C． D．且

【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案．

【解析】解：使式子有意义的实数的取值范围是：，且，

解得：且．

故选：．

考点3 二次根式的性质与化简

【例3】（2019春•庐阳区校级期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是　　

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．

【解析】解：由数轴可知：，

，，

原式

，

故选：．

【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．

【变式 3-1】（2019春•黄石期中）若，则化简的结果是　　

A． B． C． D．1

【分析】利用二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可．

【解析】解：，

，

故选：．

【变式3-2】（2019春•蚌埠期中）若，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的非负性，即可得到的取值范围．

【解析】解：，

，

故选：．

考点4 最简二次根式与同类二次根式

【例4】（2019秋•雨城区校级期中）下列根式中是最简二次根式的是　　

A． B． C． D．

【分析】最简二次根式的条件为：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．

【解析】解：．被开方数含分母，故不符合题意；

．被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故符合题意；

．被开方数含能开得尽方的因数或因式，故不符合题意；

．被开方数含能开得尽方的因数或因式，故不符合题意；

故选：．

【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

【变式4-1】（2019秋•福田区校级期中）下列二次根式中，最简二次根式的是　　

A． B． C． D．

【分析】最简二次根式的条件为：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．

【解析】解：．被开方数含能开得尽方的因数或因式，故不符合题意；

．被开方数含能开得尽方的因数或因式，故不符合题意；

．被开方数含分母，故不符合题意；

．被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故符合题意；

故选：．

【变式4-2】（2019秋•成华区期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为　　

A．1 B． C． D．3

【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解．

【解析】解：最简二次根式与是同类二次根式，

，

解得：，

故选：．

考点5 二次根式的乘除

【例5】（2019春•灵宝市期中）化简：

（1）；

（2）；

（3）

【分析】（1）直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；

（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；

（3）直接利用平方差公式化简得出答案．

【解析】解：（1）原式；

（2）原式；

（3）原式

．

【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．

【变式5-1】（2019春•邗江区校级期中）计算：

（1）

（2）

【分析】（1）根据二次根式的性质把除式变形，根据二次根式的乘法法则计算；

（2）根据二次根式的乘除法法则计算即可．

【解析】解：（1）

；

（2）

【变式5-2】（2019春•偏关县期中）小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：

，①

，②

．③

．④

（1）上面的推导过程中，从第　②　步开始出现错误（填序号）；

（2）写出该步的正确结果．

【分析】（1）②中等式的左边是负数，而右边是正数，据此可得答案；

（2）根据二次根式的性质求解可得．

【解析】解：（1）上面的推导过程中，从第②步开始出现错误，

故答案为：②；

（2）．

考点6 二次根式的加减

【例6】（2019秋•越秀区校级期中）计算：

【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．

【解析】解：原式

．

【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．

【变式6-1】（2019春•徐汇区校级期中）计算：

【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．

【解析】解：原式

【变式6-2】（2019春•武昌区期中）计算：

（1）

（2）

【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；

（2）直接化简二次根式进而合并得出答案．

【解析】解：（1）原式

；

（2）原式

．

考点7二次根式的混合运算

【例7】（2019秋•雁塔区校级期中）计算

（1）

（2）

【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；

（2）利用完全平方公式计算．

【解析】解：（1）原式

；

（2）原式

．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

【变式7-1】（2019秋•昌平区校级期中）

【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．

【解析】解：原式

．

【变式7-2】（2019秋•孟津县期中）计算

（1）

（2）

【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算；

（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．

【解析】解：（1）原式

；

（2）原式

．

考点8二次根式的化简求值

【例8】（2019秋•锦江区校级期中）已知，

（1）化简，；

（2）求的值．

【分析】（1）利用分母有理化求解可得；

（2）将化简后的、的值代入原式计算可得．

【解析】解：（1），

；

（2）原式

．

【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

【变式8-1】（2019秋•太仓市期中）已知，求下列代数式的值

（1）；

（2）．

【分析】（1）根据的值，可以求得所求式子的值；

（2）根据（1）的值和的值，可以求得所求式子的值．

【解析】解：（1），

；

（2），，

．

【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．

【变式8-2】（2019春•沙雅县期中）已知：，，分别求下列代数式的值

（1）

（2）

【分析】（1）根据完全平方公式和，，可以求得所求式子的值；

（2）根据平方差公式和，，可以求得所求式子的值．

【解析】解：（1），，

，

；

（2），，

，，

．

考点9二次根式的应用

【例9】（2019春•颍泉区校级期中）阅读材料：

如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦九韶公式”完成下列问题：

如图，在中，，，．

（1）求的面积；

（2）设边上的高为，边上的高为，求的值．

【分析】（1）根据题意先求，再将，，，的值代入题中所列面积公式计算即可；

（2）按照三角形的面积等于底高分别计算出和的值，再求和即可．

【解析】解．（1）根据题意知

所以

的面积为；

（2）

，

．

【点睛】本题考查了二次根式在三角形面积计算中的应用，读懂题中所列的海伦公式并正确运用，是解题的关键．

【变式9-1】（2019春•沂水县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响）

（1）从高空抛物到落地所需时间是多少，从高空抛物到落地所需时间是多少；

（2）是的多少倍？

（3）经过，高空抛物下落的高度是多少？

【分析】（1）将代入进行计算即可；将代入进行计算即可；

（2）计算与的比值即可得出结论；

（3）将代入公式进行计算即可．

【解析】解：（1）当时，（秒；

当时，（秒；

（2），

是的倍．

（3）当时，，

解得，

下落的高度是11.25米．

【变式9-2】（2019春•抚顺县期中）如图，某农场拟建两间长方形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门垂直于墙的边的长为，平行于墙的边的长为，那么拟建墙体所需要的材料（不包括门）总长为多少．（精确到0．

【分析】先求出和的长，再根据所需要的材料总长，代值计算即可．

【解析】解：，，

依题意得，所需要的材料总长

；

答：拟建墙体所需要的材料（不包括门）总长为．