北师版八年级数学下册期末专项训练 专题03 图形的平移与旋转

这是一份北师版八年级数学下册期末专项训练 专题03 图形的平移与旋转，共10页。试卷主要包含了中心对称图形的识别，利用平移的性质求解，找旋转中心、旋转角，坐标与旋转规律问题，平移和旋转作图，等腰三角形的旋转问题，直角三角形的旋转问题等内容，欢迎下载使用。

题型1 中心对称图形的识别（常考点）
题型5 坐标与旋转规律问题（重点）
题型2 利用平移的性质求解（重点）
题型6 等腰三角形的旋转问题（难点）
题型3 找旋转中心、旋转角（重点）
题型7 直角三角形的旋转问题（难点）
题型4 平移和旋转作图（重点）
题型一 中心对称图形的识别（共5小题）
1．（25-26八年级上·四川泸州·期末）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．以下剪纸中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
B、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
C、可以找到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故是中心对称图形，符合题意；
D、找不到一点旋转，使旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
2．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故选项符合题意．
3．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形)，逐一进行判断即可．
【详解】解：根据中心对称图形的定义可知，只有D选项是中心对称图形．
4．（25-26九年级上·河南许昌·期末）下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：A选项的图标是中心对称图形，B、C、D选项的图标不是中心对称图形．
故选：A．
5．（25-26九年级上·全国·期末）中国花卉博览会（简称“花博会”）是中国规模最大、档次最高、影响最广的国家级花事盛会，被称为中国花卉界的“奥林匹克”．年，郑州作为花博会东道主，绽放国内不同区域的花卉．下列花卉造型标志是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称的定义，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、B、C选项中的图旋转不能与原图形重合，故不是中心对称图形，
D选项中的图旋转能与原图形重合，故是中心对称图形．
故选：D．
题型二 利用平移的性质求解（共5小题）
6．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平移的性质．
由，可得，由平移的性质可得，然后根据，即可求解．
【详解】解：，即，，
，
由平移可得，
．
故选：C．
7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将沿方向平移，得到．点，，的对应点分别为点，，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平移的性质，三角形内角和定理，结合图形得到角之间的关系是解题关键．
由平移的性质可得，，进而可得，最后三角形内角和定理可得的度数．
【详解】解：由平移的性质可得，，
，
故选：D．
8．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查图形的平移，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
首先根据勾股定理求出的长度，根据角平分线和线段平行的性质，可证出，故的周长可转换为，将长度代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵由平移得到，
∴，
∴，
又∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
∵，，
∴其周长为，
故选C．
9．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，在三角形中，，把三角形向下平移至三角形后，，，则下列结论：①；②；③；④三角形与三角形的周长和为24；⑤阴影部分的面积为24；其中正确结论的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得①②说法正确，由，，，可得③说法错误，依据平移的性质，平行四边形的判定与性质，可判断④⑤说法正确．
【详解】解：三角形向下平移至三角形，
，，
故①②说法正确；
，，
，
故③说法错误；
与的周长和为，
又三角形向下平移至三角形，
四边形是平行四边形，，
，
，
与的周长和为，
故④说法正确；
三角形向下平移至三角形，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，即，
，
故⑤说法不正确；
综上，正确结论的个数为个，
故选：B．
10．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图1，将长方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被长方形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．有下列说法：①点的坐标为；②长方形的面积为；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由图可知，平移秒时，直线经过点，此时直线的解析式为，利用解析式求出此时点的坐标；当直线运动秒时，解析式为，此时直线经过点，利用解析式求出点的坐标，可得的长度，利用长方形的面积公式求出长方形的面积；运动秒时经过点，此时直线的解析式为，利用解析式求出直线与的交点坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出的长度；直线运动秒时经过点，此时直线的解析式是，把点的坐标代入解析式求出的值．
【详解】解：由图可知，平移秒时，直线经过点，
直线平移秒时的解析式为，
即，
，
点的纵坐标是，
当时，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
故①正确；
由图可知当时，直线经过点，
当时，直线的解析式为，
即，
点的纵坐标为，
可得：，
解得：，
点的坐标为，
，
，
长方形的面积为，
故②错误；
由图可知，当时，直线经过点，
当时，直线的解析式是，
即，
当时，可得：，
解得：，
即直线与的交点坐标为，
点的坐标是，
点的坐标是，
，
，
故③正确；
由图可知，当运动秒时，直线经过点，
当运动秒时，直线的解析式为，
点的坐标为，
点的坐标是，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
故④错误．
综上所述，正确的有个.
故选：B．
题型三 找旋转中心、旋转角（共5小题）
11．（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，绕点逆时针方向旋转到的位置，若，，且、、在同一直线上，则旋转角度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质可得，再结合旋转的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，，且、、在同一直线上，
∴，
由旋转的性质可得旋转角度是，
故选：C．
12．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ）
A．点B．点C．点D．点
【答案】B
【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B，
∴旋转中心是点B．
13．（25-26七年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ）
A．顺时针，B．逆时针，C．顺时针，D．逆时针，
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案．
【详解】解：将绕点旋转，得到，
，
当旋转方向为顺时针时，旋转角度为；
当旋转方向为逆时针时，旋转角度为．
故选：A．
14．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（ ）
A．旋转中心是点B．旋转角等于
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案．
【详解】解：A：因为绕着点O旋转得到，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意；
B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转到，旋转角应该是或，而不是，该选项错误，符合题意；
C：由于旋转不改变图形的大小和形状，与是对应边，所以，该选项正确，不符合题意；
D：旋转前后的图形全等，所以，该选项正确，不符合题意；
故选：B．
15．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）“俄罗斯方块”是一种早期的电子游戏，核心玩法是在方格场地中，操控7种积木（每个占四个格子）通过平移、旋转并堆叠（积木与积木之间不能重合，没有缝隙），填满整行即可消除该行从而得分，积木堆到顶端则游戏结束．例如：下图①中，将上方“长方形”积木，向下平移4个格子，就可以消除“第1行”从而得分．那么当如图②中最上方积木通过怎样的运动可以同时消除“第1行和第2行”（ ）
A．向下平移3格
B．以格子为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
C．以格子为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移3格
D．以格子为旋转中心，按顺时针方向旋转90°，再向下平移2格
【答案】C
【分析】本题考查图形的旋转和平移，读懂题意，根据旋转和平移的知识即可解答．
【详解】解：根据题意需以格子为旋转中心，按逆时针方向旋转90°，再向下平移3格，可以同时消除“第1行和第2行”，
故选C．
题型四 坐标与旋转规律问题（共5小题）
16．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________．
【答案】
【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律是解题的关键．
根据旋转的性质可得点的坐标与点的坐标相同，利用已知条件求出即可得解．
【详解】正方形绕点逆时针旋转，
，每旋转次回到原来位置，
余，
点的坐标与点的坐标相同，
已知点，则点，旋转后点，再旋转后点，
点的坐标为．
故答案是．
17．（24-25八年级下·江苏南通·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用如图，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为______．
【答案】
【分析】本题主要考查坐标规律探索，找出一般规律，是解题的关键．
根据旋转的性质分别求出第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标，找到规律，进而得出第秒时，点的对应点的坐标．
【详解】解：如图，
，
在第一象限的角平分线上，
叶片每秒绕原点顺时针转动，
，，，，
点的坐标以每秒为一个周期依次循环，
，
第秒时，点A的对应点的坐标与相同，为，
故答案为：．
18．（24-25九年级上·甘肃临夏·期末）小夏利用平面直角坐标系绘制了风车图形（如图），他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点逆时针转动至，称为第二次转动，…，那么按照这种转动方式，转动2025次后，点的坐标为______．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转、规律型，依题意不难发现第4次旋转后回到初始位置，而，据此可得当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合，据此即可解答．
【详解】解：由题意可得：第4次旋转后回到初始位置，
又∵，
∴此时点A与点重合，
∵点，
∴点
∴转动2025次后，点A的坐标为．
故答案为：．
19．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可．
【详解】解：过点作轴，
∵为斜边为1的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的，
∴，
同理：，，，，，
∴，
∵，
∴，即：．
故答案为：．
20．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
，
，
将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且，
再将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且，
，
依此规律，
∴每4次循环一周，
，
，
∴点与、、同在一个象限内，
、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、，
∴点，
故答案为：．
题型五 平移和旋转作图（共5小题）
21．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为．
(1)画出关于原点对称的；
(2)画出绕原点顺时针旋转后得到的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的中心对称与旋转变换，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征和绕原点顺时针旋转的点的坐标变换规律．
（1）先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出A，B，C三点关于原点的对称点的坐标，再顺次连接各点；
（2）先根据绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，求出A，B，C三点旋转后的对应点的坐标，再顺次连接各点．
【详解】（1）解： 点关于原点对称的点的坐标为，
关于原点对称的点，
关于原点对称的点，
关于原点对称的点．
顺次连接，得到，即为所求（见下图）．
（2）解： 点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标为，
旋转后的对应点，
旋转后的对应点，
旋转后的对应点．
顺次连接，得到，即为所求（见上图）．
22．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)请画出关于原点中心对称的；
(2)请画出绕点逆时针旋转后的；
(3)求的面积．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)
【分析】（1）将的三个顶点，，关于原点对称得到，，，连接这三个点即可得到；
（2）将的顶点，绕点逆时针旋转后得到，，，连接这三个点即可得到；
（3）在网格中，作出包含的正方形，如图所示，用正方形的面积减掉周边三个直角三角形的面积即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：如图所示：
的面积为．
23．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)请画出关于坐标原点成中心对称的；
(2)若绕点顺时针旋转后得到，写出点的坐标_____；
(3)若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____．
【答案】(1)画图见解析；
(2)；
(3)
【分析】本题考查中心对称图形的绘制、旋转的坐标变换及旋转中心的确定，涉及的知识点有中心对称点的坐标特征、旋转的性质、垂直平分线的求法．
（1）先确定各顶点坐标，再根据关于原点中心对称点的坐标规律找到对应点，最后依次连线得到对称图形；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，从图中直接读出的坐标；
（3）根据旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，依次作出两组对应点连线的垂直平分线，从而得到交点即旋转中心的坐标．
【详解】（1）解：画出关于坐标原点成中心对称的如图所示：
（2）解：画出绕点顺时针旋转后得到的如图所示：
得到的坐标为；
故答案为：；
（3）解：根据旋转的性质，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，作图如图所示：
旋转中心的坐标为．
故答案为：
24．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，
(1)将绕点顺时针旋转得到，点A、B、C旋转后的对应点分别为，画出旋转后的图形；写出点的坐标是 ；的形状是 ．
(2)若将经过平移后得到，点A、B、C平移后的对应点分别为，则线段和的关系是 ；
(3)已知P为x轴上一点，若的面积为6，直接写出点的坐标 ．
【答案】(1)作图见解析，点的坐标为；是等腰直角三角形
(2)且
(3)或
【分析】（1）利用绕原点顺时针旋转的点的坐标写出的坐标，从而得到；
（2）利用点平移的坐标特征写出的坐标，从而得到；
（3）设,则，利用三角形的面积公式求出x的值，即得点P的坐标．
【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转90°得到，
点A、B、C旋转后的对应点分别为，
点的坐标是；
的形状是等腰直角三角形．
；等腰直角三角形．

（2）解：将经过平移后得到，
点A、B、C平移后的对应点分别为，
则线段和的关系是且．
故答案为：且．
（3）解：∵P为x轴上一点，
∴设，
则，
∵的面积为6，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
当时，
，
∴点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了网格作图，熟练掌握旋转的性质，平移性质，三角形面积公式，分类讨论，是解题的关键．
25．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度，的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)以点为对称中心，画出与成中心对称的；
(2)将点绕坐标原点逆时针方向旋转至点，直接写出点的坐标；
(3)将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)见解析，这个变化过程中扫过的面积为
【分析】本题主要考查了中心对称的性质、图形的旋转变换、图形的平移变换以及平移过程中扫过面积的计算，熟练掌握中心对称、旋转、平移的坐标变化规律和平行四边形的面积计算方法是解题的关键。
（1）根据中心对称的性质，分别找出点、、关于原点的对称点、、，再顺次连接即可得到。
（2）根据点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律，直接求出点的坐标。
（3）根据平移的性质画出，再通过计算线段平移形成的平行四边形面积，求出扫过的面积。
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，点即为所求，；
（3）解：如图，，这个变化过程中扫过的面积．
题型六 等腰三角形的旋转问题（共5小题）
26．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，于，，是上的一点，且，连接，．
(1)求证：；
(2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由；
(3)如图，若将（）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
试猜想与的数量关系，并说明理由；
你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，，理由见解析；
(3)，理由见解析；能，与的夹角度数为，理由见解析．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键．
（）由，则，证明，然后通过全等三角形性质即可求证；
（）设与交于点，与交于点，同（）理证明，则有，，然后通过三角形内角和定理即可求解；
（）同（）理证明，然后通过全等三角形性质即可求证；
设与交于点，由得，则，然后通过三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：，，理由，
如图，设与交于点，与交于点，
∵，
∴ ，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
能，与的夹角度数为，理由，
如图，设与交于点，
由得，
∴，
∴
，
∴与的夹角度数为．
27．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知和都是等腰三角形，其中．
(1)【尝试证明】如图1，连结、，求证：；
(2)【变式探究】如图2，连结、，若，，求的长；
(3)【拓展提升】如图3，若，以点为旋转中心旋转，使得点恰好落在斜边上，试探究之间存在怎样的数量关系？
【答案】(1)见解析
(2)10
(3)
【分析】（1）先判断出，进而得出，即可得出结论．
（2）先求出，证，进而求出，最后用勾股定理即可得出结论．
（3）先证，得到，求出，在中，由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
∴在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，连接，
∵，，，
∴在等边三角形中，平分，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又∵在等边中，，
∴在中，由勾股定理得，
，
故的长为10．
（3）解：如图所示，连接，
∵，，，
∴为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
即，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∴
，
∴在中，由勾股定理得，，
∴．
28．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）、都是等边三角形．
(1)如图1，当、、在一条直线上时，求证：；
(2)如图2，将绕着点旋转，延长线与交于点，则的度数是多少？为什么？
(3)如图3，当的边长为，且时，若为边的中点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用．
（1）证明，即可得证；
（2）同理可得，根据三角形的内角和定理，即可求解；
（3）延长交于点，延长至，使得，同理可得得出，，进而证明是等边三角形，得出，证明得出，即可证明，得出，进而证明，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵、都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下，
∵、都是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴；
（3）解：如图所示，延长交于点，延长至，使得，
同理可得，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵为边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
29．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图1，已知点是等边内一点，且，，．
(1)求的度数；
以下是甲，乙，丙三位同学的谈话：
甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点B逆时针旋转60°或绕点C顺时针旋转60°；
乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转；
丙：我是将进行旋转．
请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数；
(2)若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______；
类比迁移：
(3)如图2，已知，，，，，，求的度数．
【答案】(1)
(2)，4.
(3)
【分析】（1）甲：将绕点逆时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．乙：将绕点顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．
（2）利用（1）中的方法，同理可得，再由30度直角三角形性质可求点到的距离；
（3）利用（1）中的方法，将绕着点顺时针旋转，得到，同理可得，，由此即可求出．
【详解】（1）解：（1）选择甲：如图1，作，且，连接，，则是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
；
乙：如图2，同理可得，，，
；
丙：如图3同理可得，，，
；
（2）同理（1）可得：，
∴，
如图4，过点作的垂线，垂足为，
∴，
∴，
故答案为：，4.
（3）如图5，将绕着点顺时针旋转，得到，连接，
∴，
，，
∴，
，
∴，
∴
30．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到．
(1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长；
(2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接．
①判断线段与的位置关系并说明理由；
②求的值；
③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________．
【答案】(1)7
(2)①，理由见解析；②；③
【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解；
（2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
如图，过点C作于点D，
∴，
∴，
解得：，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
由旋转的性质得：，
∴
，即，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，
∴；
③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图，
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
∴当最大时，最大，
而的最大值为，
∴的最大值为．
故答案为∶．
题型七 直角三角形的旋转问题（共5小题）
31．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为．
(1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°；
(2)如图②，当点在上时，若，求的度数；
(3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值．
【答案】(1)110
(2)30°
(3)最大值：；最小值：
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹．
（1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可；
（2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解；
（3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值．
【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角，
则，
故答案为：；
（2）解：根据旋转的性质可得，，，
∴，
∵，
∴，
由题意可得，，即，
解得，
∴；
（3）解：连接，如图：
由旋转的性质可得，，，
由勾股定理可得，，
∵点为的中点，
∴，
∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动，
从而得到的最大值为，的最小值为．
32．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图1，和均为等腰直角三角形，，将绕点按逆时针方向旋转，连接，．
(1)求证：．
(2)如图2，当点恰好落在上时，，，求的长．
(3)在旋转的过程中，当点，，在同一条直线上时，过点作，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或．
【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据题意得到，，，证明出，得到；
（2）如图所示，过点A作于点F，利用勾股定理求出，得到，利用勾股定理求出，进而求解即可；
（3）根据题意分两种情况讨论，当点D在上时和当点E在上时，过点作，交于点，由得到，然后得到，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵和均为等腰直角三角形，，
∴，，
∴
∴；
（2）解：如图所示，过点A作于点F，
∵为等腰直角三角形，，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴；
（3）解：如图所示，当点D在上时，过点作，交于点，
由（1）得，
∴
∵为等腰直角三角形，
∴
∴；
如图所示，当点E在上时，过点作，交于点，
同理可得，
∴
∵为等腰直角三角形，
∴
∴．
综上所述，线段，，之间的数量关系为或．
33．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，，中，，，，．
【观察感知】
（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，，交于点，求的度数及线段的长．
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点按逆时针方向旋转一定的角度，使得点落在边上（如图②）．
①求线段的长．
②判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1），；（2）①；②，理由见解析
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定．
（1）根据三角形的外角的性质即可得出的度数，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，在中，根据勾股定理即可求解．
（2）①过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，勾股定理求得，进而根据，即可求解；
②根据等腰直角三角形的性质得出，又，得出，即可求解．
【详解】（1）解：．
在中，，
所以，
所以；
设，在中，，
因为，解得，即；
（2）解：①过点作于点．
在中，，，
所以，
所以；
在中，，
所以；
②．理由如下：
因为，，
所以；
又因为，
所以，即．
34．（24-25七年级下·山西临汾·期末）在综合实践课上，同学们以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．一副三角板按如图1的方式摆放（顶点C与F重合，边与边叠合，顶点在同一条直线上）．其中，，，．
(1)如图2，将三角板绕着点逆时针旋转后，如果直线，那么的值的是 ．与的数量关系是 ．
(2)如图3，将三角板绕着点逆时针旋转后，与相交于点，DE与AB相交于点N，若．
①求n的值；
②与的数量关系是否保持不变？请说明理由；
(3)如图3，将三角板绕着点逆时针旋转后，EF与相交于点，与相交于点，若为等腰三角形时，的值为 ．
【答案】(1)45；
(2)①；②，保持不变，见解析
(3)或或
【分析】本题考查了三角板中角度的计算，等腰三角形的性质，垂线性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等角的余角相等等知识，熟练掌握相关性质定理，根据旋转画图分情况求解为解题关键
（1）根据垂直得到，再根据三角板的角度即可求出n的结果，再根据，即可得出结论；
（2）①根据等边对等角，结合三角板的度数得到，即可进一步求解；
②利用即可得证；
（3）根据等腰三角形的定义，分三种情况时，时，时，利用等腰三角形性质，三角形外角性质等知识分别求解即可．
【详解】（1）解：如图，与相交于点M，
，
，
，
；
故答案为：45；；
（2）①
，
，
，
；
②，保持不变，理由如下：
，
，保持不变；
（3）如图，当时，
则，
；
如图，当时，
则
，
；
当时，
则，
，
，
综上所述，为等腰三角形时n的值为或或．
35．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点重合，，，．
(1)【问题初探】
如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由；
(2)【类比分析】
如图2，连接，，若是的中点，连接并延长到，使，连接，．
①求证：四边形是平行四边形；
②求证：；
(3)【拓展延伸】
如图3，延长至点，满足，连接，，当，，绕点旋转得到，，三点共线时，求线段的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
(3)或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）①利用对角线互相平分的四边形为平行四边形的判定定理解答即可；
②利用平行四边形的性质和同角的补角相等的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用等量代换的性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当在的左侧时，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可；②当在的右侧时，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：与的数量关系为，理由：
，
，
在和中，
，
，
；
（2）①证明：是的中点，
，
，
四边形是平行四边形；
②证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）①当在的左侧时，过点作于点，如图，
，，

是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
②当在的右侧时，过点作于点，如图，
，，

是等腰直角三角形，
，
，
，
，

综上，绕点旋转得到，，三点共线时，线段的长为或．